溯本求源 突破难点

俞海波

【摘  要】针对周长与面积两方面的知识容易混淆的问题，可在教学过程中加强实物操作，促进空间观念的生成;加强表象操作，促进空间观念的深化;巧用课件演示，促进新旧知识的连接;引导“以形助数”，渗透数形结合思想;强化逆向思维，摆脱思维定势，在溯本求源的过程中突破难点，明确周长与面积的联系与区别，提高数学教学效率。

【关键词】周长;面积;表象;空间观念;数形结合

小学阶段的几何知识中，“周长”和“面积”似乎是学生最容易混淆的两个概念。归根到底，产生这种“难点”现象的原因大致有这几点：没有真正理解“周长”和“面积”的概念;周长单位和面积单位的知识掌握不扎实，应用中难以区分辨别;“周长公式”和“面积公式”混淆;缺乏数形结合思想，缺失创造图形语言的能力;缺乏仔细审题的好习惯。鉴于此，笔者结合自身的实践教学经验，试图探寻一系列“破难点”的对策。

一、加强实物操作，促进空间观念的生成

儿童要获得几何知识并形成空间概念，更多的是依靠他们的动手操作。《小学数学教学大纲》指出，要通过直观教学和实际操作，来培养学生初步的逻辑思维能力。在空间与图形的教学中，从一开始，教师就要为学生提供充分而准确的感知材料，并恰当地组织学生使用实物、开展操作活动，精心组织好首次感知过程，使学生的空间观念在实物的操作中渐渐生成。

例如：在认识理解1平方厘米的含义，到认识1平方分米、1平方米的含义，笔者一直贯穿着“看一看”“摸一摸”“画一画”“比一比”“估一估”等丰富的实物体验活动。具体到看一看生活中的各种物体的表面;摸一摸课桌面、书本作业本封面、铅笔盒的各个表面、门的表面等;画一画边长为2厘米的正方形或者长3厘米、宽2厘米的长方形，用彩笔描出周长，用彩笔涂出面积等;估一估操场、黑板、桌面、试卷纸、信封、邮票等的面积有多大。让学生建立这些常用面积单位实际大小的表象，以帮助他们最终在头脑中形成这些面积单位的明确概念。

二、加强表象操作，促进空间观念的深化

实物操作的过程是学生通过动手操作获取感性知识的过程，表象操作是实物操作的过程在头脑中的反映和再现的过程，这一过程是思维概括和提炼深化的过程，它起着由感性认识向理性认识过渡的纽带作用。

教师可以引导学生寻找标准参照物，动口说一说，用手比划比划。

例如：1厘米、1分米、1米有多长？伸手比一比：1厘米约是一指甲宽，1分米约是拇指与中指之间的长度，1米约是伸开双臂，两臂间的长度。1米2、1分米2、1厘米2有多大？1厘米2大约一指甲盖大，1分米2大约一个手掌大，1米2约有四人伸开双臂围成的正方形大。

教师还可以让学生闭上眼睛，跟随教师的描述在脑中想象出实物操作的过程和相关细节，然后通过提问让学生用数学语言进行表述。当学生将自己的实物操作过程和结果用数学语言通过口头表达出来时，处在混沌状态的思维活动就逐渐明晰起来，从而形成规律性的认识。

三、巧用课件演示，促进新旧知识的连接

新知识往往是在旧知识的基础上构建起来的，如果在新旧知识的连接点上借助课件，会使学生的思维在“旧知识固定点——新旧知识连接点——新知识生长点”上有序展开，促进良好认知结构形成。

例如：在推导1米2=100分米2时，教师先出示一个边长为1米的正方形，提问它的面积有多大？一个边长为1分米的正方形，它的面积有多大？接着提问1米2的正方形里有多少个边长为1分米的正方形？然后课件演示拿1分米2的正方形摆满1米2的正方形的过程，或者将1米的正方形的边长平均分成10份，画出一个10行10列的方格，按同样的方法学生可得到1分米2=100厘米2。

四、引导“以形助数”，渗透数形结合思想

数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔列分家万事休。”这句话形象、简明、扼要地指出了形与数的相互依赖关系。教师必须在学生获取知识和解决问题的过程中渗透数形结合思想，有效提高学生学习数学的效率和能力。

