基于希尔伯特变换结构模态参数识别

范兴超，纪国宜

（南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016）

Hilbert-Huang变换[1]（HHT）是1998年美国华裔科学家Huang提出的一种新的数据处理方法，该方法已应用到地球物理学领域，并取得较好的效果，其主要是由经验模态分解（Empirical Mode Decomposition）和Hilbert变换（Hilbert Transform）两个部分组成，其主要思想是EMD分解[5]。EMD方法是把多自由度结构信号分解为若干个固有模态函数（Intrinsic Mode Function,IMF）之和，每一个IMF分量在任意时刻的瞬时频率相等。EMD分解是依据测试数据本身的时间尺度特征进行的分解，因此该方法比傅里叶变换以及小波分析等依赖于先验函数基的分解方法更加适合于处理一些非平稳及非线性数据[15―17]。HT方法是可获得信号在任意时刻的瞬时频率和幅值，在结构模态参数识别的过程中，利用EMD方法和HT方法获得各阶IMF分量的瞬时频率和幅值，然后对其进行拟合并结合ITD法[22]获得结构的模态参数。如Yang利用HHT方法研究了线性对自由度结构系统的模态参数识别问题[2，3]。文献[4]利用HHT方法对青马大桥的实测非平稳信号的模态参数进行了识别研究，表明了该方法在处理非平稳信号方面的优势明显，并且对密集频率[18―20]的识别精度较高。祁泉泉等在Hilbert-Huang变换的基础上采用ChebyshevI类带通滤波器[9]，有效的解决了模态混淆的问题，并推导了如何识别比例阻尼结构体系的振型问题。本文利用HHT方法进行了对GARTEUR飞机模型的模态参数识别[21]，并针对HHT方法存在的边端效应，虚假低频成分进行改进。

1 Hilbert-HHuuaanngg变换

EMD方法的核心思想是将测量得到的信号z(t)相邻峰值点之间的时延定义为时间尺度，首先找出z(t)所有极值点，对极值点做镜像延拓[6]，以消除或减弱端点效应的影响，然后利用3次样条函数分别连接各大极值点和极小值点形成上下极值点包络线，确保z(t)在上下包络线之间，然后对上包络线和下包络线上的每一时刻值取其平均，得到瞬时平均值m1，即得到

如果满足条件：1)极值点的个数和过零点的个数相等或者相差1个；2)上、下包络线的均值为零或者小于某个设定的较小值，也就是上、下包络线关于时间轴对称，那么则为第一个IMF分量，如果不满足，则对重复上述的筛选过程，假定经过k次筛选后得到满足上述条件，则认为为第一个IMF分量即c1=。然后将z(t)与c1的差r(t)=z(t)-c1作为新的数据重复上述的筛选步骤，当IMF分量cm或者残余量rm小于预先设定值，或者残余量rm为纯调频函数[13]不能从其中分解出IMF分量时，筛选过程结束。经过上述筛选步骤，信号z(t)可以分解出m个IMF和一个残余量

式中c1,c2,c3…cm分别包含了信号中从高频到低频的不同频率成分，理论上IMF分量应包含结构的m阶模态函数。此外，为了消除混合现象，可以在EMD分解的过程中为每个IMF分量指定时延和频率。信号x(t)的HT变换公式

x(t)的解析信号c(t)

其中A(t)=A0e-ζωt为瞬时幅值，A0为瞬时幅值的绝对值，θ(t)为瞬时相位，信号的瞬时频率为ω(t)=dθ(t)/dt。

2 结构模态参数识别

为了能够从原始信号中分离出所有的模态，避免模态混叠并对信号进行降噪处理，特别是对混有谐波的信号，提高信噪比、消除虚假成分、平滑分析数据、抑制干扰信号以及分离频率分量等。本文首先通过傅里叶变换观察时域信号功率谱确定所要滤去的谐波成分，采用带阻滤波器将其剔除，并采用多通带滤波器[12]将较难识别的低频成分或密集频率成分分离出来。理想情况下各种滤波器频响函数表达式为

式中fu为上限截止频率，fd为下限截止频率，Δf为频率分辨率。

对于非脉冲激励情况下的响应信号首先利用NExT法[7]进行预处理获得其自由振动响应，然后通过HHT变换和ITD法相结合获得结构的模态参数。

3 仿真算例

由于基于时域信号的模态参数识别方法都是要求初始输入的数据为结构振动系统的自由衰减响应信号或者是脉冲响应信号。本文对自然激励或其他非脉冲激励的情况下，结合NExT法获得自由衰减响应信号并通过HT变换获得结构的瞬时频率，ITD法识别出各个IMF分量的阻尼比。

