半月板光放大性

袁 玫，李金环

（东北师范大学 物理学院，吉林 长春130024）

1 引 言

在古希腊，“弯月”代表的是在两竖直固体表面间附着的液体膜所构成的形状.2013年全国大学生物理学术竞赛中有一个问题是：在不透明的薄材料上剪一狭缝，将薄材料浸没在水中，然后将薄材料从液体中移出，可以从狭缝中看见液体的薄膜，照亮狭缝.研究产生图样的成因.本文中只研究塑料材质水平放置的狭缝所产生的放大图像，实验光路图见图1.

图1 实验光路图

2 理论分析

2.1 弯液面形状

水平方向受力平衡：

所以

由数学几何关系知：

图2 受力分析

由（6）～（8）式得，z″（y）＞0，Δz′（y）＜0.因此，水平狭缝中的水膜成凹液面，下半段呈下降趋势，与下半段凹液面曲线完全相同［3］.

2.2 弯液面与凹透镜等效条件

弯液面与凹透镜等效条件见表1.

表1 弯液面等效凹透镜条件

2.3 带有水狭缝焦距计算公式

焦距计算示意图如图3所示，根据相似三角形原理可知：

则有水狭缝焦距为

图3 焦距计算示意图

3 实验探究

为了研究半月板的光放大性，实验中使用He-Ne激光器产生的最大波长为632.8nm，所以将夹缝宽度控制在1～3mm，使波长与缝宽不在同一数量级，即不会出现单缝衍射现象.

3.1 验证半月板成像的凹透镜放大性

控制狭缝、像屏位置均不变，在狭缝中有液体薄膜和无液体薄膜，有10cm焦距凹透镜的3种情况下进行实验，图4为观察光屏上的图像.

图4 不同条件实验对比图

在有水狭缝条件下，将一纸屏从紧靠狭缝向远离狭缝移动，观察发现条纹逐渐增大，且始终比光源大.

实验证明：有水狭缝始终对光斑成放大作用，且放大性与凹透镜类似.

3.2 研究半月板光学性质与狭缝厚度t关系

狭缝被水充满时，固定狭缝和光屏情况下，s′＝27.1cm，b＝0.2cm，改变不同的狭缝厚度t，读取d，计算f变化，每个狭缝厚度做7组实验.

每个狭缝厚度取7组实验的最大值，拟合得：f＝-1.256t＋12.18，R2＝0.982.图5中，相同狭缝厚度的不同数据点，表示液体体积不同.由图5中总体趋势可看出：随着狭缝厚度t的增加，图像的焦距以一次函数的趋势逐渐减小，与理论所推得的公式f＝-相符.

图5 f-t关系

水膜位置对图像的影响如图6所示，当狭缝厚度不断增加时，狭缝间可填充水的最大体积增加，即填充水的体积范围扩大.填充水体积小时，狭缝主要起到的是光阑作用；填充水体积最大时，狭缝主要起到的是光学透镜作用；填充水体积位于中间范围时，狭缝主要起到的是光阑与透镜的共同作用.由于每次不能保证填充水的体积一定，故狭缝厚度越大，每次填充的水体积差异也越大，误差越大.多次实验的目的是为了尽可能的保证狭缝间水的体积最大，光学性质最好.

图6 水膜位置对图像的影响

当狭缝厚度足够大，水不能充满狭缝时，狭缝起到光阑的作用.水膜靠近光屏时，有较多光线通过；水膜远离光屏时，透过光线较少.

3.3 研究半月板光学性质与狭缝宽度b关系

固定狭缝和光屏情况下，s′＝27.1cm，改变不同的狭缝宽度b，读取d，计算f的变化，每个狭缝宽度做3组实验.

图7 f-b关系

图7中，相同狭缝宽度b的不同数据点，表示液体体积不同.选取图7中放大程度最大的一组数据，由于填充水最接近最大体积，故误差最小，可看出：随着单缝宽度b的增大，焦距f先增大再减小，由理论值：

因为d≫b，所以4（d-b）2≈4d2＞2b，所以f″＜0，即曲线向下凹，实验与理论相符.

由图7中可看出，第2，3组数据中虽然填充水不是最大体积，即狭缝包括透镜和光阑两方面作用，但此时仍然以水的透镜作用为主，与理想情况下焦距变化的趋势相同.

3.4 研究半月板光学性质与狭缝倾角φ的关系

固定狭缝和光屏位置情况下，s′＝27.1cm，t＝1mm，改变狭缝的位置与水平方向的夹角φ，根据图像的弯曲程度，粗略测量图像的曲率，得到的R-φ图像如图8所示.

图8 R-φ关系

由图8总体趋势可看出：随着狭缝角度φ的增大，图像曲率逐渐增大.

4 结 论

本文研究了狭缝水膜的形状，以及它的光学放大性质.实验结果表明，水膜呈二次函数的凹液面，光学放大性质与凹透镜有着相同的性质.随着狭缝厚度t的增加，水膜焦距呈线性下降趋势；单缝焦距也与狭缝宽度b呈二次函数关系；随着狭缝角度的增加，图像曲率也在不断增加.

［1］周述苍，郭天葵，周莹.基于LabVIEW的液体表面张力系数测定［J］.物理实验，2012，32（12）：30-32.

［2］Biery J C，Oblak J M.Calculational method for determination of surface tensions from photographed menisci［J］.I ＆ EC Fundamentals，1966，5（1）：121-128.

［3］Deserno M M.The shape of a straight fluid meniscus［Z］.2004-03-15.