关于自守形式和L函数的简短6章

朱尧辰

自守形式和L函数是一些特殊的复变函数，是研究某些数论问题的有效解析工具。本书由与它们有关的简短的6章组成，中心内容是Shimura周期猜想和L函数矩量猜想。这两个猜想在现代数论中具有基本重要性，和某些重要的代数数论及解析数论问题和猜想紧密相关，属于现代数论的前沿性研究课题。本书两位作者是在美国Texas教会大学任教的中国学者，多年从事与这些猜想有关的研究，并且近年来在中国内地、土耳其和美国一些大学就此主题讲学。本书就是在此基础上形成的论著。

本书第1章：模形式和ShimuraTaniyama猜想。简明地给出本书后文必需的数论预备知识，包括椭圆函数、模形式、Hecke算子、L函数、椭圆曲线等，最后叙述了HasseWeil猜想和ShimuraTaniyama（志村-谷山）猜想。第2，3，6章论述Shimura周期猜想，第4，5章研究L函数矩量猜想。2.自守形式的周期。与自守形式的周期有关的各种概念的引论。首先定义了自守形式，然后讨论在Dirichlet级数，椭圆曲线和上同调理论研究中出现的周期概念，进而引进Hilbert模形式，与四元数代数相关的自守形式以及Adel自守形式，还有Heck算子以及对于Hilbert模形式的标准L函数，等等。本章的论述遵循Shimura的研究工作；3.自守形式的提升。包含两部分：提升自守形式的有关概念，Shimura周期猜想的表述和Yoshida的工作介绍；4.L函数的零点。研究L函数的解析性质，特别给出关于L函数零点分布的基本结果，包括Riemann猜想和广义Riemann猜想；5.L函数的特殊值。是上一章的继续，给出L函数的离散矩量猜想，积分矩量猜想，包括与之有关的BirchSwinnertonDyer猜想和Lindelof猜想；6.θ提升和对于二次扩张的周期。比较详细地给出本书第一作者最近关于Shimura周期猜想的研究成果，并给出进一步研究的文献。

本书是一本前沿性专著，有些章节不包含论证细节，因此要求读者具有较专门的数论知识和一定的研究基础，主要供有关数论研究人员和研究生阅读。

（中国科学院应用数学研究所）endprint