非奇异H－矩阵新的迭代判定法

2014-12-09肖丽霞

湖北民族大学学报(自然科学版) 2014年4期

关键词：反证法对角广义

肖丽霞

( 内蒙古民族大学数学学院，内蒙古通辽028043)

非奇异H－矩阵在计算数学，数量经济学和数学物理等领域发挥着重要作用．对非奇异H－矩阵迭代判定法的研究，近年来引起许多数学工作者的关注，并已取得一定研究成果．本文推广了文献［1］的迭代算法H，得到了新的迭代判定法则．

设矩阵A=(aij)∈Cn×n为n阶复方阵，α∈［0，1］，N={1，2，…，n}，引入记号:

定义1［2］设A=(aij)∈Cn×n，若，则称A为严格对角占优矩阵，记为A∈D．

定义2［2］设A=(aij)∈Cn×n，若存在正对角矩阵X，使得AX∈D，则称A为广义严格对角占优矩阵，记为A∈D*．

定义3［3］设A=(aij)∈Cn×n，称M(A)=(mij)为A的比较矩阵，其中:

引理1［4］设A=(aij)∈Cn×n，A是非奇异H－矩阵当且仅当A∈D*．

引理2［5］设A=(aij)∈Cn×n，若存在正对角矩阵X，使得AX∈D*，则A∈D*．

引理3［6］设A=(aij)∈Cn×n，若∃i∈N，aii=0，则A不是非奇异H－矩阵．

引理4［7］设A=(aij)∈Cn×n，若N1(A)=Φ，则A不是非奇异H－矩阵．

1 主要结果

使用算法H判定非奇异H－矩阵，其结果与参数ε 的选取有关，ε 选取不恰当会导致迭代次数的增加．算法B在这些方面进行了改进．

算法B

输入:已知矩阵A=(aij)∈Cn×n;输出:对角矩阵X=X(0)X(1)…X(m)，若矩阵A是非奇异H－矩阵．

1)若∃i∈N，aii=0 或者N1(A)=Φ，输出“A不是非奇异H－矩阵”，停止;否则继续执行;

2)令m=0，A(0)=A;

3)若N2(A(m))=Φ，输出“A是非奇异H－矩阵”，停止;

6)令X(m)=diag(x(m));

7)计算A(m+1)=A(m)X(m)=(a(m+1)ij)，m=m+1，转到步骤3)．

定理1 设A=(aij)∈Cn×n，A是非奇异H－矩阵当且仅当算法B经有限步迭代产生一个严格对角占优矩阵后停止．

证明充分性．假设算法B在k步迭代后停止，并得到一个正对角矩阵X=X(0)X(1)…X(k－1)以使A(k)=AX且N2(A(k))=Φ，则A(k)∈D，由此A∈D*，即A是广义严格对角占优矩阵．

必要性．已知矩阵A是广义严格对角占优矩阵，假设A=M(A)，即:

其中aii＞0，aij≥0，∀i，j∈N．

利用反证法，假设算法B未在有限步迭代后停止，即算法B无限迭代下去，可得到无穷序列:{A(m)}，以下令m=0，1，…，由算法B步骤5)，∀i∈N1(A(m))，有:

则0＜δ(m)＜1，又，故对角矩阵X(m)的对角元素又因为，所以∀i∈N1(A(m))，得:

即i∈N1(A(m+1))，则N1(A(m))⊆N1(A(m+1))，递推得:

因此存在一个最小的整数l，使N1(A(l))=N1(A(l+p))，∀p=0，1，2，…成立．不失一般性，令l=0，p=m，并设:

那么B有如下形式:

使用反证法，假设∃i∈N1(A)，使成立，根据式(1)可得:i∈N1(A(m))，m=0，1，…，又由可得，则∃正数ε0，使成立．递推可得令m→∞，则，与已知矛盾，所以假设不成立．可知:∀i∈成立，由此可得:

因此N1(B)=Φ，由引理3 易知B∉D*，根据引理1，则矩阵B不是非奇异H－矩阵．而由已知条件得:A=BF－1∈D*，其中F－1为正对角矩阵，则B∈D*，即矩阵B实际是广义严格对角占优矩阵，与上述结论是矛盾的．可知假设“算法B未在有限步迭代后停止”不成立．则使算法B在有限步迭代后停止，并依算法产生一个严格对角占优矩阵．证明完毕．