一种复杂多面体上三重积分的计算方法

李京梁，任传荣

(江苏科技大学张家港校区基础部，江苏张家港215600)

关于重积分的计算方法一直是高等数学和数学分析［1-2］中的重要内容.由于积分区域的复杂性，重积分的计算可能变得十分困难甚至不可能，因此，简化积分区域在重积分运算中十分重要.本文给出空间一般四面体、五面体和六面体到立方体C=［-1，1］3的区域变换，由此简化积分区域，然后结合区域分裂的思想，提出一种新的解决复杂多面体区域上三重积分的方法.

1 3 个区域变换

1)XYZ空间中的任意四面体ABCD到RSQ空间中立方体 C=［-1，1］3的一一映射［5-7］(图 1 左上)为

图1 多面体空间区域变换

2)XYZ空间中的一般五面体ABCEFG到RSQ空间中立方体 C=［-1，1］3的一一映射［3-4］(图 1 左下)为

3)XYZ空间中的一般六面体ABCDEFGH到RSQ空间中立方体C=［-1，1］3的一一映射［3-4］(图1右)为

2 区域分裂及化简重积分

对于XYZ空间中的的任意一个复杂多面体区域Ω，都可以将其分裂成上述四面体、五面体和六面体的组合，如图2 所示，Ω =Ω1∪Ω2∪Ω3.

图2 区域Ω的分裂

图3 三棱维积分区域

利用映射(1.1)，(1.2)和(1.3)，结合重积分关于积分区域Ω的可加性，则在区域上的三重积分

3 示例

例1 设积分区域为三棱锥IFC-G，如图3所示.各点坐标为(-0.5，0.5，1)、F(0.5，0.5，0)、C(-1，1，-1)、G(-0.5，0.5，0)，被积函数取为 3x-2y-z，则由映射(1.1)经运算知

例2 设积分区域为如图3整个区域，点I、F、C、G的坐标如例1，其他点坐标为A(1，-1，-1)、B(1，1，-1)、D(-1，-1，-1)、E(0.5，-0.5，0)、H(-0.5，-0.5，0)、J(-0.5，-0.5，1)，被积函数仍取为3x-2y-z，则由映射(1.1)经运算知

(3x-2y)|=(55-5s+15r-5rs)/8，J1=(10-5r-5s)/16

则由映射(1.2)经运算知

(3x-2y)||=(3-s+17r+rs)/4，J2=(14+3r+s)/8，故

［1］伍胜健.数学分析［M］.北京:北京大学出版社，2010:131-163.

［2］同济大学数学系.高等数学［M］.北京:高等教育出版社，2007:132-153.

［3］胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法［M］.北京:科学出版社，2007:324-328.

［4］ Canuto C，Hussaini M Y，Quarteroni A，et al，Spectral Methods［M］.Berlin，Springer，2006:98-115.

［5］张帅胤，马和平，王立联.椭圆型方程的Legendre三角单元谱元法［J］.上海大学学报，2012，18(3):256-260.

［6］ Li YY，Wang LL，Li HY，et al.A new spectral method on triangles［J］.ICOSAHOM，Norway，2009.

［7］ Canuto C，Hussaini M Y，Quarteroni A，et al，Spectral Methods［M］.Berlin，Springer，2006:98-115.