基于T-S模型的随机双线性系统的稳定问题

(杭州电子科技大学，浙江 杭州310018)

0 引 言

双线性系统介于线性系统和非线性系统之间，其动态要比非线性的简单，并且双线性系统比线性系统更好地逼近非线性系统，许多实际的物理过程不能够用线性系统描述，但是可通过适当地建模，用双线性系统表示。由于这两个优点，对双线性系统的稳定性分析和控制器设计显得尤为重要。研究非线性系统比较有效的方法是T-S模型的模糊控制，在此方法上研究的成果[1-4]已有很多。文献[1]首次提出了T-S 模糊双线性系统。目前关于T-S 模糊随机双线性系统的研究成果并不多，因此在该文中，根据It^o 随机稳定性理论的相关知识，采用并行分布补偿方法、Lyapunov 函数法等方法研究基于T-S模型的随机双线性系统的稳定性问题。

1 系统描述

式中，x∈Rn是状态向量，u∈R是控制输入，ω(t)∈R是标准维纳过程，Ai，Bi，Ci，Ni是已知的具有适当维数的实常数矩阵;r是If-Then 规则数，ξ(t)=(ξ1(t)，…，ξr(t))T是前提变量向量，Fi1，Fi2，…，是模糊集合。

由上述模糊规则描述的系统得到的模糊随机双线性系统为:

采用文献[5]的设计概念，模糊控制器的描述为Control rule j:If ξ1(t)is Fj1，and…，and ξr(t)is Fj，

全局控制器可以表示为:

把式(3)带入式(2)，得到的闭环系统方程为:

考虑定义在Rn上的随机微分方程[6]:

引理1[6]若存在正定函数V(x，t)∈C2，1(Sh×[t0，∞);R+)是径向无界、上下有界的，对所有的(x，t)∈Sh×[t0，∞)，如果那么随机系统式(5)是大范围随机渐近稳定的。

2 主要结果

那么闭环系统式(4)是大范围随机渐近稳定的。

证明 考虑二次型的Lyapunov 函数V(x)=xTPx，其中P是满足矩阵不等式(6)、式(7)的正定矩阵。显然，V(x)是正定的且是径向无界的。微分算子沿着式(4)的轨迹作用在函数V(x)上，则:

对于式(8)中的若干项应用不等式ATB+ABT＜γATA+γ-1BBT，得P(Ai+BiKiρcosθi+Niρsinθi)+

由此可得:

对式(7)采用Schur 补引理，结合式(8)中的另一些项，同理得:

3 数值实例

4 结束语

[1]Li T S，Tsai S H.T-S Fuzzy Bilinear Model and Fuzzy Controller Design for a Class of Nonlinear Systems[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15(3):494-506.

[2]Dong J，Yang G H.State Feedback Control of Continuous-time T-S Fuzzy Systems via Switched Fuzzy Controllers[J].Information Sciences，2008，178(6):1 680-1 695.

[3]Zhou S S，Lam J，Zheng W X.Control Design for Fuzzy Systems Based on Relaxed Nonquadratic Stibility and H∞Performance Conditions[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15(2):188-199.

[4]Zhou S，Ren W Y，Lam J.Stabilization for T-S Model Based Uncertain Stochastic Systems[J].Information Sciences，2011，181(4):779-791.

[5]Chiou J S，Kung F C，Li T S.Robust Stabilization of a Class of Singularly Perturbed Discrete Bilinear Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45(6):1 187-1 191.

[6]Mao X.Stochastic Differential Equations and Applications[M].Chichester:Horwood Pubication，1997:107-146.