桥式起重机定位和消摆的非线性优化PID控制研究

朱发渊，汪朝晖，李欣欣

(武汉科技大学 机械自动化学院，武汉 430081)

0 引言

现代工业对桥式起重机自动化控制技术的要求越来越高，即要求系统具有准停和消摆功能。当小车实现自动准停后，无需驾驶员反复调整，点动操作次数大幅度下降，有利于起重机驱动部件寿命的提高，其经济性得到保障。当桥式起重机运动状态改变后，吊重的摆动近似无阻尼振动，若仅依靠空气阻尼实现消摆则需占用大量工作时间。因此实现桥式起重机准停与消摆的同步控制成为近年来桥式起重机自动控制技术的研究热点之一[1,2]。

当前，国内外诸多学者的研究方向是在建立系统简化数学模型的基础上，利用各类算法构建定位和消摆控制器，从而实现起重机精确定位及安全高效工作，而其中绝大多数定位和消摆控制器都采用PID控制器，取得了较好的控制效果。Cheng[3]和Jaroslaw[4]利用模糊控制器作为PID控制器的增益调谐，通过仿真结果表明，采用模糊控制器取得了较好的消摆效果；马海峰[5]针对模糊控制中论域范围选择的难题，设计了一种基于模糊推理的速度-位移双跟踪变论域控制器，其仿真结果表明采用该控制器具有较好的精度和实时性。杜文正[6]设计了一种基于粒子群算法优化的PID定位和消摆控制器，并通过仿真实验验证了该方法的有效性；李彭安[7]设计了一种无源性PID反馈控制器，其仿真结果表明采用该控制器具有实现起重机小车的精确定位和负载的消摆功能。

然而，实践发现PID控制器的设计进程中的参数的整定对控制效果影响深远，对于具有非线性和参数不确定性的桥式起重机系统，PID控制器参数整定至今仍然是研究重点和难点[8,9]。针对桥式起重机系统的非线性和不确定性，设计了一种基于非线性优化的定位和消摆控制器，利用两个非线性优化PID控制器分别对小车的位置和吊重的摆角进行控制，仿真结果表明采用该PID控制器具有较好的控制效果，且在系统参数变化时具有一定鲁棒性，研究结果为桥式起重机定位和消摆控制理论及方法提供了参考。

1 桥式起重机的数理模型

1.1 桥式起重机物理模型

由于桥式起重机模型较复杂，而采用牛顿力学建模较繁琐，因此为了对桥式起重机系统进行定位和消摆控制研究，简化了系统的物理模型，并采用拉格朗日方程对系统建模，进而得到其数学模型。

桥式起重机系统物理模型如图1所示，模型中的大车可以沿Z向平动，相对于大车小车则沿X向平动，并且绳长可变重物可自由摆动。系统控制的目标是在桥式起重机的工作区域内以较快的速度将重物从A(x1，y1)搬运到B(x2，y2)，同时限制重物的摆动在允许误差范围内。

由图1可知，桥式起重机物理模型小车和大车只在X，Z向做平动无转动，因此绳索在XOY和YOZ平面上的摆角分别由小车在X向平动和大车在Z向平动引起，故两个方向上的运动是自然解耦的。

1.2 桥式起重机的数学模型

论文在考虑系统机械元件的非线性时，而忽略了风载、空气阻力和钢丝绳质量等次要因素对系统的影响，简化的桥式起重机系统运动模型如图2所示。

在图2所示的桥式起重机系统中，小车、大车分别在电机驱动力fx、fy作用下沿X、Y方向上平动。设小车质量为Mx，大车质量为My，重物质量为m，绳长为l，小车和大车的粘性摩擦阻尼系数分别Dx、Dy，重物摆动时的阻尼系数为η。

设小车的位置坐标为（xM=x、yM=y、zM=0），则重物在图2所示坐标系中的位置（xm、ym、zm）如式(1)所示。

系统的动能为：

系统的势能为：

系统的动势为：

解得桥式起重机系统数学模型为：

考虑实际操作过程为：首先起重机将重物提升到指定高度后小车平动，到达准停位置后电机开始工作放下重物，即考虑起重机小车运行过程中电机处于制动状态。且在设计PID控制器时才考虑绳长等参数的变化，以此提高控制器对参数变化的鲁棒性，即则桥式起重机系统数学模型化为：

2 非线性优化原理

2.1 非线性优化工具箱简介

Response Optimization是与Simulink模型结合在一起，根据用户定义的性能指标约束，可以自动调节Simulink模型设计参数的一种工具，支持连续、离散以及多速率的模型[10]。采用该工具可以对标量形式、矢量形式以及矩阵形式的变量进行优化，并可对任意层次的模型进行变量约束。

当模型参数变化时，Response Optimization可以测试设计的鲁棒性。用户可以通过蒙特卡罗仿真或fixed-grid仿真来提高不确定性参数模型的鲁棒性，并可以在模型中设置不确定性参数的标称值及变化范围[11]。

2.2 非线性优化PID参数整定过程

使用非线性Response Optimization工具时，必须在Simulink模型中添加信号约束（Signal Constraint）模块。将此模块连接到模型中需要进行某种约束的信号上，Response Optimization工具会自动将时域约束转换成最优化约束问题，然后使用最优化工具箱（Optimization Toolbox）或遗传算法与直接搜索工具箱（Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox）中的最优化算法进行求解[14]。

