参考答案

数列测试卷（A卷）

1. 因为a1+a5=a2+a4=6，所以S5==×6=15，选B.

2. D

3. a3a11=16？圳a=16？圳a7=4？圯a16=a7×q9=32？圳log2a16=5. 选B.

4. C

5. 记bn=，则b3=，b5=，数列{bn}的公差为×-=，b1=，所以bn=，即=，所以an=，故a11=0. 选A.

6. 当1≤n≤24时，an>0;当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值;当51≤n≤74时，an>0;当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值，所以当1≤n≤100时，均有Sn>0. 选D.

7. 设数列{an}，{bn}的公差分别为d，b，则由a3+b3=21，得a1+b1+2（b+d）=21，所以b+d=7，所以a5+b5=a1+b1+4（b+d）=7+4×7=35.

8. 将S2=3a2+2，S4=3a4+2转化成用a1，q表示的式子，即a1+a1q=3a1q+2，a1+a1q+a1q2+a1q3=3a1q3+2，两式作差得：a1q2+a1q3=3a1q（q2-1），即2q2-q-3=0，解之得：q=或q=-1（舍去）.

9. 每天植树棵数构成等比数列{an}，其中a1=2，q=2，则Sn==2（2n-1）≥100，即2≥102，所以n≥6，所以最少天数n=6.

10. 令n=1得=4，即a1=16;当n≥2时，=（n2+3n）-[（n-1）2+3（n-1）]=2n+2，所以an=4（n+1）2. 当n=1时，也适合上式，所以an=4（n+1）2（n∈N？鄢）. 于是=4（n+1），故++…+=2n2+6n.

11. （1）an=3n，bn=3.

（2）由（1）可知，Sn=，所以cn===-，故Tn=·1-+-+…+-=1-=.

12. （1）当n=k∈N？鄢时，Sn=-n2+kn取最大值，即8=-k2+k2=k2，故k2=16，因此k=4，从而an=Sn-Sn-1=-n（n≥2）. 又a1=S1=，所以an=-n.

（2）因为bn==，Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++，所以2Tn=2+++…++，所以Tn=2Tn-Tn=2+1+++…+-=4-.

13. （1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，依题意可知2a1+a3=3a2，a2+a4=2（a3+2），即a1（2+q2）=3a1q，a1（q+q3）=2a1q2+4.由此得q2-3q+2=0，解得q=1或q=2. 当q=1时，不合题意，舍去;当q=2时，得a1=2，所以an=2·2=2n.

（2）bn=an+log=2n+log=2n-n，所以Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n=（2+22+…+2n）-（1+2+…+n）=-=2--2. 因为Sn-2+47<0，所以2--2-2+47<0，即n2+n-90>0，解得n>9或n<-10. 因为n∈N？鄢，故使Sn-2+47<0成立的正整数n的最小值为10.

数列测试卷（B卷）

1. Sn=2an+1=2（Sn+1-Sn），整理得3Sn=2Sn+1，所以=，所以数列{Sn}是以S1=a1=1为首项，公比q=的等比数列，所以Sn=n-1，选B.

2. 选项C显然是错的，举出反例：-1，0，1，2，3，…，其满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn>0不成立. 故选C.

3. 因为a3=a1+2d=a1-4，a7=a1+6d=a1-12，a9=a1+8d=a1-16，又因为a7是a3与a9的等比中项，所以（a1-12）2=（a1-4）·（a1-16），解得a1=20. 所以S10=10×20+×10×9×（-2）=110.

4. 由a2=，a3=-1，a4=2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而Π2013=（-1）671= -1. 选D.

5. 设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由a2=b2，3a5=b3可得3+d=q，3（3+4d）=q2，d≠0， 解之得d=6，q=9，则an=3+6（n-1）=6n-3，bn=9. 由an=3logubn+v可得6n-3=3logu9n-1+v，即6n-3=6（n-1）logu3+v=6nlogu3+v-6logu3恒成立，所以logu3=1，v-6logu3=-3，所以u=3，v=3， 所以u+v=6. 选C.

6. x3=a-1=1-a，x1+x2+x3=2. 因为xn+3=xn，所以x+x+x=x1+x2+x3=2（k∈N？鄢），所以S2010=（x1+x2+x3）+… +（x2008+x2009+x2010）=2×670=1340，选D.

7.

8. 因为an+1-an=2n，所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n，所以Sn==2-2.

9. 因为{an}，{bn}为等差数列，所以可得+=+==. 因为===，所以=.

10. 第2行成公差为d的等差数列，可得a2=a4-2d=5-2d，第n行的数的个数为2n-1，从第1行到第n行的所有数的个数总和为=n2，86=92+5，第10行的前几个数为：a82，a83，a84，a85，a86，…，所以a82=a86-4d=518-4d. 第一列a1，a2，a5，a10，a17，a26，a37，a50，a65，a82，…构成一个公比为2的等比数列，故有a82=a2·28，即518-4d=（5-2d）·28，解得d=1.5.endprint

11. （1）an=a·a=an.

