金属材料弹性常数与温度关系的理论解析

2014-12-09刘敏珊

机械工程材料 2014年3期

刘彤，刘敏珊

（郑州大学热能工程研究中心，河南省过程传热与节能重点实验室，郑州450002）

0 引言

固体材料在外力作用下会发生弹性和/或塑性变形。弹性变形的重要性在于各种变形过程都是从弹性变形开始的，它对脆性材料的强度、刚度和安全性设计具有重要意义，对塑性和高弹性材料的变形发展进程和过程都有重要影响。而固体材料的弹性常数则是描述材料应力和应变之间关系的重要参数。基于固体物理和金属学理论［1-2］可知，金属材料的弹性常数对其组织结构不是十分敏感，而且基本上与单相合金的晶粒尺寸以及复相合金中的第二相弥散度无关，但是它的高低标志着金属原子间结合力的本质和强弱，且与键的性质和晶体结构有着紧密的联系。这些都是研究弹性变形的科学意义。在高温环境下服役的结构件，其组织差异会很快弱化，而且强度最终也主要由原子间的结合力控制。多晶体材料的弹性常数可由众多单晶体的平均化处理获得，其值在单晶体弹性常数的最大值与最小值之间，且其弹性模量的计算值也与试验值较为一致。这说明多晶体的弹性变形常数具有统计性，且晶界对多晶体金属材料弹性变形的影响可以忽略，即晶体结构相关的各向异性可以忽略。因此，工程中大多数金属材料都可看作是各向同性材料。各向同性材料独立的弹性常数仅有两个，即弹性模量E和泊松比ν。弹性模量是材料损伤和结构安全设计中的一个重要的力学量，在核电装备设计制造和服役寿命评估中都会用到。核电装备中的许多钢制压力容器都是在高温、高压环境下工作，详细了解这些压力容器的线膨胀系数和弹性模量随温度和压力的变化规律，对分析研究高温环境下工作的金属材料的变形和损伤，以及在新材料设计制造、在役设备安全评估等方面有着重要的工程意义［3-5］。

弹性物质究其本质是一种热力物质。Eringen在其连续统力学［6］中以本构公理为基础推导出了热力物质的本构方程，并进而获得了弹性物质的本构方程，即弹性材料的应力应变关系，或称为广义Hooke定律。温度对材料力学性能的影响非常复杂，不仅有物理作用，而且还包含物理化学过程。目前有关温度对材料力学性能影响规律方面的了解仍很欠缺，尤其是在极高温度和极低温度下，材料的物理性能数据极其匮乏。准确掌握高温、高压下材料的性能数据，对航空发动机、火箭和核电站设备高效率设计制造和可靠运行具有重要意义。目前国内外能够提供的弹性参数一般都是常温和中高温度工况（多在400℃以下）［7-8］下的，缺乏高温和高压下的材料性能数据。另外，在高温下，材料的结构性能因复杂的物理（化学）变化而与常温、中高温下的差别显著，现有的金属物理性能分析理论方法不足以解决这些问题。近年来，随着计算机技术进步而快速发展起来的分子动力学模拟技术，以其独有的综合技术优势在计算材料学和（超）高温、（超）高压状态下材料物理性能分析方面得到了越来越多的应用。因此，作者基于现有试验数据，通过理论解析获得了弹性常数与温度之间的关系，并将分析结果与分子动力学模拟结果进行相互印证，确认了模拟方法和程序的正确性；然后，利用分子动力学模拟技术研究了（超）高温、（超）高压下单晶体和多晶体以及合金元素和晶体结构对材料物理性能的影响规律。基于试验数据［7-8］可整理得到纯铁的弹性模量、碳钢和低合金钢线膨胀系数随温度变化的曲线，如图1～2所示。

图1 纯铁弹性模量随温度变化的曲线Fig.1 Elastic modulus vs temperatures for pure Fe

图2 不同温度下碳钢和低合金钢的线膨胀系数αFig.2 Linear expansion coefficient vs temperature for carbon steel and low alloy steels

基于试验数据采用统计拟合的方法，虽然能够得出固体弹性模量与温度之间的变化关系，但这些研究都是从宏观角度和试验数据出发，适用的温度范围有限，外推结果缺乏可靠性，缺乏有关温度对金属材料性能影响本质规律的深入揭示和说明。因此，作者尝试基于固体结构的原子理论和分子模拟技术，从原子层面对弹性模量随温度变化的规律进行探讨。

1 基于固体物理微观理论的线膨胀系数分析

金属材料的线膨胀系数和弹性模量与温度的关系可根据物理模型从理论上进行一般分析。金属材料的弹性常数与金属晶体结构中原子相互作用势能密切相关。而计算金属晶体之间的相互作用能是一个相当复杂的问题，为了描述金属原子间的相互作用，人们提出了许多势能表达式，对于金属固体材料而言，常用的势能模式为Morse势和嵌入原子模型（EAM）［9-11］。