例如：有4个正方形，边长都是3厘米。

（1）把它们拼成一个新的正方形。这个正方形的周长和面积各是多少？

我们可以根据题意画出草图，4个小正方形拼成一个大正方形只有一种拼法。具体草图如下：

有了这样的图形直观，从图中得知，大正方形的每条边上都是2个小正方形边长，因此，大正方形的边长就是3×2=6厘米，然后在图上标出已求信息。得到大正方形的边长是6厘米这个条件，我们可以应用正方形的周长公式（边长×4）和面积公式（边长×边长）解决最后的问题。周长：6×4=24（厘米）。面积：6×6=36（平方厘米）

（2）把它们拼成一个长方形。这个长方形的周长和面积各是多少？

根据经验得到，4个小正方形拼成长方形只有一种拼法，具体草图如下：

从图中可以清晰地得到，拼成后的长方形的宽是一个小正方形的边长，也就是3厘米，而拼成后的长方形的长则是由4个小正方形的边长组成，经过计算得到长为3×4=12厘米。同样在图上标出已求信息。从直观图中得到，这个长方形的长12厘米，宽3厘米，有了这两个条件，我们很容易应用长方形的周长公式（（长+宽）×2）和面积公式（长×宽）来解决最后的问题。周长：（12+3）×2=30（厘米）;面积：12×3=36（平方厘米）。

最后，结合2题的计算结果和以上2个直观图，学生们不难发现“同样4个小正方形，不管你拼成什么图形，它们的面积始终都是36平方厘米”这个规律。

五、强化逆向思维，摆脱思维定势

一般地，人们把习惯思维的方向叫做正向思维。逆向思维，是指和正向思维方向相反而又相互联系的思维过程，即我们通常所说的“倒着想”或“反过来想”。逆向思维是一种启发智力的方式，它突破了习惯思维的框架，克服了思维定势的束缚，所以带有创造性，常常使人茅塞顿开，甚至绝处逢生。

周长与面积的几何题里面就有不少需要借助逆向思维来解决的，这种类型的题也是学生几何题里的“拦路虎”，好多学生都“半途而废”，难以完全突破。如果学生已经有了扎实的几何基本功，比如熟练掌握概念和公式。那么在逆向思维的方法运用上，教师只要稍加引导，学生就能峰回路转，柳暗花明。最后，通过一定量逆向思维的强化训练，学生对容易混淆的概念的内涵和外延就有了比较明确的认识。

例如：（1）一块正方形菜地的周长是4米。它的面积是多少平方米？

（2）一个长方形的面积是40米，长是8米，它的周长是多少？

对于题（1），教师要引导学生先看问题，让学生说出要求正方形面积必须先知道什么条件，然后再顺势提问怎样从已知的正方形周长条件里求出正方形边长。

同样道理，对于题（2），教师也要引导从问题里面找突破点。要求长方形的周长，需要知道长和宽，现在长已知，那么肯定要先求宽，宽怎么求，就要根据条件里面有面积的信息，利用面积公式倒着求宽。

总之，在空间与图形的王国里，只要我们数学教师肯动脑筋、能花力气、不断学习，并且敢于正视教与学中的难点，勇于探寻产生难点的“源头”，善于“对症下药”，那么就一定能帮助我们的孩子根除“几何难”这个“顽疾”。endprint

【摘  要】针对周长与面积两方面的知识容易混淆的问题，可在教学过程中加强实物操作，促进空间观念的生成;加强表象操作，促进空间观念的深化;巧用课件演示，促进新旧知识的连接;引导“以形助数”，渗透数形结合思想;强化逆向思维，摆脱思维定势，在溯本求源的过程中突破难点，明确周长与面积的联系与区别，提高数学教学效率。

【关键词】周长;面积;表象;空间观念;数形结合

小学阶段的几何知识中，“周长”和“面积”似乎是学生最容易混淆的两个概念。归根到底，产生这种“难点”现象的原因大致有这几点：没有真正理解“周长”和“面积”的概念;周长单位和面积单位的知识掌握不扎实，应用中难以区分辨别;“周长公式”和“面积公式”混淆;缺乏数形结合思想，缺失创造图形语言的能力;缺乏仔细审题的好习惯。鉴于此，笔者结合自身的实践教学经验，试图探寻一系列“破难点”的对策。

一、加强实物操作，促进空间观念的生成

儿童要获得几何知识并形成空间概念，更多的是依靠他们的动手操作。《小学数学教学大纲》指出，要通过直观教学和实际操作，来培养学生初步的逻辑思维能力。在空间与图形的教学中，从一开始，教师就要为学生提供充分而准确的感知材料，并恰当地组织学生使用实物、开展操作活动，精心组织好首次感知过程，使学生的空间观念在实物的操作中渐渐生成。

