《概率论与数理统计》教学改革探讨

朱淑芹，班朝磊

（聊城大学 a.计算机学院；b.材料科学与工程学院，山东 聊城 252000）

《概率论与数理统计》教学改革探讨

朱淑芹a，班朝磊b

（聊城大学 a.计算机学院；b.材料科学与工程学院，山东 聊城 252000）

本文尝试从引入数学史，案例教学法，注重科学思维和科学方法的培养，提炼知识、把握脉络，统计软件辅助实践，考核形式六方面阐述《概率论与数理统计》课程教学改革的一些问题。

《概率论与数理统计》；案例教学法；教学改革

《概率论与数理统计》课程是大学数学公共基础课程之一，是一门应用性很强的学科，它从数量上研究随机现象的统计规律性，在先进材料设计、计算机模拟计算、天气预报、人口统计等众多科学技术与人类实践活动中运用概率统计的知识去解决问题。它对培养学生处理“随机”的数学基础知识、基本能力和综合素质具有其他课程不能替代的作用，然而，怎样才能使学生从传统的确定性思维模式进入随机性思维模式，进而学好这门重要课程是相关教师面临的挑战。笔者结合自身的教学经历，从以下几个方面进行了教学改革，取得了一定的教学效果。

一、引入数学史，增强趣味性

在教学中引入一些教材中没有出现的相关数学史，特别是介绍数学家的生平轶事及其对本学科的贡献，往往能吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，并且也会提高他们的问题意识与思维能力。例如上第一次课时，可以首先从著名的“德·梅耳问题”与“分赌注问题”出发，向学生介绍概率论与数理统计的起源和发展，在此过程中穿插讲解数学家帕斯卡、费马、惠更斯、拉普拉斯、马尔科夫、辛钦等的贡献；在讲解概率的公理化定义时，可讲解前苏联数学家柯尔莫哥洛夫的生平及其提出的“概率的公理化定义”的重要意义；在讲解几何概率时可以穿插介绍几何概率开创者蒲丰的生平，以及由蒲丰投针试验所产生的蒙特卡洛方法的影响；在讲解中心极限定理时，可以穿插讲解伯努利、切比雪夫、李雅普诺夫等数学家的生平；在讲解“t-分布”时，告诉学生“t-分布”还有一个名称——学生氏分布，然后介绍“开创了小样本理论的先河”的英国数学家戈塞特提出该分布的艰辛过程。这些数学家的故事不仅可以让学生慢慢对这门课程产生兴趣，还在无形中了解了丰富的数学文化，而且提高了学生的数学素养。

二、案例教学法，突出趣味性

目前数学课堂教学中，教师普遍采用给出概念、公式、定理，然后再去解释概念、推导公式、证明定理的教学方式，学生感觉枯燥无味，学习兴趣会大大降低。案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与互相讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。通过案例教学把所学的理论知识和实际生活结合起来，把抽象的数学与生动有趣的案例结合起来，培养学生分析和解决问题的能力。例如在讲授全概率公式和贝叶斯公式时首先可提出这样一个有趣的问题：假如你有机会参加电视台的一档娱乐节日，主持人指着三个商标对你说，其中一个商标后面的奖金是2000元，另两个商标后面的奖金分别是20元和50元，你可以随意选择一个商标，所对应的奖金就归你了。你当然想得到2000元，你可选定一个商标，如1号商标（但未打开），主持人知道哪个商标后面是2000元，哪两个商标后是20元和50元，他打开了50元的一个商标，比方他打开3号商标，主持人对你说，现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择，为了得到2000元，你是坚持选择1号商标还是改选2号商标呢？教师可引导学生开展讨论，在讨论的基础上引入全概率公式和贝叶斯公式帮助大家做出选择。这无疑使学生对学习的新知识产生了强烈的欲望，唤起了学生的注意，激发了学生学习的积极性和主动性，并取得了很好的教学效果。

三、注重科学思维和科学方法的培养

趣味与科学的严谨性是相辅相成的。在教学过程中，不但要用趣味性提高学生的学习兴趣，还要体现数学思维在教学中的渗透与学生创新思维能力的培养。通过有意识地营造使学生不断在取得思维成就的环境中，让学生不断在思维成功的喜悦中良性循环，越学越想学，越思考越灵活。对同一问题不同的求解方法，锻炼不同的思维方式，从而潜移默化地培养了学生的科学思维方法。例如，有2张甲等票和n-2张乙等票共n张票，n人通过抽签决定所得的是甲等票还是乙等票，问抽签的结果与抽签的顺序是否有关？该问题的解决可以有两种方法。

方法1：首先我们可以很容易的得出第1个人抽签，抽中甲等票的概率是2/n，关键是第2人、第3人……第n人抽中甲等票的概率是否也是2/n？由于我们关心的是第i人（i=2，3，…，n）抽到甲等票的概率，因而第i人只要从2张甲等票中任意抽取1张，而前i-1人可从剩余的n-1张票中任取i-1张，其概率为以上问题的求解方法是突出考虑要求解的问题（第i人抽到甲等票）而忽略其他非主要问题（前i-1人抽取票的情况），也就是通常在思维中的突出主要问题。虽然在理解上困难一些，但对于锻炼学生分析问题、解决问题的能力是十分有益的。下面一种求解方法在理解上要自然一些。

方法2：设Ai（i=1，2，3，…，n）表示第i人抽到甲等票，则p（Ai）=2/n，由全概率公式得：p（A2）=p（A1）p（A2|A1）+p（-A1）p（A2|-A1）=（2/n）[1/（n-1）]+[（n-2）/n）] [2/（n-1）]=2/n，设C0、C1分别表示前i-1人恰好抽到0张和1张甲等票，则：其中（3≤i≤n）。