（2）由（1）知，bn=+1=. 若{bn}为等比数列，则有b=b1·b3，而b1=3，b2=，b3=，故=3·，解得a=. 再将a=代入得bn=3n，其为等比数列，所以a=成立. 又由于①=>==，②=≤，故存在M≥. 所以符合①②，故为“嘉文”数列.

12. （1）an=10-2n.

（2）由an≥0且an+1<0，可得：当n≤5时，Tn=Sn==-n2+9n;当n>5时，Tn=a1+…+a5-（a6+…+an）=2S5-Sn=n2-9n+40. 所以Tn=-n2+9n，n≤5且n∈N？鄢，n2-9n+40，n>5且n∈N？鄢.

（3）由bn==-，用裂项相消法求和得Rn==-. 构造函数f（x）=-，则函数f（x）=-在（-1，+∞）上单调递增，所以{Rn}单调递增，即R1=是数列{Rn}的最小值. 要使Rn>对n∈N？鄢总成立，只需

13. （1）由已知可得an=a+（n-1）b，bn=b·an-1. 由a1a，故b≥3. 再由aba，故（a-2）b

（2）由a=2，对于任意的n∈N？鄢，均存在m∈N？鄢，使得b（m-1）+5=b·2n-1，则b（2n-1-m+1）=5. 又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数. 故2-m+1=1，b=5. 所以b=5时，存在正自然数m=2满足题意.

（3）设数列{cn}中，cn，cn+1，cn+2成等比数列，由cn=2+nb+b·2n-1，（cn+1）2=cn·cn+2，得（2+nb+b+b·2n）2=（2+nb+b·2n-1）（2+nb+2b+b·2n+1）. 化简得：b=2n+（n-2）b·2（？鄢）. 当n=1时，b=1时，等式（？鄢）成立，而b≥3，不成立;当n=2时，b=4时，等式（？鄢）成立;当n≥3时，b=2n+（n-2）b·2>（n-2）b·2n-1≥4b，这与b≥3矛盾，这时等式（？鄢）不成立. 综上所述，当b≠4时，不存在连续三项成等比数列;当b=4时，数列{cn}中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50.

不等式测试卷（A卷）

1. 原不等式等价于（x-1）（2x+1）<0或x-1=0，即-

2. C

3. 此类题目多选用筛选法，对于A，当x=时，两边相等，故A错误;对于B，其具有基本不等式的形式，但是sinx不一定大于零，故B错误;对于C，x2+1≥2x？圳x2±2x+1≥0？圳（x±1）2≥0，显然成立;对于D，任意x都不成立. 故选C.

4. x>2，所以f（x）=x+=x-2++2≥2+2=4，当且仅当x-2=，即x=3时取等号. 选 C.

5. 设生产x桶甲产品、y桶乙产品，总利润为z，则约束条件为x+2y≤12，2x+y≤12，x>0，y>0，目标函数为z=300x+400y，画出可行域，当目标函数直线经过点（4，4）时，z有最大值，此时z=2800，故选C.

6. C

7. 因为x+1-x-3≥0，所以x+1≥x-3，所以（x+1）2≥（x-3）2，解得{xx≥1}.

8. 目标函数z=2x-y，y=2x-z，求z的最小值，也即直线y=2x-z的纵截距-z的最大值，当直线移动到过点A时，z的值最小，此时z=2×1-1=1.

9. 因为+==≥=8，当且仅当2m=1-2m，即4m=1，m=时取等号，所以要使+≥k恒成立，则有k≤8，即k的最大值为8.

10. ①a2-b2=1？圯（a-b）（a+b）=1，因为a+b>a-b，所以a-b<1，所以①是真命题;②当-=1时，无法确定a-b<1，②是假命题;③当a=9，b=4时，-=1，a-b=5>1，③是假命题;④同①可证，为真命题. 故填①④.

11. p为真，则1

12. 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为=++4.95，当且仅当=时，取得最小值，此时n=800.

13. （1）因为a·b=0且m⊥n，所以m·n=[a+（x2-3）b]·（-ya+xb）=-y（a）2+x（x2-3）（b）2=-3y+x（x2-3）=0，即y=f（x）=x3-x. f ′（x）=x2-1=（x+1）（x-1），在（-∞，-1）和（1，+∞）上， f ′（x）>0， f（x）为增函数;在（-1，1）上， f ′（x）<0， f（x）为减函数. f（x）极大值=f（-1）=， f（x）极小值=f（1）=-.

（2）由（1）知f（x）=x3-x在[-1，1]上为减函数，所以x∈[-1，1]时， f（x）max=f（-1）=， f（x）min=f（1）=-. 所以对任意x1，x2∈[-1，1]，都有f（x1）-f（x2）≤--=. 故存在正数M≥符合要求.

不等式测试卷（B卷）

1. 由不等式及a>b>1知<，又c<0，所以>，①正确;由指数函数的图象与性质知②正确;由a>b>1，c<0知a-c>b-c>1-c>1，由对数函数的图象与性质知③正确. 选 D.endprint

2. A中当a=b时不成立，B中当a，b<0时不成立，C中当a=b时不成立. 选 D.

3. 由ax=by=3，得x=log3，y=log3，所以=loga，=logb. 又a>1，b>1，所以x>0，y>0，所以+=logab≤log=1. 故选C.