例如：在认识理解1平方厘米的含义，到认识1平方分米、1平方米的含义，笔者一直贯穿着“看一看”“摸一摸”“画一画”“比一比”“估一估”等丰富的实物体验活动。具体到看一看生活中的各种物体的表面;摸一摸课桌面、书本作业本封面、铅笔盒的各个表面、门的表面等;画一画边长为2厘米的正方形或者长3厘米、宽2厘米的长方形，用彩笔描出周长，用彩笔涂出面积等;估一估操场、黑板、桌面、试卷纸、信封、邮票等的面积有多大。让学生建立这些常用面积单位实际大小的表象，以帮助他们最终在头脑中形成这些面积单位的明确概念。

二、加强表象操作，促进空间观念的深化

实物操作的过程是学生通过动手操作获取感性知识的过程，表象操作是实物操作的过程在头脑中的反映和再现的过程，这一过程是思维概括和提炼深化的过程，它起着由感性认识向理性认识过渡的纽带作用。

教师可以引导学生寻找标准参照物，动口说一说，用手比划比划。

例如：1厘米、1分米、1米有多长？伸手比一比：1厘米约是一指甲宽，1分米约是拇指与中指之间的长度，1米约是伸开双臂，两臂间的长度。1米2、1分米2、1厘米2有多大？1厘米2大约一指甲盖大，1分米2大约一个手掌大，1米2约有四人伸开双臂围成的正方形大。

教师还可以让学生闭上眼睛，跟随教师的描述在脑中想象出实物操作的过程和相关细节，然后通过提问让学生用数学语言进行表述。当学生将自己的实物操作过程和结果用数学语言通过口头表达出来时，处在混沌状态的思维活动就逐渐明晰起来，从而形成规律性的认识。

三、巧用课件演示，促进新旧知识的连接

新知识往往是在旧知识的基础上构建起来的，如果在新旧知识的连接点上借助课件，会使学生的思维在“旧知识固定点——新旧知识连接点——新知识生长点”上有序展开，促进良好认知结构形成。

例如：在推导1米2=100分米2时，教师先出示一个边长为1米的正方形，提问它的面积有多大？一个边长为1分米的正方形，它的面积有多大？接着提问1米2的正方形里有多少个边长为1分米的正方形？然后课件演示拿1分米2的正方形摆满1米2的正方形的过程，或者将1米的正方形的边长平均分成10份，画出一个10行10列的方格，按同样的方法学生可得到1分米2=100厘米2。

四、引导“以形助数”，渗透数形结合思想

数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔列分家万事休。”这句话形象、简明、扼要地指出了形与数的相互依赖关系。教师必须在学生获取知识和解决问题的过程中渗透数形结合思想，有效提高学生学习数学的效率和能力。

例如：有4个正方形，边长都是3厘米。

（1）把它们拼成一个新的正方形。这个正方形的周长和面积各是多少？

我们可以根据题意画出草图，4个小正方形拼成一个大正方形只有一种拼法。具体草图如下：

有了这样的图形直观，从图中得知，大正方形的每条边上都是2个小正方形边长，因此，大正方形的边长就是3×2=6厘米，然后在图上标出已求信息。得到大正方形的边长是6厘米这个条件，我们可以应用正方形的周长公式（边长×4）和面积公式（边长×边长）解决最后的问题。周长：6×4=24（厘米）。面积：6×6=36（平方厘米）

（2）把它们拼成一个长方形。这个长方形的周长和面积各是多少？

根据经验得到，4个小正方形拼成长方形只有一种拼法，具体草图如下：

从图中可以清晰地得到，拼成后的长方形的宽是一个小正方形的边长，也就是3厘米，而拼成后的长方形的长则是由4个小正方形的边长组成，经过计算得到长为3×4=12厘米。同样在图上标出已求信息。从直观图中得到，这个长方形的长12厘米，宽3厘米，有了这两个条件，我们很容易应用长方形的周长公式（（长+宽）×2）和面积公式（长×宽）来解决最后的问题。周长：（12+3）×2=30（厘米）;面积：12×3=36（平方厘米）。

最后，结合2题的计算结果和以上2个直观图，学生们不难发现“同样4个小正方形，不管你拼成什么图形，它们的面积始终都是36平方厘米”这个规律。

五、强化逆向思维，摆脱思维定势

一般地，人们把习惯思维的方向叫做正向思维。逆向思维，是指和正向思维方向相反而又相互联系的思维过程，即我们通常所说的“倒着想”或“反过来想”。逆向思维是一种启发智力的方式，它突破了习惯思维的框架，克服了思维定势的束缚，所以带有创造性，常常使人茅塞顿开，甚至绝处逢生。