对于固体材料而言，原子运动被限制在其平衡位置附近，不会偏离平衡位置太远。因此，不管使用何种形式的势能函数，总可以将原子间距为r的原子相互作用势u（r）在平衡位置r0处按偏离平衡位移量λ＝r-r0进行Taylor级数展开，即

式中：ε0为相当于简谐振动的弹簧刚度系数，称为简谐系数；ε1，ε2分别称为第一阶和第二阶非简谐系数。

对于金属晶体而言，一般情况下ε0和ε2为正数，ε1为负数。将u（r）表达式代入到任意可观测物理量的Boltzmann统计平均计算公式［12］，可得到温度为T时的原子热振平均位移λm的表达式（3），根据线膨胀系数α物理定义式可得到α的表达式（4）。

式中：k为Boltzmann常数；T为热力学温度。

由式（4）可见，热力学温度为零时，α＝α0＝金属材料线膨胀系数与温度之间的关系比较复杂，它们之间的规律完全由与金属材料晶体的势能相关的参数确定。将式（4）对温度T求导，可得：

从式（5）可看出，由于ε1为负数，随着温度升高，α是增大还是减小取决于温度T高于还是低于某个特定的温度值将该温度定义为转捩温度。有关Tc的物理意义尚需探讨。当温度T低于Tc时，随着温度的升高，α增大；当温度T高于Tc时，随着温度的升高，α减小。对于铁、镍、铜等金属材料，将ε0和ε2代入后可知Tc值一般在几万到十万之间，该温度远超过金属材料的沸点。而实际工程中的温度T远低于Tc，故随着温度的升高，α增大，参见图2。此时，可将式（4）按幂级数展开：

由式（6）知，随着T升高，α增大。因为Tc较大，工程中的温度要比Tc小1～2个数量级。所以，式（6）中仅取线性项给出的结果就足够精确。以计算铁在3 000K时的线膨胀系数为例，忽略二次以上高阶项后的计算值与精确值相比，相对误差小于5.4%。镍和铜的Tc值更高，故误差更小。因此，对于常见的金属材料而言，在3 000K的温度范围内，线膨胀系数随温度升高呈线性增大，计算式如下：

α＝α0（1＋bT）（8）

式中：α0为温度T等于零时的线膨胀系数；b为相对变化比例常数。

Morse势能函数常用来表征金属原子间的相互作用。由Morse势能函数式易知原子间力的强弱随距离呈指数式衰减。因此，可选取适当的距离进行截断，只需将截断距离内的原子对目标原子的势能贡献计入就足够精确，截断距离外原子的影响可忽略不计。选取文献［13］中立方晶体结构金属铁的Morse势能参数值，截断距离取2倍最近邻距离，应用式（7）计算可以得到金属铁的α0和b，从而获得其线膨胀系数与温度的线性关系：

α＝9.541 2×10-6（1＋0.000 051 062T）（9）

对不同温度下碳钢的线膨胀系数数据［7-8］进行统计并处理后有

α＝（8.3477～10.787）×10-6［1＋（0.000 435 7～0.001 345）T］（10）

考虑到碳钢与纯铁间的差异，理论计算结果与试验结果之间符合得还是比较好的。

2 温度对弹性性能影响的理论分析

2.1 不同温度下弹性模量的理论计算公式

材料弹性模量E的温度系数η和线膨胀系数α的关系式为

金属物理研究结果表明，弹性模量的温度系数和线膨胀系数之比为一恒值，即

根据中高温和低温范围内的试验数据［5］，工程中常用钢、奥氏体钢、铁镍合金、铁、铝和铜合金等的常数m（平均值）为24.66，标准差为0.76。

利用式（13）并积分式（11），令热力学温度为零时的弹性模量为E0，可得式（14）。

式（14）即为材料弹性模量与温度之间的普遍关系式，该函数式为复杂的指数函数，其导数为

由式（15）易见dE/dT＜0，这说明弹性模量总是随温度的升高而降低，当温度逐渐升高趋于转捩温度Tc时，dE/dT→0，弹性模量E也趋于零。

根据前面的分析知，从热力学温度的零度到金属熔点温度（远小于转捩温度Tc）范围内，线膨胀系数α随温度T的变化符合线性关系。将式（8）代入（12）式则有

η＝-mα0（1＋bT）（16）

根据η的定义式和式（16）可得

对式（17）积分、整理后可得

由于m为正数，且对于包括金属在内的绝大多数物质来说，都是热胀冷缩。因此，一般情况下线膨胀系数α都大于零。另外，由前面分析知，当T＜Tc时，α随温度的升高而增大，即斜率常数b大于0，由式（18）可知，弹性模量E随温度的升高而降低，且随着温度向高温发展，弹性模量下降得更快，即弹性模量随温度升高呈复杂的指数规律递减。纯铁弹性模量随温度的变化情况如图1所示。