4. D

5. 如图1，当直线x=m经过函数y=2x的图象与直线x+y-3=0的交点时，函数y=2x的图象仅有一个点P在可行域内，由y=2x，x+y-3=0 得P（1，2），所以m≤1. 故选B.

图1

6. D 因为f（n+1）-f（n）=+->+-=0，所以n≥2且n∈N？鄢时， f（n）min=f（2）=+=. 由题意可得7+7logab>7loga+1b+7，即logab>loga+1b，a>1. 故由对数函数的图象可知b>1.

7. 乙    8. ，0

9. 作出不等式2

因为a2+b2表示区域内的动点P（a，b）到原点距离的平方，由图象可知

图2

10. 要使（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，则有（x+y）2+1≥a（x+y），即a≤（x+y）+恒成立. 由x+y+3=xy得x+y+3=xy≤，即（x+y）2-4（x+y）-12≥0，解得x+y≥6或x+y≤-2（舍去）.

设t=x+y，则t≥6，y=（x+y）+=t+，在t≥6时，单调递增，所以y=t+的最小值为6+=，所以a≤，即实数a的取值范围是-∞，.

11. （1）由<0，得P={x-1

（2）Q={xx-1≤1}={x0≤x≤2}. 由a>0，得P={x-12，即a的取值范围是（2，+∞）.

12. 设为该儿童分别预订x，y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z=2.5x+4y. 可行域为12x+8y≥64，6x+6y≥42，6x+10y≥54，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，即3x+2y≥16，x+y≥7，3x+5y≥27，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.作出可行域，经试验发现，当x=4，y=3时，花费最少，z=2.5×4+4×3=22元.

13. （1）当a=2时，n2f（n）-（n-1）f（n+1）=2n（n2-2n+2）=2n[（n-1）2+1]>0，即n2f（n）>（n-1）f（n+1）.

（2）因为==1+a+a2+a3，所以存在实数a（a>0，a≠1）使得，λ=1+a+a2. 求出上述以a为自变量的二次函数的值域，即得λ>1且λ≠3.

（3）原不等式可化为≤？圳≤？圳2n≤. 因为=a+（1+a+a2+…+an-1）=（a+a2+…+an）+++…+=a++a2++…+an+≥2n，所以原不等式成立.

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1. D  A∩B={4}？圳m=±2.

2. C  20.5>20=1，0=logπ1

3. B  由图知， f（x）在x=π时取到最大值，且最小正周期T满足T=π+. 故A=，×=？圯ω=2. 故sin2×+θ=sin+θ=，+θ=2kπ+，θ=2kπ-，k∈Z. 所以f（x）=sin2x-. 或由fπ=逐个检验知f（x）=sin2x-.

4. B  圆O关于原点O对称. 函数y=x3与函数y=tanx是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称， 能等分圆O的面积;而y=xsinx是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，且当00，不能等分圆O的面积.

5. （理）C  x-12展开式中的通项为Tk+1=Cx12-k-k=C（-1）kx（k=0，1，2，…，12）. Tk+1为常数项的充要条件是12-=0，即k=9. 常数项T10=-C= -220.

（文）C  设f（x）=lnx+x-3，当连续函数f（x）满足f（a）f（b）<0时， f（x）=0在（a，b）上有解.

6. C  T=0，S=1？圯T=1，S=0？圯T=1，S= -1？圯T=0，S=-1？圯T=-1，S=0.

7. D  a1=，a2=××=，a3=××=，a4=××=，…. 由数学归纳法可证明：当n为大于1的奇数时，an=;当n为正偶数时，an=. 故a1413-a1314=.

8. B  设交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程：ax+by=1，ax+by=1. 由两式得：1+··=0，即1+··=0，可化简为：1+·（-1）·=0，即=.

9. A  已知x，y满足x2+（y-2）2=2，则w=可化为w=3+;要求w=3+的最大值，即求的最大值. 由基本不等式可知2xy≤x2+y2，所以≤1，当且仅当x=y，x2+（y-2）2=2取等号，即x=y=1时，w=的最大值为wmax=4.

（文）A  命题p和命题q均为假命题.

10. A  过O作与直线l垂直的直线m，以O为原点，直线m为x轴，单位为1，建立平面直角平面坐标系. 设直线l：x=（a≠0），P，y0是直线上任意一点，它的“对偶点”为P′（x，y），则存在λ>0，使得=λ，即=λx，y0=λy. 又OP·OP′=·=+y0y=1，消去λ，得x2+y2-ax=0. 故P′，Q′，R′，S′在过点O的圆：x2+y2-ax=0上.endprint

11. （文）15  （理）1，.

12. （文）（-3，-6）  （理）[4，+∞）

13. 8

14. 如图3， f（x）在[0，1），[1，+∞）上均单调递增， 由a>b≥0及f（a）=f（b）知a≥1>b≥. bf（a）=bf（b）=b（b+1）的取值范围为+1，（1+1）=，2.

