水稻稻瘟病SIRS 模型研究

2014-12-09谭兴毅

湖北民族大学学报(自然科学版) 2014年4期

谭兴毅，李强

( 湖北民族学院理学院，湖北恩施445000)

传染病是由各种病原体或寄生虫感染生物体后所产生的且能在相关生物种群中引起流行的疾病，是病原体、宿主与环境相互作用的结果［1］．通过数学模型来研究疾病传播有着较早的历史，Kermack 和McKendrick 在1926 年构建了著名的SIR 模型仓室，随后又提出了SIS 仓室模型，并在此基础上提出了区分疾病是否流行的“阈值理论”，奠定传染病动力学研究的基础［2－3］．Hethcote［4］和Aron［5］分别研究了具有常数迁入和具有双线性传染率的SIRS 模型，得到了模型的基本再生数和相关阈值参数，并证明了相应平衡点的稳定性．另一方面，水稻稻瘟病的病原为Magnaporthe grisea，是水稻最常见的传染病菌［6］，并以其突发性、暴发性、灾害性强等特点，成为水稻大面积减产甚至部分地方绝收的重要病害之一．所以建立稻瘟病模型，揭示稻瘟病的发生过程及其流行规律，预测其发展趋势，对预防和控制稻瘟病，增加粮食产量具有重要意义．本文建立了具有常数迁入的SIRS 稻瘟病模型，利用数值计算分析了模型平衡点及其稳定性．

1 模型假设及符号说明

1．1 模型假设

1)由于稻瘟病发病具有局域性，即小区域发病，再向四周传播的特点，而且水稻种植面积很大，所以可以认为水稻植株的数量是连续可变的;

2)考虑到稻瘟病的爆发性，即稻瘟病的发病、流行时间相对水稻生长周期很短，所以模型中不用考虑易感染和具有暂时免疫力的水稻植株的死亡率．

3)模型考虑的是存在稻瘟病的同种水稻，获稻瘟病之后的植株具有暂时的免疫力．

4)研究发现，稻瘟病的形成、流行以及造成灾害与气象条件紧密相关［7－10］．温度、湿度、光照等气象因素直接影响到稻瘟病真菌孢子的形成、释放和传播等，即适宜稻瘟病真菌的环境条件是稻瘟病发生的最主要因素．例如，当气温在20～30℃、田间湿度大于90%、稻株体表水膜保持6～10 h，稻瘟病真菌孢子容易形成;平均气温24～28℃，并有一昼夜以上饱和湿度时，稻瘟病真菌孢子容易传播．气象条件在影响病原的同时，还通过寄主间接影响病害发生．例如，水稻抽穗后若遇到20℃以下低温侵袭，会减弱植株抗病力，遇到阴雨多雾天气，就容易引起穗颈瘟的流行．因此，在模型中引入与环境因素如气温、湿度、光照等密切相关的因子A(易感染水稻植株的常数补充率)．

1．2 符号定义

S(t):t时刻易感染水稻植株的数量;I(t):t时刻已感染水稻植株的数量;R(t):t时刻具有暂时免疫力的水稻植株的数量;A:易感染水稻植株的常数补充率;β:发病率系数(与环境中的风速等因子相关);μ:已感染水稻植株的死亡率;γ:水稻施药后的治愈率;α:具有免疫的水稻植株重新成为易感染水稻植株的速率．

1．3 模型建立

相应的微分模型建立如下:

1)根据假设，每株病植株每时间单位内可以使βS(t)个易感染植株变为病植株，病植株总数为I(t)，所以每时间单位共有βS(t)I(t)个健康植株被感染;具有免疫的水稻植株重新成为易感染水稻植株的速率为α，t时刻具有暂时免疫力的水稻植株的数量为R(t)，所以每时间单位共有αR(t)个健康植株成为易感染植株，于是易感染植株的增加率为:

2)病植株的转换主要是感染增加的病植株βS(t)I(t)减去被移除的病植株(包括治愈的和死亡的)，即μI(t)+γI(t)．因此，病植株的增加率可以表示为:

3)发病植株与治愈植株之间的转换，单位时间内退出植株的变化等于发病植株的减少量，即:

综上，SIRS 稻瘟病微分模型为:

2 模型解的有界性、稳定性分析

设x=(x1，x2，x3)分别代表(S，I，R)，由系统的内在性质可以给如下假设:(S，I，R)是非负且有界的，μ≥0，β≥0，α≥0，γ≥0．方程改写成如下形式:

1)fii≤0 其中i，t≥0;2)fij≥0 其中i≠j，t≥0;3)，其中j，t≥0．

所以此SIRS 系统为仓室系统［11］．

再将系统写成一下形式:

其中xi是仓室i的质量，从系统外流入仓室i的流量，即系统输入，用Ii来表示;而从这个仓室流到系统外的流量，即系统输出，用F0i来表示;用Fji表示从仓室i转移到仓室j的量，同理Fij是指从j到i的量．记Fi(x)为一般SIRS 仓室系统的第i 个函数的右式，结合前面假设(Assume)，则由系统(6)可知