主瓣约束下的零陷加深波束形成算法

李鹏飞，刘 喆，陶业荣，谢 轲

（中国洛阳电子装备试验中心，河南 洛阳 471003）

0 引言

基于阵列信号处理的波束形成技术广泛应用于雷达、通信、声纳等领域［1－4］。随着电子信息技术的发展，空间的电磁信号环境日益复杂。波束形成技术成为在复杂战场环境下对抗强信号干扰的有效手段之一，它能够根据干扰信号的波达方向在天线方向图上形成零陷来抵消干扰。J.Capon［5］基于最小方差无畸变响应准则，提出一种叫做MVDR（Minimum Variance Distortionless Response）的波束形成器，该波束形成器能根据干扰信号的波达方向自适应地在干扰方向形成零陷来抵消干扰。随后，Reed等［6］提出著名的采样协方差矩阵求逆（SMI）方法来实现MVDR波束形成器，成为波束形成领域最经典的算法之一。SMI算法虽然能在干扰方向形成一个稳定的零陷，但是协方差矩阵包含期望信号信息，特别是在快拍较少时，协方差矩阵的估计存在误差而形成一个病态矩阵，产生的方向图零陷的深度不足，旁瓣电平较高［7］。同时SMI方法很难对主瓣的宽度进行控制，设计方法的灵活性不够。针对这些问题，本文提出了一种基于凸优化的主瓣约束下的零陷加深波束形成算法。

1 背景和信号模型

假设M元均匀线阵，在t时刻阵列接收到的信号为：

其中xs（t），xi（t），n（t）分别是统计独立的期望信号、干扰信号和噪声。xs（t）＝as（t），s（t）是期望信号波形，a是期望信号的实际导向矢量。自适应波束形成器的输出

其中w＝［w1，…，wM］T∈CM是波束形成权值复向量，（·）T和（·）H分别代表矩阵的转置和共轭转置。

基于输出功率最小准则，则自适应波束形成可以写成以下优化问题：

理论上最优的波束形成器输出权值为：

其中Ri＋n是干扰加噪声协方差矩阵，在实际条件下无法得到Ri＋n，通常用Rx的估计值来代替，即通过多次快拍采样 X（i）XH（i）求平均来完成，N 为快拍数，则Rx的估计值可以表示为：

一般情况下，都是采用样本矩阵直接求逆的方法（SMI），其解为：

2 主瓣约束下的零陷加深波束形成算法

2.1 算法原理

通过式（6）样本矩阵直接求逆的方法虽然能够得到波束形成器的输出权值，但是该方法利用阵列接收信号的协方差矩阵来近似代替干扰加噪声的协方差矩阵，会造成零陷的深度不够，同时采用上述的方法形成的波束，很难对主瓣的宽度进行控制。因此论文提出了一种新的零陷加深自适应波束形成算法，主要思想是构建副瓣电平和零陷电平的联合凸函数，最后利用序列二次规划凸函数得到最优的波束形成权值，算法描述如下。

假设期望信号的波达方向为θ，主瓣宽度为Δθ，干扰信号的波达方向是φ。定义As＝ ［a1，…，aθ－0.5Δθ，aθ＋0.5Δθ，…，a360］，表示副瓣所有方向导向矢量组成的矩阵。为了使副瓣电平尽可能的低，可以建立下面的目标函数：

考虑到干扰信号，需要在其入射方向上形成一个较低的零陷来抵消干扰。可以建立如下的目标函数：

基于零陷和副瓣电平最小准则，则自适应波束形成可以写成以下优化问题：

式（9）是一个凸优化［8］问题，可以使用内点法进行有效地求解。

2.2 算法流程

至此，算法流程总结如下：

1）根据期望信号的波达方向和主瓣宽度构造副瓣导向矢量矩阵As。

2）估计干扰信号的波达方向φ，并根据阵列结构生成干扰方向的导向矢量aφ。

3）根据式（9）将波束形成问题转化为凸优化问题。

4）利用内点法对第3）步建立的优化问题求解得到波束形成的最优权系数w。

3 仿真实验

为了验证理论分析的正确性和算法的有效性，进行了如下的仿真实验。仿真实验中假设阵列为半波长均匀线阵，阵元数M＝30，噪声为零均值的高斯白噪声。

实验一：不同主瓣宽度下的波束形成

假设干扰信号的波达方向为60°，信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）为10dB，干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）为30dB，期望信号的方向角为100°。快拍数N＝500，实验结果来自1 000次独立的蒙特卡洛实验。图1和图2是不同主瓣宽度下的阵列方向图。