图3

15. 由等差数列{an}的a1+2a2+…+nan的和，则等比数列{cn}可类比为c1·（c2）2…（cn）n的积;对a1+2a2+…+nan求算术平均值，所以对c1·（c2）2…（cn）n求几何平均值，所以类比结果为（c1·c22·c33·…·cnn）.

14.（理）2

15.（理），

16. （理）令p==，则S△ABC===. （另解：cosθ==，所以sinθ=，所以S△ABC=×4×5×=.）

S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC？圯=（4x+5y+6z）？圯4x+5y+6z=. 由柯西不等式（4x+5y+6z）2≤（x2+y2+z2）（42+52+62）？圯≤77（x2+y2+z2）？圯x2+y2+z2≥.

图4

16. （文）（1）f=cos2+sincos=2+×=.

（2）f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+（sin2x+cos2x）=+·sin2x+，所以f+=+·sinα++=+sinα+=+sinα·+cosα·. 因为sinα=，且α∈，π，所以cosα=-. 所以f+=+×-×=.

17. （理）（1）因为（b2+c2-a2）=2bc，所以cosA==. 因为0

（2）因为m=2sin-B，1，n=sin+B，-1，所以m·n=2sin-B·sin+B-1=2×（cosB-sinB）×（cosB+sinB）-1=cos2B-sin2B-1=-2sin2B.

因为B=2A，所以sinB=sin2A=2sinAcosA=，m·n==-.

（文）（1）s==0.2，t=1-0.1-s-0.3-0.25=0.15.

（2）设应抽取x名第一组的学生，则=，得x=2. 故应抽取2名第一组的学生.

（3）在（2）的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为a1，a2，2名女生为b1，b2. 按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种结果，列举如下：a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2. 其中既有男生又有女生被抽中的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2这4种结果，所以既有男生又有女生被抽中的概率为P==.

18. （理）（1）P（A）==，P（B）=1-P（B）=1-C0404+C1413=1-=.

（2）a，b，ξ的可能取值如下表所示：

由表可知：P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）==. 所以随机变量ξ的分布列如表，所以E（ξ）=1×+2×+4×=.

（文）（1）取EC的中点N，连结MN，BN. 在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点， 所以MN∥CD，且MN=CD. 由已知AB∥CD，AB=CD， 所以MN∥AB，且MN=AB.所以四边形ABNM为平行四边形. 所以BN∥AM. 又因为BN？奂平面BEC，且AM？埭平面BEC，所以AM∥平面BEC.

（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD. 又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC. 在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=. 在△BCD中，BD=BC=，CD=2，所以BD2+BC2=CD2. 所以BC⊥BD. 所以BC⊥平面BDE.

（3）因为BC？奂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC.过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长. 在直角三角形BDE中，S△BDE=BD·DE=BE·DG.所以DG===，所以点D到平面BEC的距离等于.

19. （1）因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE. 又因为FG？埭平面PED，PE？奂平面PED，所以FG∥平面PED.

（2）因为EA⊥平面ABCD，EA∥PD，所以PD⊥平面ABCD. 因为AD，CD？奂平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD. 因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD. 以D为原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴、y轴、z轴建立如图5所示的空间直角坐标系，设EA=1. 因为AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），=（2，2，-2），=（0，2，-2）. F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G2，1，，H（0，1，1），=-1，0，，=-2，0，. 设n1=（x1，y1，z1）为平面FGH的一个法向量，则n1·=0，n1·=0，即-x1+z1=0，-2x1+z1=0，令y1=1，得n1=（0，1，0）.

图5

设n2=（x2，y2，z2）为平面PBC的一个法向量，则n2·=0，n2·=0，即2x2+2y2-2z2=0，2y2-2z2=0，令z2=1，得n2=（0，1，1）. 所以cos〈n1，n2〉==. 所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为（或45°）.endprint

（文）（1）因为-=，所以数列{}为首项为==，公差d=的等差数列，所以=+（n-1）·=n，即Sn=3n2，所以an=Sn-S=6n-3（n≥2）. 当n=1时，上式也成立，所以an=6n-3（n∈N？鄢）.

（2）因为是，的等比中项，所以bn===-，Tn=-+-+…+-=-=.

20. （理）（1）因为数列{an}是首项与公差均为1的等差数列，所以？坌n∈N？鄢，an=n，an+1=n+1，Sn=. f（n）=2an+1Sn-n（2Sn+an+1）=2（n+1）×-n2×+（n+1）=n（n+1）2-n（n+1）2=0. 故f（2014）=0.

（2）由题意？坌n∈N？鄢，a2n-1=1×4n-1=22n-2，a2n=2×4n-1=22n-1. 故an=2n-1. ？坌n∈N？鄢，an+1=2n，Sn==2n-1， f（n）=2an+1Sn-n（2Sn+an+1）=2n+1（2n-1）-n（2n+1-2+2n）=2n（2n+1-3n-2）+2n.

（证法一）当n=1时， f（1）=0;当n≥2时，2n+1=4×（1+1）n-1≥4[1+（n-1）]=4n， f（n）=2n（2n+1-3n-2）+2n≥2n（4n-3n-2）+2n=2n（n-2）+2n≥2n>0. 故对任意正整数n， f（n）>0.