周长与面积的几何题里面就有不少需要借助逆向思维来解决的，这种类型的题也是学生几何题里的“拦路虎”，好多学生都“半途而废”，难以完全突破。如果学生已经有了扎实的几何基本功，比如熟练掌握概念和公式。那么在逆向思维的方法运用上，教师只要稍加引导，学生就能峰回路转，柳暗花明。最后，通过一定量逆向思维的强化训练，学生对容易混淆的概念的内涵和外延就有了比较明确的认识。

例如：（1）一块正方形菜地的周长是4米。它的面积是多少平方米？

（2）一个长方形的面积是40米，长是8米，它的周长是多少？

对于题（1），教师要引导学生先看问题，让学生说出要求正方形面积必须先知道什么条件，然后再顺势提问怎样从已知的正方形周长条件里求出正方形边长。

同样道理，对于题（2），教师也要引导从问题里面找突破点。要求长方形的周长，需要知道长和宽，现在长已知，那么肯定要先求宽，宽怎么求，就要根据条件里面有面积的信息，利用面积公式倒着求宽。

总之，在空间与图形的王国里，只要我们数学教师肯动脑筋、能花力气、不断学习，并且敢于正视教与学中的难点，勇于探寻产生难点的“源头”，善于“对症下药”，那么就一定能帮助我们的孩子根除“几何难”这个“顽疾”。endprint

【摘  要】针对周长与面积两方面的知识容易混淆的问题，可在教学过程中加强实物操作，促进空间观念的生成;加强表象操作，促进空间观念的深化;巧用课件演示，促进新旧知识的连接;引导“以形助数”，渗透数形结合思想;强化逆向思维，摆脱思维定势，在溯本求源的过程中突破难点，明确周长与面积的联系与区别，提高数学教学效率。

【关键词】周长;面积;表象;空间观念;数形结合

小学阶段的几何知识中，“周长”和“面积”似乎是学生最容易混淆的两个概念。归根到底，产生这种“难点”现象的原因大致有这几点：没有真正理解“周长”和“面积”的概念;周长单位和面积单位的知识掌握不扎实，应用中难以区分辨别;“周长公式”和“面积公式”混淆;缺乏数形结合思想，缺失创造图形语言的能力;缺乏仔细审题的好习惯。鉴于此，笔者结合自身的实践教学经验，试图探寻一系列“破难点”的对策。

一、加强实物操作，促进空间观念的生成

儿童要获得几何知识并形成空间概念，更多的是依靠他们的动手操作。《小学数学教学大纲》指出，要通过直观教学和实际操作，来培养学生初步的逻辑思维能力。在空间与图形的教学中，从一开始，教师就要为学生提供充分而准确的感知材料，并恰当地组织学生使用实物、开展操作活动，精心组织好首次感知过程，使学生的空间观念在实物的操作中渐渐生成。

例如：在认识理解1平方厘米的含义，到认识1平方分米、1平方米的含义，笔者一直贯穿着“看一看”“摸一摸”“画一画”“比一比”“估一估”等丰富的实物体验活动。具体到看一看生活中的各种物体的表面;摸一摸课桌面、书本作业本封面、铅笔盒的各个表面、门的表面等;画一画边长为2厘米的正方形或者长3厘米、宽2厘米的长方形，用彩笔描出周长，用彩笔涂出面积等;估一估操场、黑板、桌面、试卷纸、信封、邮票等的面积有多大。让学生建立这些常用面积单位实际大小的表象，以帮助他们最终在头脑中形成这些面积单位的明确概念。

二、加强表象操作，促进空间观念的深化

实物操作的过程是学生通过动手操作获取感性知识的过程，表象操作是实物操作的过程在头脑中的反映和再现的过程，这一过程是思维概括和提炼深化的过程，它起着由感性认识向理性认识过渡的纽带作用。

教师可以引导学生寻找标准参照物，动口说一说，用手比划比划。

例如：1厘米、1分米、1米有多长？伸手比一比：1厘米约是一指甲宽，1分米约是拇指与中指之间的长度，1米约是伸开双臂，两臂间的长度。1米2、1分米2、1厘米2有多大？1厘米2大约一指甲盖大，1分米2大约一个手掌大，1米2约有四人伸开双臂围成的正方形大。