图1 主瓣宽度为20°时的方向图Fig.1 The pattern when the width ofmain lobe is 20°

从图1和图2可以看出，和SMI方法相比本文方法能形成更低的零陷电平，比SMI方法形成的零陷加深了100多dB，并且对于副瓣电平的控制明显优于SMI方法。本文方法将波束形成问题转化为凸优化问题，因此对于主瓣宽度的控制较为灵活，可以保证主瓣在一定宽度下干扰方向形成零陷，而SMI方法则无法对主瓣宽度进行约束。

对比图1和图2可以发现，当主瓣宽度较大时，副瓣电平能控制的较低，同时形成的零陷也较深。

图2 主瓣宽度为10°时的方向图Fig.2 The pattern when the width ofmain lobe is 10°

实验二：主瓣内存在干扰的方向图

假设期望信号的波达方向为100°，主瓣宽度为20°，在主瓣内存在一干扰信号，其入射方向为105°。信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）为10dB，干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）为30dB。快拍数N＝500，图3为主瓣内存在干扰时形成的方向图。

从图3可以看出，本文方法能够保证主瓣形状基本不变的情况下，在主瓣内（105°）形成一个较深的零陷，同时对副瓣电平抑制的较好，优于SMI方法。

图3 主瓣内存在干扰的方向图Fig.3 The pattern with interfering signals in main lobe

实验三：不同信、干噪比下波束形成

假设干扰信号的波达方向为60°，期望信号的波达方向为100°，主瓣宽度为20°。快拍数N＝500。图4—图6是不同信、干噪比下的阵列方向图。

从图4—图6可以看出，SMI方法形成的波束受SNR和INR影响较大，当INR较大时能形成较深的零陷。由于SMI方法利用阵列接收信号的协方差矩阵来近似代替干扰加噪声的协方差矩阵，当SNR大于INR时，在期望方向不能形成主瓣，并且零陷深度较浅（如图6所示）。而本文方法受SNR和INR的影响较小。

4 结论

本文联合副瓣电平和零陷电平建立凸目标函数，提出一种主瓣约束下的零陷加深波束形成算法。该方法建立副瓣导向矢量矩阵灵活地对主瓣的宽度进行设计、利用干扰方向的导向矢量建立的最小化目标函数实现了零陷的加深。理论分析和仿真实验证明了本文方法不需要估计阵列的协方差矩阵，在设计的灵活度、副瓣电平控制、零陷深度等方面明显优于SMI方法，非常适合于强干扰下的波束形成。下一步将对阵列存在误差情况下的鲁棒波束形成算法展开研究。

［1］Danilo Comminiello，Michele Scarpiniti，RaffaeleParisi，et al.Combined adaptive beamforming schemes for nostationary interfering noise reduction［J］.Signal Processing，2013，93（12）：3306－3318.

［2］Sergiy A Vorobyov.Principles of minimum variance robust adaptive beamforming design［J］.Signal Processing，2013，93（12）：3264－3277.

［3］Van H LTrees.Optimum array processing，part IV of detection，estimation，and modulation theory［M］.John＆Sons，Inc，New York，USA，2002：12－25.

［4］Liu W，Weiss S.Wideband beamforming：concepts and techniques［M］.Chichester，U.K：Wily，2010：45－62.

［5］Capon J，Greenfield R J，Lacoss R T.Long－period signal processing results for the large aperture seismic array［J］.Geophysics，1974，34（2）：305－329.

［6］Reed L S，Mallett J D.Rapid convergence rate in adaptive arrays.IEEE Trans on Aerospace Electronics System［J］.1974，10（6）：853－863.

［7］Miller T W.Introduction to adaptive arrays［M］.US：John Wiley and Sons Inc.，1980.

［8］博赛无斯.凸优化理论［M］.北京：清华大学出版社，2011.