平底Ⅰ型马蹄形断面临界水深的简化计算公式
2014-12-16李风玲林超慧唐壮丽
文 辉,李风玲,赵 洁,林超慧,唐壮丽
(惠州学院建筑与土木工程系,广东惠州 516007)
在输水工程设计中,主要有圆形、城门洞形和马蹄形等几种过水断面形式,它们都具有力学条件好、水流平顺等特点。目前国内外学者对圆形、城门洞形和马蹄形断面的正常水深、临界水深等水力计算问题进行了较为深入的分析研究,得到许多简捷的计算公式,解决了不少常规算法中存在的工程实际问题[1-9]。平底Ⅰ型马蹄形断面由标准Ⅰ型马蹄形断面演化而来,即将底拱改为平底,它对于基底压力不大的地质情况或断面尺寸较小的Ⅰ型马蹄形隧洞较为适合,且施工尺寸容易控制,受力条件好,因而应用广泛[10]。文辉等[11]给出了这种断面形式的临界水深的直接计算公式,但该公式为分段函数,需要根据水深的具体情况来判别,选择相应的计算公式,不便应用。为此,本文从平底Ⅰ型马蹄形断面临界水深基本方程出发,依据给水排水工程规范及水利工程规范等要求,考虑工程实际应用情况,确定公式的适用范围,对无量纲临界水深和无量纲参数之间的关系进一步分析研究,应用拟合优化方法,得到平底Ⅰ型马蹄形断面临界水深的简化计算公式。
1 临界水深基本方程及水力要素
1.1 临界水深的基本方程
明渠水流中存在缓流、临界流和急流3种流态。临界水深是相应于明渠水流断面单位能量最小的水深,在明渠水力计算中是很重要的,它必须满足临界流方程:
式中:Q为流量,m3/s;α为动能修正系数,本文取1.0;g为重力加速度,m/s2;A为相应于临界水深时的过水断面面积,m2;B为相应于临界水深时的水面宽度,m。
1.2 断面的构成
平底Ⅰ型马蹄形断面将标准I型马蹄形断面的底拱改为平底,如图1所示(图中r为顶拱半径,它是构成平底Ⅰ型马蹄形断面最基本的几何参数;θ为底拱的弦所对应的圆心角的一半,亦为两侧拱对应的圆心角;γ为过水断面侧拱对应的圆心角;φ为过水断面顶拱对应的圆心角;hd为平底Ⅰ型马蹄形的特征高度)。
图1 平底Ⅰ型马蹄形断面
1.3 断面的水力要素
根据平底Ⅰ型马蹄形断面的几何特点,2种水力条件下断面的临界水深h和其他水力要素的计算公式如下:
a.当0<h≤hd或0≤γ≤θ时,有
式中:c为常数,取1.667322。
1.4 临界水深的隐函数表达式
设无量纲临界水深为临界水深与断面顶拱半径之比,即
那么2个未知的圆心角就可用无量纲临界水深 X来表示:
将式(2)~(5)代入式(1)并整理,可得平底I型马蹄形断面临界水深带反三角函数的高次隐函数表达式:
2 临界水深计算公式的适用范围
根据DL/T 5195—2004《水工隧洞设计规范》[12],为了保证在水位变化情况下无压隧洞仍能保持无压流状态,要求通过最大流量时隧洞过水断面面积不大于隧洞断面总面积的85%,即
式中:A*、A0分别为通过最大流量时隧洞的过水断面面积和总面积。
根据水力要素计算公式可知:
将式(8)和式(9)代入式(7),得到三角函数超越方程,即
经试算解得 φ=1.9134,X=1.447。为了提高公式的适用性,适当外延h的上限取值,即h上=1.60r;考虑到大多数工程实际应用情况,过小水深没有太大的实际意义,h的下限取值h下=0.05r,所以无量纲临界水深计算公式的工程适用范围为0.05≤X≤1.60。
3 临界水深的简化计算公式
为了方便研究,将式(6)左侧的已知量设为无量纲参数,即
本文以幂函数形式构造计算公式,通过进行大量试算,并采用编程逐步拟合优化的方法,得到无量纲临界水深的简化计算公式:
4 误差分析
表1 简化公式误差分析
从表1可以看出,在工程适用范围内,临界水深计算值的最大相对误差绝对值为0.485%,最小仅为0.020%,且绝大多数小于0.400%,可见式(12)具有较高的精度,可极大地方便工程设计人员在平底Ⅰ型马蹄形断面隧洞工程设计中直接使用。
5 算例
某水库输水隧洞采用平底Ⅰ型马蹄形断面,初设顶拱半径r=2.5 m,计算通过流量Q=100 m3/s时对应的临界水深h。
6 结论
a.对平底Ⅰ型马蹄形断面的临界水深基本方程进行数学变换,以幂函数形式构造公式,采用优化拟合方法得到临界水深的简化计算公式。
b.该简化计算公式不是分段函数,无论水深位于隧洞下部扇形还是上部半圆形内,都可以直接计算临界水深,计算简捷方便,通用性强,适用范围广。
c.在工程适用范围内,简化公式最大相对误差的绝对值为0.485%,计算结果精度较高,可为平底马蹄形断面隧洞工程设计提供参考。
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