（证法二）？坌n∈N？鄢， f（n+1）-f（n）=[2n+1·（2n+2-3n-5）+2n+2]-[2n（2n+1-3n-2）+2n]=2n·[2（2n+2-3n-5）-（2n+1-3n-2）]+2=2n（6×2n-3n-8）+2. 因为2n=（1+1）n≥C0n+C1n=1+n，所以？坌n∈N？鄢， f（n+1）-f（n）≥2n（6n+6-3n-8）+2=2n（3n-2）+2≥2n+2>0，数列{f（n）}是递增数列. 因为f（1）=2（22-3-2）+2=0，所以？坌n∈N？鄢， f（n）≥0.

（文）（1）由题意可得a=2，e==，所以c=，所以b2=a2-c2=1，所以椭圆的方程为+y2=1.

（2）曲线E是以O（0，0）为圆心，半径为2的圆. 设C（m，n），点R的坐标为（2，t），因为A，C，R三点共线，所以∥，而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），所以t=，所以点R的坐标为2，，点D的坐标为2，， 所以直线CD的斜率为k===，而m2+n2=4，所以m2-4=-n2，所以k==-，所以直线CD的方程为y-n=-（x-m），化简得mx+ny-4=0，所以圆心O到直线CD的距离d===2=r，所以直线CD与曲线E相切.

21. （理）（1）PF==，d=， 由①PF=d，得x2+y2-2（x+y）+4=x2+y2+2xy-2（x+y）+2，即xy=1.

将xy=1代入②得：x>0，>0，x+<，解得

（2）（解法一）由题意，直线m与曲线C1相切，设切点为Mt，，b2得1

（解法二）设直线m与曲线C1：y=b>0）均相切于同一点Mt，，则+=1. 由y=知y′=-;由+=1（y>0）知y=b，y′==-=-. 故-= -，a2=b2t4. 联立+=1，a2=b2t4，得b2=，a2=2t2. 由b2得1

故e2==1-，得0

（文）（1）由已知， f ′（x）=2+（x>0）， f ′（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y-2=3（x-1）），即3x-y-1=0，故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y-1=0.

（2）f ′（x）=a+=（x>0），①当a≥0时，由于x>0，故ax+1>0， f ′（x）>0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）. ②当a<0时，由f ′（x）=0，得x=-. 在区间0，-上， f ′（x）>0;在区间-，+∞上， f ′（x）<0，所以函数f（x）的单调递增区间为0，-，单调递减区间为-，+∞.

（3）由已知，转化为f（x）max-1-ln（-a），解得a<-.endprint

22. （理）（1）g（x）=f1（x）-f2（x）=-=，？驻=4+4a.

①当a<-1时，？驻<0，函数g（x）有1个零点：x1=0.

②当a=-1时，？驻=0，函数g（x）有2个零点：x1=0，x2=1.

③当a=0时，？驻>0，函数g（x）有两个零点：x1=0，x2=2.

④当a>-1，a≠0时，？驻>0，函数g（x）有三个零点：x1=0，x2=1-，x3=1+.

（2）f ′n（x）==. 设gn（x）=-nx2+2（n+1）x+a·n-2，gn（x）的图象是开口向下的抛物线. 由题意，对任意n∈N？鄢，gn（x）=0有两个不等实数根x1，x2，且x1∈（1，4），x2？埸[1，4]. 则对任意n∈N？鄢，gn（1）gn（4）<0，即n·（a+1）·n·a-8-<0. 又任意n∈N？鄢，8-关于n递增，8->-1，故-1

（3）由题（2）可知，存在x∈R， f ′k（x）=<0，又函数fk（x）在R上是单调函数，故函数fk（x）在R上是单调减函数，从而？驻k=4（k+1）2+4k（ka-2）=4（k2a+k2+1）≤0，即a≤-1+. 所以？驻m=4（m2+1+m2a）≤4m2+1-m21+=.

由k，m∈N？鄢，k

厦门外国语学校  厦门双十中学

月考试卷调研

1. B    2. A    3. B

4. D    5. B

6. （理）每次投篮命中的概率p≈=，则三次投篮命中两次为C×p2×（1-p）≈0.25，选B

（文）D

7. 令t=，根据几何意义，t的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然点（3，1）、点（1，2）是其中的两个临界值，故≤t≤2，u==t+，其在，1上单调递减、在[1，2]上单调递增，选C

8. 建立如图6所示的平面直角坐标系，由题意，知=1，=，=2，所以=0，-，=（-1，-），=（3，0）. 因为=λ+μ，所以0，-=λ（-1，-）+μ（3，0），选A

图6

9. （理）因为函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数为方程h（x）=f（x）-g（x）=0根的个数，即函数f（x）和g（x）的图象交点个数，所以画出图象可知有8个交点，选C

