基于最小二乘法的湖北电网舞动区域分布图局部订正研究

吴边，黄俊杰，阮羚，3，马黎莉，徐燚鑫

（1. 湖北省电力公司，湖北 武汉 430070；2. 湖北省电力公司 电力科学研究院，湖北 武汉 430070；3. 国家电网公司高压电气设备现场试验技术重点实验室，湖北 武汉 430070；4. 武汉康普常青软件技术有限公司，湖北武汉 430074）

为了适应湖北电网高效智能精细化管理，需建立湖北电网舞动区域分布图智能绘制模型，实现舞动区域分布图的高效、自动、智能化的绘制。研究表明，地形起伏度是影响舞动发生的显著性因子[1]，如何准确建立舞动分布与地形起伏度的相关函数，是舞动区域分布图绘制的关键点之一。相关函数的建立通常采用回归分析。回归分析是处理多个变量之间相互关系的一种数学方法，其任务是找出响应Yi（因变量）与影响它的诸因素Xi（自变量，i=1，2，3，…，n）之间的统计关系，利用这种统计关系，在一定置信度下由各因素的取值去预测响应值得范围。其中，一元回归分析是处理2个变量之间数量相互关系，包含一元线性回归和一元非线性回归。理论上说，所有非线性回归问题均可转化成线性回归问题[2]。因此，本文采用一元线性回归分析湖北舞动与地形起伏度的相关性，建立地形起伏度订正模型，完成湖北舞动区域分布图的局部订正。

1 订正模型建立

1.1 最小二乘法原理

一元线性回归是分析因变量与单个自变量之间的线性关系的预测方法，其模型为

式中，y为因变量；x为自变量；ε为随机误差；a、b为待估回归参数；下标i为第i个观测值。

一元线性回归中最常用的方法是最小二乘法[3]，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”的表现形式，是相关回归分析的基础理论。最小二乘法的原理是给出一条直线，使得每个点离这条直线的纵向距离的平方和达到最小[4]。这里的纵向距离反应的是因变量的误差，可表示为

极小化该式的方法是对a和b求导，令导数等于0，从而解得方程求出a，b的值。

相关系数r是用来检验一元线性回归模型[5]，相关系数r越接近1，表明自变量X和因变量Y的相关程度越大。由于r值有正负之分，因此本文采用r的绝对值来验证一元线性回归模型。相关系数r的计算公式如下：

1.2 最小二乘法算法实现

根据式（4）、式（5），本文采用C#语言在绘制模型中实现最小二乘法，具体步骤如下（见图1）：

1）定义样本数据的输入接口及类型，将自变量X和因变量Y的输入类型设定为双精度数组型；

2）对样本数据进行循环遍历，分别求取自变量

胃肠道间质瘤是一种普遍出现的间叶源性肿瘤，中老年人是多发患者，通常是胃部发病[1]。本文使用CT和MRI对胃肠道间质瘤实施诊断，诊断效果显著，报告如下。

3）对数组型的自变量X进行循环遍历，求取自变量Xi与均值的差值的平方和e；

4）对数组型的因变量Y进行循环遍历，求取因变量Yi减去均值的差值Y再乘以e的累加总和f；

5）采用f除以e即得到回归系数b；

7）根据公式（6）计算相关系数r，求取r的绝对值。

图1 最小二乘法算法流程图Fig. 1 The flowchart of least squares algorithm

1.3 地形起伏度计算

地形起伏度是指在一个特定的区域内，最高点海拔高度与最低点海拔高度的差值[6]。地形起伏度的计算是在一定范围内进行的，这个范围依据DEM的精度来确定[1]。计算公式为

式中，R为地形起伏度计算范围；PDEM为DEM的象元大小。

绘制模型中采用C#+ArcEngine进行实现。

图2 地形起伏度计算流程图Fig. 2 The flowchart of calculating relief

1）采用ArcEngine 的空间分析工具（Spatial AnalysisTools）下的焦点统计（FocalStatistics）工具，设定参数：邻域类型（Neighborhood）为圆形，邻域大小（Radius）由式（6）确定，邻域统计类型（Statisticstype）为最大值（Maximum），计算得到DEM最大值。