如图3所示，将Response Optimization工具箱中的Signal Constraint模块连接到小车位置和摆角输出上，选择PID的Kp、Kd和Ki为优化参数，并设置位置上下限 ±0.05m及摆角上下限 ±0.1°，最后设置优化和仿真参数，即可开始优化计算。

3 非线性优化PID控制器的设计

3.1 常规PID控制器模型

由式(6)可以看出桥式起重机系统模型在X、Y方向上是完全对称的，即桥式起重机小车的运动在X、Y两个方向上是完全解耦的。因此论文只研究桥式起重机小车X方向的定位和消摆控制，并将系统的非线性仿真模型进行封装后，以此非线性模型为控制对象，减少了Y方向上不相关的输入和输出信号。根据方程组(7)，在Simulink环境下建立的桥式起重机小车定位和消摆控制的常规PID控制模型如图4所示。

模型中的外环为位置环，以确保小车在指定的位置准确停车，由PID1模块调节控制；内环为摆角环，以反馈摆角信号达到消除摆动的作用，由PID2模块调节控制。其中PID模块的传递函数如式(8)所示。

3.2 非线性优化PID控制器模型

由于常规PID控制器的参数不具有自动整定功能，因此当系统误差及其变化率较大时，常规PID控制器难以满足控制要求。基于此，论文采用Simulink中的非线性优化模块，设计了一种自动整定参数的PID控制器。当系统参数发生变化时，非线性优化模块能调用优化程序对所选定的PID参数进行优化，从而提高控制器的质量。仿照常规PID控制模型，桥式起重机定位和消摆系统的非线性优化PID控制模型如图5所示。

利用该模型仿真时将Signal Constraint模块接到输出端口上，并对模块进行响应的设置，则Simulink中的SRO(simulink response optimization)模块自动调用MATLAB中优化程序对待调整参数进行优化。

4 仿真实验

当参数m、l变化较频繁时，则PID参数需要不断调整，因而需要设计出具有一定鲁棒性的控制器。分别取可变参数m、l的变化范围为1≤ m≤3、0.6≤ m≤1，其他已知参数设置的与常规PID控制器一致，对Signal Constraint模块进行响应的设置后，运行非线性优化程序得到的两个PID模块的参数如式(10)所示。

图6为阶跃响应的PID控制位移曲线图。由图可知，采用常规PID控制的桥式起重机系统其位置响应有比较大的超调量，调整时间比较长。而采用非线性优化PID控制的桥式起重机系统能够在4秒内准确停车并消除摆动，其位置的超调量减小几乎为零且上升速度快，对起重机的运动状态起到了很好的控制作用。

图7为阶跃响应的PID控制摆角响应曲线图。由图可知，采用常规PID控制的桥式起重机系统摆角响应的调整时间也较长，控制效果不理想。而采用非线性优化PID控制的桥式起重机系统摆角响应过度时间短，能达到满意的控制效果，并且优化后的参数对系统参数的变化具有一定的鲁棒性。

5 结论

为提高桥式起重机自动化水平，实现起重机目标位置的精确停车和快速消摆的同步控制，提出并设计了一种基于非线性优化PID的定位和消摆控制器。

1)桥式起重机非线性系统模型在X、Y方向上是完全对称的，即桥式起重机小车的运动在X、Y两个方向上是自然解耦的，因此可以只研究桥式起重机小车在X方向的定位和消摆控制。

2)常规PID控制器在一定程度上可以确保小车在目标位置停车，并起到消除摆动的作用，但有较大的超调，且调整时间较长，摆角响应的调整时间也较长，控制效果不太理想。

3)基于非线性优化PID控制器比常规PID控制器具有更好的控制效果，其位置响应超调小，上升速度快，摆角响应过渡时间短，且在系统参数变化时具有一定鲁棒性。

[1]Sun,Ning,Fang Yongchun,Sun Xiuyun,et al.An energy exchanging and dropping-based model-free output feedback crane control method[J].Mechatronics,2013,23(6):549-558.

[2]Wen Yu,Marco A.Moreno-Armendariz,Floriberto Ortiz Rodriguez.Stable adaptive compensation with fuzzy CMAC for an overhead crane[J].Information Sciences,2011,181(21):4895-4907.

[3]Cheng Y C,Kuo H C.Fuzzy projection control law and its application to the overhead crane[J].Mechatronics,2008,18(10):607-615.

[4]Jaroslaw Smoczek.Fuzzy crane control with sensorless payload deflection feedback for vibration reduction[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2014,46(1):70-81.

[5]马海峰,丁国富,黄文培,等.起重机定位和防摆的变论域模糊控制[J].系统仿真学报,2014,26(2):425-429.

[6]杜文正,谢政,童国林,等.桥式起重机定位和防摆的粒子群算法优化PID控制[J].兵工自动化,2012,31(11):32-37.

[7]李彭安,陈志梅,孟文俊,等.基于无源性的三维桥式起重机定位和防摆控制[J].太原科技大学学报,2013,34(3):211-215.

[8]Solihin Mahmud,Iwan Wahyudi.Fuzzy-tuned PID Antiswing Control of Automatic Gantry Crane[J].Journal of Vibration and Control,2010,16(4):127-145.

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[11]朱汉卿,谷良贤.基于Simulink的导弹控制系统参数优化设计[J].航天控制,2008,26(3):79-82.