无中心Virasoro 代数的一类表示

廖建玲，夏章生

( 湖北民族学院 理学院，湖北 恩施445000)

0 引言

Virasoro 代数是Witt 代数DerC［t，t－1］的中心扩张，它有一组基满足:

在文献［1］中，Irving kaplansky 给出了无中心Virasoro 代数及其整数分次表示的一个刻画．关于这个表示的关键结论是下面的定理．

定理1［1］设A是无中心的Virasoro 代数V的一个表示空间．假定A有一组基{wj|j∈Z}使得对于所有的i和j，uiwj是wi+j的倍数．更进一步，假定u1wj和u－1wj对于任意的j都是非零的，则可以用wj的某一合适倍数来作基元替换，得到一组新的基vj，使得:

对于合适的a和b成立．

作者发现了这个定理在证明过程中的一个小错误并将予以更正．值得注意的是，在Irving kaplansky 的文献［1］中，Virasoro 代数V的李积运算是:

为了叙述的方便，同时与Irving kaplansky 的文章保持一致，在本文中，也采用这种李积．当然，Virasoro 代数的表示理论现在研究得非常丰富了［1－5］．

1 Virasoro 代数的表示

首先，给出无中心的Virasoro 代数V的一个表示．

定理2 设C是复数域，A是复数域上的线性空间且有一组基{wj|j∈ℤ }，则∀a，b∈C，其中a±b∉ℤ ，A可通过:

来线性扩张成一个V－模，其中:

证明 为说明A是一个V－模，需验证下面的等式:

因为［ui，uk］=(i－k)ui+k，因此仅需验证等式:

为此分为下面6 种情况来考虑:

①i=0 或k=0;②i，k≥1;③i，k≤－1;④i≥1，k=－i;⑤i≥1，k≤－1，i＞－k;⑥i≥1，k≤－1，i＜－k．

只对下面三种情况进行讨论，其它几种情形可类似讨论．

情形②:

情形④:

情形⑤:

证毕．

该模的表示形式可以作以下简化:

定理3 设A是定理1 中的V－模，则通过基元替换v'j=εjvj，j∈ℤ ，得到另一组基{v'j|j∈ℤ }后，模运算满足:

证明 采用与定理2 类似的分类方式进行验证，此略．

2 Irving kaplansky 的文献［1］的修正

关于定理1 的补充证明:从Irving kaplansky 第51 页的证明中，可得到下面的6 点信息:

1)等式u0w0=aw0决定a;

2)等式d0=(a－b)(a+b+1)的某一个根决定b，其中u1．(u－1．w0)=d0w0;

3)取v0=w0，然后通过u－1vj=(a－b－j)vj－1来决定其余的vj，由此可得等式u0v0=av0和u1vj=(a+b－j)vj+1;

4)令u2vj=(f(j)+a+2b－j)vj+2和u－2vj=(h(j)+a－2b－j)vj－2，则可得到:

5)作映射vj→u－2．(u2．vj)，则对于较大的偶数j来讲，系数(f(j)+a+2b－j)(h(j+2)+a－2b－j－2)是j的二次多项式．

因而易知，f(0)=0 当且仅当h(0)=0，并且在这种情况下，可以得到方程(1);

6)若f(0)≠0，则可从文献［1］的证明中得到下面4 个等式:

这时在文献［1］第53 页出现了一个小错误:文中说对于较大的偶数j来说，映射vj→u－3．(u3．vj)的系数不是j的二次多项式．事实上，它是的!

而且，在分析上述4 个等式的基础上，运用归纳法，可以得到定理2 中的方程(2)，证明如下:

当i＞1 时，关键是证明:

即可，事实上:

由等式(3)，就可得到:

从而等式(5)成立．

当i＜－1 时，证明是类似的．

再由定理3，在基元替换v'j=εjvj(j∈ℤ )后，等式:ui．v'j=(a+(－b－1)i－j)v'i+j成立，也就是说，对于A的另一组基{v'j|j∈ℤ }和另一对参数a和－b－1 来说，方程(1)也是成立的．证毕．

［1］ Irving Kaplansky．The Virasoro algebra［J］．Comm Math Phys，1982，86:49－54．

［2］ Kaplansky I，Santharoubane L J．Harish－chandra modulesover the Virasoro algebra［J］．MSRI Publ，1987，4:217－231．

［3］ Kenji Iohara，Yoshiyuki koga．Representation Theory of the Virasoro Algebra［M］．Springer－Verlag，2011．

［4］ Oliver Mathieu．Classification of Harish－Chandra module over the Virasoro Lie algebra［J］．Inventions Mathematicae，1992，107:225－234．

［5］ Goddard P，Kent A，olive D．Unitary representations of the Virasoro and super－Virasoro［J］．Communications in Mathematical Physics，1986，103:105－119．