（文）设点P（x0，y0），则有-y=1（x0≥），·=x0（x0+2）+y=x0（x0+2）+-1=+2x0-1，选B

10. （理）因为P1F2⊥F1F2，F2的坐标为（3，0），所以由（P1F2+4）2=P1F22+F1F22，解得P1F2=. 由双曲线定义知：PnF1-PnF2=2a=4，又Pn+1F2=PnF1，所以Pn+1F2=PnF2+4，可见数列{PnF2}是以P1F2=为首项，以4为公差的等差数列，所以PnF2=+4（n-1）=4n-. 因为-=1，（xn-3）2+y=4n-，xn≥2，n≥1，联立解得xn=，即数列{xn}的通项公式为xn=. 选C

（文）同理科第9题

11. P==

12. a1+a10=6，a5·a6=a1·a10≤=9

13. （理）a=2，常数项是C（2）3·-=-160

（文）由==（cosθ-sinθ）= -，所以sinθ-cosθ=. 答案为-2

14. 由条件=c，根据对称性，两曲线交点连线垂直于x轴，对双曲线，这两个交点连线的长度是;对抛物线，这两个交点连线的长度是2p，即4c，故=4c，解得e=1+

15. （理）由已知得f（1，3）=++++=1+1+1+0+0=3. 因为数列{an}是将集合A={mm∈N？鄢，k∈P}中的元素按从小到大的顺序排成而成，所以我们可设计如下表格

从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大，且<<<<<2<2<2<3<2<…，所以 a9=3. 所以f（1，3）

（文）设三角形三边长为a，b，c，则a+b+c=20且a，b，c∈N？鄢，当a-b+b-c+c-a最小（此时a-b≤1，b-c≤1，c-a≤1）时，其面积最大，列出所有情况不难发现边长分别为6，2+5，3+4符合，计算其面积为6 cm2

16. （1）由已知a2=2+c，a3=2+3c，则（2+c）2=2（2+3c）得c=2，从而an+1=an+2n，n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=2+2×1+2×2+…+2×（n-1）=n2-n+2. n=1时，a1=2也适合上式，因而an=n2-n+2

（2）bn==，则Tn=b1+b2+…+bn=+++…++，Tn=+++…++，错位相减法，求得Tn=1-

17. （1）因为C点的坐标为，，根据三角函数定义知：sin∠COA=，cos∠COA=;因为正三角形AOB，所以∠AOB=60°. 所以cos∠BOC=cos（∠COA+60°）=

（2） 因为∠AOC=θ0<θ<，所以∠BOC=+θ. 在△BOC中，OB=OC=1，由余弦定理可得：f（θ）=BC2=OC2+OB2-2OC·OBcos∠COB=2-2cosθ+. 因为0<θ<，所以<θ+<，所以-

18. （1）因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱. 因为A1D？奂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D. 又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，所以A1D⊥B1C1. 因为CC1∩B1C1=C1，所以A1D⊥平面BB1C1C

（2）连结AC1，交A1C于点O，连结OD. 因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点. 又D为B1C1中点，所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1∥OD. 因为OD？奂平面A1DC，AB1？埭平面A1DC，所以AB1∥平面A1DC

（3）（理）因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，所以AB，AC，AA1两两互相垂直，以AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立直角坐标系A-xyz. 设AB=1，则C（0，1，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），D，，1. =，，0，=（0，1，-1），设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有n·=0，n·=0，x+y=0，y-z=0.取x=1，得n=（1，-1，-1）. 又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为=（1，0，0），cos〈n，〉===. 因为二面角D-A1C-A是钝角，所以其余弦值为-

19. （理）（1）设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则X～B2，，故E（X）=2×=，则选手甲在A区投篮得分的期望为2×=3.6. 设选手甲在B区投篮的进球数为Y，则Y～B3，，故E（Y）=3×=1，则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1=3. 因为3.6>3，选手甲应该选择A区投篮

（2）设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，甲在A区投篮得2分在B区投篮得0分为事件C1，甲在A区投篮得4分在B区投篮得0分为事件C2，甲在A区投篮得4分在B区投篮得3分为事件C3，则C=C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件. P（C）=P（C1∪C2∪C3）=P（C1）+P（C2）+P（C3）=×+×+×=

（文）（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分的社区数量为24个. 设这个社区能进入第二轮评比为事件A，则P（A）==

（2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有（4+a）个，因为“居民素质”得1分的概率为，所以=，解得a=1. 因为社区总数为个，所以a+b+47=50，解得b=2

20. （1）由题设P（x0，y0），因为过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，关于原点对称，设为M（x1，y1），N=（-x1，-y1），则有·=-，即3（y-y）=x-x. ①

又P，M，N点都在椭圆上，代入得+=1，+=1，两式相减=. ②

①②联立求得b2=2，所以椭圆C的方程为+=1

（2）设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，则·=（-）·（-）=（--）·（-）= 2- 2= 2-1. 从而求·的最大值转化为求 2的最大值. 因为P是椭圆C上的任意一点，设P（x0，y0），所以+=1，即x=6-3y. 因为点N（0，2），所以 2=x+（y0-2）2=-2（y0+1）2+12. 因为y0∈[-，]，所以当y0=-1时， 2取得最大值12，所以·的最大值为11

