巧解最值问题

洪扬婷

二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a+b）（c+d）≥（ac+bd），当且仅当ad=bc时，等号成立.上述不等式可以变形为：≤，不等式的左边可以看成点（c，d）到直线ax+by=0的距离，当不等式的右边为定值时，左边有最大值.利用柯西不等式及其变形可以巧妙地解决如下最值问题.

例1：求椭圆C：+=1上的点到直线l：x-2y=0的距离的最大值.

解析：（法一）椭圆C：+=1上的点P（x，y）为x=4cosθy=2sinθ，则点P到直线l：x-2y=0的距离为d==，故d=.

（法二）设x-2y=m，借助图像可知，当直线x-2y=m与椭圆C：+=1相切时，切点到直线l：x-2y=0的距离取得最大值.由x-2y=m+=1得16y+12my+3m-48=0，令△=144m-64（3m-48）=0，则m=±，故d=.

（法三）设点P（x，y）为椭圆C上任意一点，则点P到直线l：x-2y=0的距离d=.利用柯西不等式可得：（+）（16+48）≥（x-2y），当且仅当3x=-2y时，等号成立，此时d=.

变式：求椭圆C：+=1上的点到直线l：x-2y-12=0的距离的最值.

解析：由例1可得，|x-2y|≤8即-8≤x-2y≤8，故-20≤x-2y-12≤-4，则所求距离的最大值、最小值分别为d=4，d=.

例2：已知点P（x，y）是圆C：x+y=2y上的动点，求2x+y的取值范围.

解析：（法一）设点P（x，y）为x=cosθy=1+sinθ，则2x+y=2cosθ+1+sinθ=sin（θ+ψ）+1，其中tanψ=2，当sin（θ+ψ）=±1时，2x+y取得最值，故-+1≤2x+y≤+1.

（法二）设2x+y=m，借助图像可知，当直线2x+y=m与圆C：x+y=2y相切时2x+y取得最值.由2x+y=mx+y=2y得5x+（4-4m）x+m-2m=0，令△=（4-4m）-20（m-2m）=0，則m=1±，故-+1≤2x+y≤+1.

（法三）利用柯西不等式可得：（x+（y-1））（4+1）≥（2x+y-1），当且仅当x=2（y-1）时，等号成立，故-+1≤2x+y≤+1.

法一涉及三角函数的知识.大部分学生对角ψ为非特殊角的恒等变换的掌握情况并不理想.法二从数形结合的角度并不难理解，但其中涉及的计算对大部分学生来说是不小的挑战.相比较而言，利用柯西不等式进行解答简单快捷.

例3：（2014山东理9）已知x，y满足约束条件x-y-1≤02x-y-3≥0，当目标函数z=ax+by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值2时，a+b的最小值为（）

A.5B.4C.D.2

解析：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数z=ax+by（a>0，b>0）过直线x-y-1=0与2x-y-3=0的交点A（2，1）时取得最小值，所以有2a+b=2.利用柯西不等式可得：（a+b）（4+1）≥（2a+b）=（2），所以a+b的最小值为4，故选B.

柯西不等式虽然是选修4-5的内容，但同样适用于必修中的问题.