一种预处理的恒模波束形成算法*

尹申燕,曾 浩,赵 静

(1.中电集团第29研究所,四川 成都 610036;2.重庆大学,重庆 400044)

波束形成技术已广泛用于通信、雷达、声纳等领域[1-2]。波束形成技术通常包括非盲自适应波束合成与盲自适应波束合成。非盲自适应波束形成算法通过发送训练序列或者根据期望信号的波达方向DOA(Direction of Arrival)来捕获期望信号，并抑制干扰信号。但发送训练序列会占用一定的频谱资源[3]，在频谱资源日益紧张的今天无疑不合适宜，而根据期望信号的DOA来捕获期望信号时，期望信号的DOA估计往往存在误差，DOA误差也会导致自适应算法失效[4]，而捕获不到期望信号。盲波束形成算法利用信号本身的性质来捕获信号，如恒模特性、高斯性以及循环平稳性[5-6]。恒模波束形成算法利用了信号的恒模特性来捕获期望信号，不需要训练序列，节省了频谱资源，也不需要考虑期望信号DOA估计存在误差时稳健性差的问题。但传统恒模算法由于仅利用了信号的恒模特性，当期望信号和干扰信号都为恒模信号且干扰信号的功率大于期望信号的功率(即干扰信号的恒模特性大于期望信号的恒模特性)时，传统恒模算法会捕获恒模特性强的干扰信号,出现干扰捕获现象[7]。

本文利用天线阵列接收到的数据矩阵的协方差矩阵与期望信号的功率，构造新的协方差矩阵，新的协方差矩阵关于期望信号对角最小化，将新的协方差矩阵的最小特征值对应的特征向量作为恒模迭代算法的初始值进行迭代运算，此算法能够很好地克服干扰捕获问题，捕获期望信号并抑制干扰信号。

1 自适应阵列天线模型

自适应阵列天线包括了天线阵面、射频前端、信号采样和信号处理模块[8]，其结构框图如图1所示。

图1 自适应阵列天线结构

由于射频信号频率高，直接射频采样要求后级ADC转换速率高，这样采样数据量增大,后级DSP或FPGA处理的运算量也会加大，系统的实时性变差，故将天线接收到的信号进行下变频到中频处理。天线阵列接收到的模拟射频信号x(t)在射频前端与本振信号混频，得到模拟的中频信号。利用奈奎斯特采样定理对模拟中频信号进行采样，得到数字中频信号，不妨设经ADC采样后的数字中频信号为y(t)，根据应用环境，选择相应的自适应滤波算法得到权矢量w(t)，用权矢量 w(t)对各阵元接收到的信号进行加权求和来有效地合并各阵元接收到的信号，以捕获期望信号并抑制干扰信号。

假设采用N个阵元的均匀线阵，阵元间距为d，采样快拍数为K。中频采样后期望信号为s0(k),其DOA为θ0，设期望信号的方向矢量 v0:

其中，T 表示转置,φ0=k0dsinθ0，k0为自由空间波数。 空间中同时存在 I个同频干扰 si(k)，i=1,2,…，I,其对应 DOA分别为 θi，方向矢量分别为 vi:

其中，φi=k0dsinθi。系统中存在加性高斯白噪声，则 ADC采样后阵列接收到的信号表示为矢量快拍y(k)：

其中，k为采样快拍序号，A为期望信号与各个干扰信号的方向矢量v(θi)组成的流型矩阵：

s(k)为期望信号与干扰信号组成的矢量快拍：

n(k)为加性高斯白噪声。

根据相应应用环境，如雷达、声纳、卫星通信等环境，选择适当的盲或非盲自适应滤波算法产生权矢量w(k)，各阵元接收信号y(k)经权矢量 w(k)加权求和得到信号z(k):