为验证此方法的有效性构造一位移仿真信号

其时域波形如图1所示。

图1 位移响应

从时域波形可以看出其为衰减响应，对该位移进行EMD分解取其前3阶IMF分量如图2所示。

对分解得到的IMF分量进行HHT变换获得瞬时频率，并利用ITD法获得前3阶IMF分量的阻尼比如图3和表1。

表1 前3阶频率与阻尼比

从表1中可以得到固有频率识别最大误差为0.7%，阻尼比最大误差为0.13%。从图3中可以看出通过采用镜像延拓方法可以有效的减少端点效应对计算精度的影响。下面对一悬臂梁进行仿真实验进一步说明使用该方法能有效的识别出结构的固有频率和阻尼比。

悬臂梁模型仿真选用金属材料，其弹性模量为36.2 GPa，密度9 280 kg/m3，悬臂梁长1.2 m，宽0.03 m，高0.06 m。悬臂梁共划分24个单元，从左到右共布置25个测点，如图4所示。

激励类型选择为在测点6处施加正弦激励f1(t)=10 sin(1 0 0 πt)，在测点9处施加窄带随机激励f2，最大幅值20，频率为5到250 Hz，激励方向沿f2方向。

图2 位移响应前3阶IMF分量

图3 瞬时频率与拟合曲线

图4 悬臂梁仿真模型

阻尼比类型采用比例阻尼即

通过MATLAB仿真计算得到悬臂梁模型理论模态参数如表2所示。

表2 悬臂梁模型的模态参数理论值

其中测点4处的时域响应信号及其功率谱如图5所示。

由于加入50 Hz谐波信号，所以首先采用带阻滤波器将其剔除，然后利用EMD方法获得的前3阶IMF分量如图6所示

对分解得到的IMF分量进行HT变换获得瞬时频率曲线，并利用ITD法获得前3阶IMF分量的阻尼比如图7和表3所示。

表3 前3阶频率及阻尼比

图5 加速度响应波形及功率谱图

图6 前3阶IMF分量

图7 瞬时频率及拟合曲线

对比瞬时频率的识别曲线和线性拟合曲线以及从表3中可以得到前3阶固有频率和阻尼比的识别误差均在2%以内。从图7中看到，由于端点效应的影响瞬时频率在初始时刻和结束时刻均有一定程度的误差。上述两仿真实例说明：1)适当的对信号进行滤波处理能有效的剔除谐波信号，提高信噪比。2）通过HHT方法能有效得到稳定可靠的参数识别结果。

4 实验室实验

GARTEUR飞机模型是一款典型标准的飞机模型，其是由具有12个成员的欧洲航空科技研究组织结构与材料工作组研制的。该飞机模型具有真实飞机的高柔度，固有模态频率低、密集等特点。本节在实验室环境下对GARTEUR飞机模型进行了模态实验，激励信号是用来模拟一般环境激励[8]的随机信号。并将通过本文方法识别的结果和模态分析软件识别结果进行对比，验证本文方法的有效性和可使用行。飞机模型采用弹性悬挂方式，采样频率为512 Hz，采样点数为8 092，飞机模型共布置1个力传感器和20个加速度传感器。飞机模型前4阶频率和阻尼比（包括悬挂频率和阻尼比）软件识别结果如表4所示。

表4 固有频率和阻尼比

其中第1阶振型为对称一弯，第2阶振型为反对称一弯，第3阶振型为反对称二弯和扭。某一测点的时域响应信号和功率谱如图8所示。

由于GARTEUR飞机模型模态的复杂性，对单个测点进行识别不能够识别出所需要的模态参数，所以要对多个测点进行处理，最终成功的准确识别出飞机模型的前4阶模态参数，如表5所示。

表5把EMD方法、小波变换方法（Morlet小波变换）和模态识别软件识别值做一对比，可以看出EMD法和小波变换方法识别效果均很理想，而小波变换法未能识别出较低频的悬挂频率，凸显EMD法对低频成分的识别能力较好。

图8 加速度时域响应信号及功率谱

表5 频率和阻尼比

5 结语

在HHT方法的基础上，采用多通带滤波器和镜像延拓法有效解决了HHT方法中存在的模态混淆问题和端点效应，并结合NExT法和ITD法有效地识别出结构模态参数。通过本文的研究说明HHT算法是一种适合研究复杂结构模态参数识别的良好方法。HHT算法能显示固有频率随时间变化的曲线，对于研究非稳态信号和时变模态参数问题具有很大的优势。利用HHT方法获得结构的固有频率和阻尼比只需要结构的一个自由度振动响应，而获得振型则需要所有自由度的振动响应。

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