为便于分析，将式（18）按Taylor级数展开，并取前4项，可得下列近似计算公式

线膨胀系数随温度变化的斜率b很小，接近零，在-100～300℃范围，α基本上与温度无关，因此，b≈0，此时可得：

2.2 高温金属晶体塑性变形对弹性常数的影响

纯净的单晶体由于其内禀的柔顺性，极易产生位错，如滑移和孪晶，即使是在比较低的温度下也很容易发生。而位错的运动会导致塑性变形，尤其是在高温下，温度产生的热激活能诱导材料晶体内部发生更密集的位错。纯铁和碳钢在温度超过500℃后，应当考虑晶体结构中局部塑性变形对材料宏观性能的影响［14-15］。材料晶体结构产生塑性变形后，由于塑性的非线性特性，理论上应力和应变之间不再遵从线性关系。但由于晶格塑性变形所占比例极小，因此，宏观上应力和应变之间的比例关系并未遭到严重破坏，弹性常数仍是占据主导意义的物理量。

高温诱导的位错所产生的塑性应变εp占总应变ε的比例很小，即εp远较弹性应变εe小。根据材料的应力应变关系可导出式（21）。

式中：Ee为弹性模量原始值。

由式（21）可导出

对于很多材料而言，热激活能的高低决定着所形成点缺陷的密度，而塑性应变正比于点缺陷数量，且一般情况下应力变化率与应变率的比与应力与应变的比相同，皆为弹性模量E。因此，通过位错滑移热激活参量分析可以获得塑性应变和热激活能之间的指数关系，如式（23）所示［16］。

式中：A为与材料微观物理结构有关的常数，由应变速率、滑移面取向因子、Burgers矢量、晶体内声速、Helmholtz自由能等决定，A与温度无关或关系很小；ΔG为位错用最小激活能从其平衡位置等温移至鞍点位置时系统的Gibbs自由能变化量，它是结构、温度和有效应力的函数。

对于纯铁和低碳钢来说，A＝79.853，ΔG/k＝5 802.26。

将式（23）代入式（22）可得

1/［1＋Ae-ΔG/（kT）］的大小代表了热激活能对弹性常数的影响程度。可见，随着温度的降低，热激活能的影响减弱；随着温度的升高，其影响变强。

综合式（18）和（24）可得适应宽泛温度范围、具有普适性的弹性模量表达式：

式（25）即为适用于高温和低温下材料弹性模量的计算公式。从工程应用出发，可引入修正系数Cm（T）来考虑局部热塑性变形。其定义式为

通过计算可得到纯铁和低碳钢的修正系数：

式（25）可写成

采用近似计算展开式有

在工程合理温度范围，通过多项式统计拟合后可得Cm与温度T之间的多项式。对于工业纯铁和低碳钢而言，Cm（T）的多项式为

Cm（T）＝1.0-1.328 6×10-4T＋6.138 5×10-7T2-6.711 6×10-10T3（30）

对于中高温范围，考虑高温热激活塑性变形后可得下列弹性模量计算式

考虑线膨胀系数随温度变化的弹性模量计算公式为

采用随温度线性变化的线膨胀系数关系式为

E＝E0［1-24.66α0（1＋bT）T］（33）

综合考虑高温热激活局部塑性变形修正后有

采用随温度线性变化的线膨胀系数关系式时

E＝E0［1-24.66α0（1＋bT）T］（1.0-1.328 6×10-4T＋6.138 5×10-7T2-6.7116×10-10T3）（35）

按照碳钢和压力容器钢参数绘制上述关系式的曲线，如图3所示，将现有试验数据标记于其上，以便进行对比分析。由图3可以看出，理论计算结果和试验数据符合得相当好。纯铁的数据略高于理论计算值，但是变化趋势完全一致。

图3 不同温度下弹性模量温度关系理论计算曲线与试验数据的对比Fig.3 Comparison of analytical results and experimental data of elastic modulus at different temperatures

上述理论分析是基于材料组织结构不发生变化的情况下进行的。对于通常的工业应用，工作温度一般都低于600℃，但是核电厂和火电厂有些结构零件会在相当高的温度下工作。当温度超过912℃后，铁的晶体结构会从体心立方转变为面心立方，即通常所说的α-Fe转变成γ-Fe，此时其弹性常数也会发生较大变化，弹性模量会发生陡降，此时需要考虑晶体结构变化带来的影响。

3 结论

（1）导出了碳钢和压力容器钢线膨胀系数α与温度之间的解析表达式和近似计算展开式。

（2）提出了线膨胀系数转捩温度Tc的定义式；当温度T低于Tc时，α随着温度的升高而增大，当温度T高于Tc时，α则随着温度的升高而减小。

（3）对于常用金属材料，温度不超过3 000K时，线膨胀系数随温度升高而近似线性增大。

（4）对于金属固体材料，推导出了考虑高温热激活能诱导位错变形效应的弹性模量与宽范围温度之间的关系。

（5）给出了碳钢和压力容器钢弹性模量与温度之间的普适关系。

（6）对于纯铁、碳钢以及压力容器钢，采用导出的理论公式计算的不同温度下的弹性模量与试验值符合良好。

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