式中，H表示共轭转置。多阵元接收到的多路信号合成一路信号，使得阵列方向图的主瓣对准期望信号，零陷对准干扰信号，最大限度地捕获期望信号并抑制干扰信号。

2 恒模波束形成算法

2.1 最小二乘恒模算法

最小二乘恒模算法LSCMA(Least Square Constant Modules Algorithm)是利用非线性最小二乘即高斯法来推广设计的恒模算法[9]。由于发射信号具有恒定的包络，设阵列输出端期望信号的幅值为1，则代价函数为:

其中，|gk(w)|为第k个信号的非线性函数，代价函数具有部分Taylor级数展开的平方和形式:

式(8)中d称为偏差向量，且

代价函数F(w+d)相对于偏差向量d的梯度向量为:

令▽d(F(w+d))=0，则使代价函数F(w+d)最小的偏差向量为:

将偏差向量d与权向量w(k)相加，即可得到使得代价函数最小的新的权矢量w(k+1)，即:

式(12)中，

r(k)代表对z的硬限幅运算，

2.2 预处理的最小二乘恒模算法

设天线阵列接收到的数据矩阵的协方差矩阵为Ry:

Ry的特征根中有 N-(I+1)个最小特征根且为重根 σ2，σ2为噪声功率，有I+1个较大的特征根，这I+1个较大的特征根取决于信号功率、信号的时间相关性和阵列的空间相关性[10]。

若只有两个功率分别为P1、P2的信源作用于阵列，且两个信源在时间上独立无关，协方差矩阵两个较大的特征值分别为:

由于代价函数中将期望信号输出设为1，故恒模算法会捕获恒模特性强的信号，存在误收敛特性。恒模算法对权矢量的初始值十分敏感，不恰当的初始化会导致恒模算法收敛到局部极小值点。由以上分析得知协方差矩阵的特征值与信号功率相关，故对协方差矩阵做相应的预处理，得到新的协方差矩阵并使得新的协方差矩阵关于期望信号对角最小化，利用新的协方差矩阵最小特征值对应的特征向量作为权值的初始值，使得权值能够收敛到最小点，以实现无论期望信号功率大还是干扰信号功率大时都能捕获期望信号，预处理的最小二乘算法具体步骤如下：

(1)构造新的协方差矩阵Ryy=Ry-NPE,其中P为期望信号功率，E为单位矩阵；

(2)求协方差矩阵Ryy的最小特征值对应的特征向量v0；

(3)初始化 w(0)=v0，k=0；

(4)迭代更新 k=k+1：

(5)取收敛后的权矢量w(K)进行波束合成。

3 仿真分析

采用均匀线阵进行仿真分析，阵元数 N=8，若期望信号功率为 10 dB，干扰信号功率为8 dB，期望信号入射角度为 30°,干扰信号入射角度为-30°,期望信号和干扰信号均为QPSK调制信号，且存在加性高斯白噪声，其方向图如2所示。

图 2期望信号功率大于干扰信号功率方向图

由图2可知,在期望信号功率大于干扰信号功率的

上式中，ρ12表示空间相关系数。当 ρ12=0时，有：情况下，采用LSCMA自适应滤波算法和预处理的LSCMA自适应滤波算法都能使阵列的主瓣对准期望信号来向，零陷对准干扰信号来向。

若期望信号功率为8 dB,干扰信号功率为10 dB，其他仿真条件同图2仿真条件一样,则仿真结果如图3所示。

图3 期望信号功率小于干扰信号功率方向图

由图3可知，在当期望信号功率小于干扰信号功率的情况下，采用LSCMA自适应滤波算法，阵列的主瓣对准干扰信号来向，零陷对准期望信号来向，出现了干扰捕获现象；而采用预处理的LSCMA自适应滤波算法，阵列的主瓣仍然能够正确地指向期望信号来向，零陷对准干扰信号来向。

利用接收数据矩阵的协方差矩阵和期望信号的功率构造新的协方差矩阵，并将新的协方差矩阵最小特征值对应的特征向量作为权值的初始值作为权值的初始值，能够克服传统的最小二乘恒模算法在干扰功率比期望信号功率大时出现的干扰捕获的问题。

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