21. （理）（1）令x=0，则f（0）=1，所以y=f（x）的图象经过定点A（0，1）

（2）①f ′（x）=ex-，所以切点P（x0，y0）处的切线斜率k=e-，所以切线l方程：y-y0=e-（x-x0）？圳y=e-（x-x0）+y0. 设F（x）=f（x）-e-（x-x0）-y0，F′（x）=ex--e-=ex-e. 令F′（x）>0？圳ex-e>0？圳x>x0，所以F（x）在（-∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以F（x）≥F（x0）=f（x0）-y0=0，所以F（x）是单侧函数

②由（1）和①知f（x）=ex-x在点（0，1）处的切线为y=x+1. 画出f（x）=ex-x和g（x）=lnx+1+1的简图，由此猜想f（x）≥x+1≥g（x）. 由①知，f（x）≥x+1恒成立;下证x+1≥lnx+1+1. 设G（x）=x+1-lnx+1-1=x-lnx+1，G′（x）=-=，令>0. 又x>-2，所以G（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以G（x）≥G（0）=0，即x+1≥lnx+1. 综上所述：当x∈（-2，+∞）时，ex-x≥lnx+1+1

（文）（1）当x<1时， f ′（x）=-3x2+2x+b，由题意得f（-1）=2，f ′=0，解得b=c=0

（2）由（1）知：f（x）=-x3+x2（x<1），alnx（x≥1）.

①当-1≤x<1时， f ′（x）=-3x2+2x，解f ′（x）>0得0

②当1≤x≤e时，f（x）=alnx. 当a≤0时， f（x）≤0;当a>0时，f（x）在[1，e]上单增;所以f（x）在[1，e]上的最大值为a. 综上，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a;当a<2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2endprint

18. （1）因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱. 因为A1D？奂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D. 又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，所以A1D⊥B1C1. 因为CC1∩B1C1=C1，所以A1D⊥平面BB1C1C

（2）连结AC1，交A1C于点O，连结OD. 因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点. 又D为B1C1中点，所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1∥OD. 因为OD？奂平面A1DC，AB1？埭平面A1DC，所以AB1∥平面A1DC

（3）（理）因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，所以AB，AC，AA1两两互相垂直，以AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立直角坐标系A-xyz. 设AB=1，则C（0，1，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），D，，1. =，，0，=（0，1，-1），设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有n·=0，n·=0，x+y=0，y-z=0.取x=1，得n=（1，-1，-1）. 又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为=（1，0，0），cos〈n，〉===. 因为二面角D-A1C-A是钝角，所以其余弦值为-

19. （理）（1）设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则X～B2，，故E（X）=2×=，则选手甲在A区投篮得分的期望为2×=3.6. 设选手甲在B区投篮的进球数为Y，则Y～B3，，故E（Y）=3×=1，则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1=3. 因为3.6>3，选手甲应该选择A区投篮

（2）设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，甲在A区投篮得2分在B区投篮得0分为事件C1，甲在A区投篮得4分在B区投篮得0分为事件C2，甲在A区投篮得4分在B区投篮得3分为事件C3，则C=C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件. P（C）=P（C1∪C2∪C3）=P（C1）+P（C2）+P（C3）=×+×+×=

（文）（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分的社区数量为24个. 设这个社区能进入第二轮评比为事件A，则P（A）==

（2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有（4+a）个，因为“居民素质”得1分的概率为，所以=，解得a=1. 因为社区总数为个，所以a+b+47=50，解得b=2

20. （1）由题设P（x0，y0），因为过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，关于原点对称，设为M（x1，y1），N=（-x1，-y1），则有·=-，即3（y-y）=x-x. ①

又P，M，N点都在椭圆上，代入得+=1，+=1，两式相减=. ②

①②联立求得b2=2，所以椭圆C的方程为+=1

（2）设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，则·=（-）·（-）=（--）·（-）= 2- 2= 2-1. 从而求·的最大值转化为求 2的最大值. 因为P是椭圆C上的任意一点，设P（x0，y0），所以+=1，即x=6-3y. 因为点N（0，2），所以 2=x+（y0-2）2=-2（y0+1）2+12. 因为y0∈[-，]，所以当y0=-1时， 2取得最大值12，所以·的最大值为11

21. （理）（1）令x=0，则f（0）=1，所以y=f（x）的图象经过定点A（0，1）

（2）①f ′（x）=ex-，所以切点P（x0，y0）处的切线斜率k=e-，所以切线l方程：y-y0=e-（x-x0）？圳y=e-（x-x0）+y0. 设F（x）=f（x）-e-（x-x0）-y0，F′（x）=ex--e-=ex-e. 令F′（x）>0？圳ex-e>0？圳x>x0，所以F（x）在（-∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以F（x）≥F（x0）=f（x0）-y0=0，所以F（x）是单侧函数

②由（1）和①知f（x）=ex-x在点（0，1）处的切线为y=x+1. 画出f（x）=ex-x和g（x）=lnx+1+1的简图，由此猜想f（x）≥x+1≥g（x）. 由①知，f（x）≥x+1恒成立;下证x+1≥lnx+1+1. 设G（x）=x+1-lnx+1-1=x-lnx+1，G′（x）=-=，令>0. 又x>-2，所以G（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以G（x）≥G（0）=0，即x+1≥lnx+1. 综上所述：当x∈（-2，+∞）时，ex-x≥lnx+1+1

（文）（1）当x<1时， f ′（x）=-3x2+2x+b，由题意得f（-1）=2，f ′=0，解得b=c=0

（2）由（1）知：f（x）=-x3+x2（x<1），alnx（x≥1）.