教师还可以让学生闭上眼睛，跟随教师的描述在脑中想象出实物操作的过程和相关细节，然后通过提问让学生用数学语言进行表述。当学生将自己的实物操作过程和结果用数学语言通过口头表达出来时，处在混沌状态的思维活动就逐渐明晰起来，从而形成规律性的认识。

三、巧用课件演示，促进新旧知识的连接

新知识往往是在旧知识的基础上构建起来的，如果在新旧知识的连接点上借助课件，会使学生的思维在“旧知识固定点——新旧知识连接点——新知识生长点”上有序展开，促进良好认知结构形成。

例如：在推导1米2=100分米2时，教师先出示一个边长为1米的正方形，提问它的面积有多大？一个边长为1分米的正方形，它的面积有多大？接着提问1米2的正方形里有多少个边长为1分米的正方形？然后课件演示拿1分米2的正方形摆满1米2的正方形的过程，或者将1米的正方形的边长平均分成10份，画出一个10行10列的方格，按同样的方法学生可得到1分米2=100厘米2。

四、引导“以形助数”，渗透数形结合思想

数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔列分家万事休。”这句话形象、简明、扼要地指出了形与数的相互依赖关系。教师必须在学生获取知识和解决问题的过程中渗透数形结合思想，有效提高学生学习数学的效率和能力。

例如：有4个正方形，边长都是3厘米。

（1）把它们拼成一个新的正方形。这个正方形的周长和面积各是多少？

我们可以根据题意画出草图，4个小正方形拼成一个大正方形只有一种拼法。具体草图如下：

有了这样的图形直观，从图中得知，大正方形的每条边上都是2个小正方形边长，因此，大正方形的边长就是3×2=6厘米，然后在图上标出已求信息。得到大正方形的边长是6厘米这个条件，我们可以应用正方形的周长公式（边长×4）和面积公式（边长×边长）解决最后的问题。周长：6×4=24（厘米）。面积：6×6=36（平方厘米）

（2）把它们拼成一个长方形。这个长方形的周长和面积各是多少？

根据经验得到，4个小正方形拼成长方形只有一种拼法，具体草图如下：

从图中可以清晰地得到，拼成后的长方形的宽是一个小正方形的边长，也就是3厘米，而拼成后的长方形的长则是由4个小正方形的边长组成，经过计算得到长为3×4=12厘米。同样在图上标出已求信息。从直观图中得到，这个长方形的长12厘米，宽3厘米，有了这两个条件，我们很容易应用长方形的周长公式（（长+宽）×2）和面积公式（长×宽）来解决最后的问题。周长：（12+3）×2=30（厘米）;面积：12×3=36（平方厘米）。

最后，结合2题的计算结果和以上2个直观图，学生们不难发现“同样4个小正方形，不管你拼成什么图形，它们的面积始终都是36平方厘米”这个规律。

五、强化逆向思维，摆脱思维定势

一般地，人们把习惯思维的方向叫做正向思维。逆向思维，是指和正向思维方向相反而又相互联系的思维过程，即我们通常所说的“倒着想”或“反过来想”。逆向思维是一种启发智力的方式，它突破了习惯思维的框架，克服了思维定势的束缚，所以带有创造性，常常使人茅塞顿开，甚至绝处逢生。

周长与面积的几何题里面就有不少需要借助逆向思维来解决的，这种类型的题也是学生几何题里的“拦路虎”，好多学生都“半途而废”，难以完全突破。如果学生已经有了扎实的几何基本功，比如熟练掌握概念和公式。那么在逆向思维的方法运用上，教师只要稍加引导，学生就能峰回路转，柳暗花明。最后，通过一定量逆向思维的强化训练，学生对容易混淆的概念的内涵和外延就有了比较明确的认识。

例如：（1）一块正方形菜地的周长是4米。它的面积是多少平方米？

（2）一个长方形的面积是40米，长是8米，它的周长是多少？

对于题（1），教师要引导学生先看问题，让学生说出要求正方形面积必须先知道什么条件，然后再顺势提问怎样从已知的正方形周长条件里求出正方形边长。

同样道理，对于题（2），教师也要引导从问题里面找突破点。要求长方形的周长，需要知道长和宽，现在长已知，那么肯定要先求宽，宽怎么求，就要根据条件里面有面积的信息，利用面积公式倒着求宽。

总之，在空间与图形的王国里，只要我们数学教师肯动脑筋、能花力气、不断学习，并且敢于正视教与学中的难点，勇于探寻产生难点的“源头”，善于“对症下药”，那么就一定能帮助我们的孩子根除“几何难”这个“顽疾”。endprint