四、提炼知识，把握脉络

《概率论与数理统计》这门课程涉及的内容较多，学生在学习的过程中往往不能从全局把握这门课程的脉络与结构，头脑中往往只是些零散的知识点，尤其学习数理统计时，感觉像套公式解决问题，似乎与概率论部分没有关系，很容易导致学习兴趣下降。实际上本课中很多知识是有联系的，教师可启发学生自己尝试总结规律，把书本知识化零为整，用一根“线”串起一门课程。例如几种常见的离散型分布，除了超几何分布外其他几种均是贝努利实验背景下与所关注的事件A相关的特定随机变量X的概率分布，记p=p（A），则：（1）设X表示1次实验中事件A发生的次数，则X~b（1，p）（两点分布）；（2）设X表示n次实验中事件A发生的次数，则X~b（n，p）（二项分布）；（3）设X表示∞次实验中事件A发生的次数，则X~p（λ）（泊松分布），其中λ≈np，n→∞；（4）设X表示事件A首次发生时的实验次数，则X~Ge（p）（几何分布）；（5）设X表示事件A第r次发生时的实验次数，则X~Nb（r，p）（负二项分布）。上述5种不同类型的分布之间存在如下联系：（1）设Xi~b（1，p），i=1，2，3，…，n且相互独立，则X=∑Xi~b（1，p）；（2）设Xi~Ge（p），i=1，2，3，…，n且相互独立，则X=∑Xi~Nb（r，p）；（3）设X~b（n，p），当p较小且n充分大时，令λ=np，则X≈p（λ），即泊松定理：limCpk（1-p）n-k=λ-k·e-λ/k！。

五、统计软件的辅助实践

《概率论与数理统计》这门课程公式多、计算烦琐，给应用带来困难。对具有概率统计功能软件的了解和掌握显然对理解和应用有极大的帮助。除Excel外，通用Mathem atica、SPSS等都是很好的工具，概率统计是最需要使用计算机的领域，我介绍SPSS软件自带的统计程序包，其中有实现常用统计计算的各种外部函数，我在教学中针对一个具体工程问题教授学生使用国内外广泛流行的SPSS统计软件进行分析，要求学生：（1）会用SPSS软件求概率、均值与方差；（2）能进行常用分布的计算；（3）会用上述软件进行期望和方差的区间估计；（4）会用上述软件进行回归分析。

例题：电容器铝箔电解扩面腐蚀工艺的影响因素主要包括电解液温度（A）、HCl浓度（B）、H2SO4浓度（C）、电解时间（D）、电解电流密度（E），以A、B、C、D、E为实验影响因素，比电容为影响指标，通过L16（45）正交实验，考察五个实验因素对指标的影响程度并做出显著性分析。对用SPSS软件对实验结果进行方差统计分析可知，五个实验因素电蚀扩面效果和阳极箔比电容都有显著影响，这和文献报道的结论相一致。五个实验因素影响程度大小顺序为硫酸浓度＞盐酸浓度＞电流密度＞时间＞温度，硫酸浓度是最重要的影响因素，因此可以对硫酸浓度进一步进行单因素实验，以确定出最佳的电解腐蚀扩面工艺，为相关行业高比容阳极铝箔的研制提供参考。

六、考核形式的转变

考核是对学生学习情况、教师教学效果的评估，采取何种形式进行考核，对于学生学习方法、教师教学方法都有导向作用。受应试教育的影响，国内大多课程的考核方法都是闭卷，但对于《概率论与统计学》这门实用性很强的课程来说，我认为授课的重点是要让学生掌握统计学的核心思想，学会利用统计的思维处理问题，而不是教会学生像学习“纯数学”那样机械地做题。该课程公式和计算众多，不能让公式和计算成为学生学习的障碍，应当重视对概率统计重要概念的理解、总结归纳问题和研究问题能力的培养。因此，我认为本课程考核中可以尝试开卷考核、半开半闭考核以及分组考核、实验考核及撰写小论文等多种形式，使学生不至于为死记一些定理公式浪费过多的时间。

七、教学效果

课堂教学无非有三种境界：一是传授知识，二是培养思想方法和能力，三是激发兴趣和应用意识。教师的教学任务之一就是要提升课堂教学境界，从上述几个方面改进传统教学模式，与时俱进引入新的思想和方法，使原本抽象、枯燥的数学理论变得形象生动，减轻了学生的学习负担，激发了学生的学习兴趣，进而提高了教学质量。可以说本文提出的教学改革方式真正实现了第二种、第三种境界。调查问卷和学生的反馈表明，新措施是有效的，提高了学生的学习兴趣和教学效果。教学工作是一项复杂而艰巨的任务，还需要在长期的教学工作中不断探索，积累经验，逐步提高。

[1]盛骤.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]李晓莉.概率统计的多元化教学探讨[J].大学数学，2005，21（04）.

[4]冯凤萍，崔继贤.概率统计的探索与改进[J].高师理科学刊，2004，24（02）.

[5]张瑞亭.对概率统计教学中若干问题的探讨[J].教育教学论坛，2014，（02）.

G642.0

A

1674-9324（2014）45-0109-03

山东省高校智能信息处理与网络安全重点实验室（聊城大学）资助

朱淑芹（1979-），女，山东聊城人，聊城大学计算机学院，讲师。

班朝磊（1975-），男，河南安阳人，聊城大学材料学院，副教授。