①当-1≤x<1时， f ′（x）=-3x2+2x，解f ′（x）>0得0

②当1≤x≤e时，f（x）=alnx. 当a≤0时， f（x）≤0;当a>0时，f（x）在[1，e]上单增;所以f（x）在[1，e]上的最大值为a. 综上，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a;当a<2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2endprint

18. （1）因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱. 因为A1D？奂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D. 又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，所以A1D⊥B1C1. 因为CC1∩B1C1=C1，所以A1D⊥平面BB1C1C

（2）连结AC1，交A1C于点O，连结OD. 因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点. 又D为B1C1中点，所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1∥OD. 因为OD？奂平面A1DC，AB1？埭平面A1DC，所以AB1∥平面A1DC

（3）（理）因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，所以AB，AC，AA1两两互相垂直，以AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立直角坐标系A-xyz. 设AB=1，则C（0，1，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），D，，1. =，，0，=（0，1，-1），设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有n·=0，n·=0，x+y=0，y-z=0.取x=1，得n=（1，-1，-1）. 又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为=（1，0，0），cos〈n，〉===. 因为二面角D-A1C-A是钝角，所以其余弦值为-

19. （理）（1）设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则X～B2，，故E（X）=2×=，则选手甲在A区投篮得分的期望为2×=3.6. 设选手甲在B区投篮的进球数为Y，则Y～B3，，故E（Y）=3×=1，则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1=3. 因为3.6>3，选手甲应该选择A区投篮

（2）设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，甲在A区投篮得2分在B区投篮得0分为事件C1，甲在A区投篮得4分在B区投篮得0分为事件C2，甲在A区投篮得4分在B区投篮得3分为事件C3，则C=C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件. P（C）=P（C1∪C2∪C3）=P（C1）+P（C2）+P（C3）=×+×+×=

（文）（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分的社区数量为24个. 设这个社区能进入第二轮评比为事件A，则P（A）==

（2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有（4+a）个，因为“居民素质”得1分的概率为，所以=，解得a=1. 因为社区总数为个，所以a+b+47=50，解得b=2

20. （1）由题设P（x0，y0），因为过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，关于原点对称，设为M（x1，y1），N=（-x1，-y1），则有·=-，即3（y-y）=x-x. ①

又P，M，N点都在椭圆上，代入得+=1，+=1，两式相减=. ②

①②联立求得b2=2，所以椭圆C的方程为+=1

（2）设圆N：x2+（y-2）2=1的圆心为N，则·=（-）·（-）=（--）·（-）= 2- 2= 2-1. 从而求·的最大值转化为求 2的最大值. 因为P是椭圆C上的任意一点，设P（x0，y0），所以+=1，即x=6-3y. 因为点N（0，2），所以 2=x+（y0-2）2=-2（y0+1）2+12. 因为y0∈[-，]，所以当y0=-1时， 2取得最大值12，所以·的最大值为11

21. （理）（1）令x=0，则f（0）=1，所以y=f（x）的图象经过定点A（0，1）

（2）①f ′（x）=ex-，所以切点P（x0，y0）处的切线斜率k=e-，所以切线l方程：y-y0=e-（x-x0）？圳y=e-（x-x0）+y0. 设F（x）=f（x）-e-（x-x0）-y0，F′（x）=ex--e-=ex-e. 令F′（x）>0？圳ex-e>0？圳x>x0，所以F（x）在（-∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以F（x）≥F（x0）=f（x0）-y0=0，所以F（x）是单侧函数

②由（1）和①知f（x）=ex-x在点（0，1）处的切线为y=x+1. 画出f（x）=ex-x和g（x）=lnx+1+1的简图，由此猜想f（x）≥x+1≥g（x）. 由①知，f（x）≥x+1恒成立;下证x+1≥lnx+1+1. 设G（x）=x+1-lnx+1-1=x-lnx+1，G′（x）=-=，令>0. 又x>-2，所以G（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以G（x）≥G（0）=0，即x+1≥lnx+1. 综上所述：当x∈（-2，+∞）时，ex-x≥lnx+1+1

（文）（1）当x<1时， f ′（x）=-3x2+2x+b，由题意得f（-1）=2，f ′=0，解得b=c=0

（2）由（1）知：f（x）=-x3+x2（x<1），alnx（x≥1）.

①当-1≤x<1时， f ′（x）=-3x2+2x，解f ′（x）>0得0

②当1≤x≤e时，f（x）=alnx. 当a≤0时， f（x）≤0;当a>0时，f（x）在[1，e]上单增;所以f（x）在[1，e]上的最大值为a. 综上，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a;当a<2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2endprint