2）再次采用焦点统计（FocalStatistics）工具，设定参数：邻域类型为圆形，邻域大小由式（6）确定，邻域统计类型为最小值（Minimum），计算得到DEM最小值。

3）采用ArcEngine的IMapAlgebraOp（地图代数计算）接口下的Execute方法，输入表达式（expression）。Maximum-Minimum，计算得到地形起伏度。

湖北DEM（数字高程模型）的精度为25，采用式（6）得到地形起伏度计算范围80，绘制模型中输入参数R=80，自动计算得到湖北区域地形起伏度（见图3）。

图3 湖北地形起伏度Fig. 3 The relief of Hubei

1.4 模型建立

从图3可以看出，湖北省地形起伏度值鉴于0到1 620.3之间。为了准确建立地形起伏度订正模型，本文分别对湖北舞动与地形起伏度进行对数、指数、幂函数、线性等回归分析，比较各自回归的相关系数r的绝对值，选择绝对值|r|最接近1的模型，作为地形起伏度订正模型。

采用ArcEngine的ExtractValuesToPoint工具从地形起伏度数据中提取出湖北77个气象站台所在位置的地形起伏度值作为自变量Xrdls；将77个气象站台的10年舞动日总数作为因变量Ywave。对数、指数、幂函数回归分析，按表1将Xrdls和Ywave进行相应的变换，输入绘制模型，建立回归模型；线性回归不需要变换，直接将Xrdls和Ywave输入绘制模型即可建立回归模型。

图4 湖北2013年舞动分布图Fig. 4 Hubeigalloping region distribution map in 2013

从表2可知，对数回归模型相关系数的绝对值达到了0.756 3，因此，选择该模型作为湖北地区地形起伏度订正模型。

表1 回归分析非线性变量转换方法Tab. 1 The regression analysis method of nonlinearvariable transformation

表2 回归分析结果Tab. 2 The results of regression analysis

2 舞动区域分布图订正

地形起伏度值小于100的区域，对舞动分布的影响作用不大。因此，在进行湖北舞动分布图订正时，只选择地形起伏度大于100的区域进行局部订正。地形起伏度小于100的区域，保留气象数据插值得到的10年舞动日数；地形起伏度大于100的区域，采用订正模型计算出的值作为10年舞动日总数。绘制模型中，采用ArcEngine的spatial analyst类库下的raster calculator工具，输入表达式：Con（[rdls]<100，wave_p，-2.022ln（[rdls]）+14.58）；rdls代表地形起伏度，wave_p代表气象数据插值成的舞动分布图。订正后的结果如图4所示。

对比图3、图4可知，订正后的湖北舞动区域分布图加入了地形起伏度因素，局部能更加准确详尽地表达湖北舞动的分布情况。从图4（b）（订正后）可以看出，湖北省舞动主要发生在襄阳、随州、荆门、荆州、孝感、武汉等区域，其中襄阳市、随州市、荆门市、荆州市政府驻地周围舞动相对强烈些；而湖北省周边地区，如十堰、恩施、宜昌西、黄石、黄冈、咸宁等，尽管海拔比较高，但是舞动级数相对较低。将湖北电网2000年以来实测的73次舞动等级与本文绘制的舞动分布图对比，其中67次与图中相符合，比例达到91.56%，表明订正后的舞动区域分布图与实际情况相符。

3 结语

本文在湖北电网舞动区域智能绘制模型中，采用最小二乘法进行一元线性回归，分析舞动区域与地形起伏度的相关性，建立地形起伏度订正模型，完成湖北舞动区域分布图的局部订正。结果表明订正模型精度较高，较符合湖北省输电线路舞动实际情况。

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