“用物理原理证明数学问题”是在“循环论证”

眼下，在一些物理资料[1][2]中，经常出现用所谓的“物理原理”去解决“数学问题”的题目，而且多是证明题，根据物理学中的一条物理规律或物理原理去论证某个纯数学问题的正确性.由于和传统的数学证明相比，这种论证过程看似更“简洁”、“独特”，所以，该方法常常被证明者自誉为“鬼斧神工”，并认为是自己“发现”了大自然暗藏的“玄机”.

殊不知，所有“运用物理原理证明数学问题”的过程，都在犯逻辑推理中的循环论证错误.我们不妨对两个常见的证明过程加以剖析.

例1 求证：cos36°-cos72°=12.图1证明 如图1，在半径为R的圆周的五等分点A、B、C、D、E各放置电荷量相同的5个带负电的点电荷，设它们单独在圆心O处激发的电场强度大小均为E，由对称性可知，五电荷在圆心O处激发电场的合场强为0.图1中，取OA方向为电场强度的正方向，根据场强的合成法则，则有：

E+2Ecos72°+2Ecos144°=0，

所以E+2Ecos72°-2Ecos36°=0，

所以2cos36°-2cos72°=1，

所以cos36°-cos72°=12.

该证明过程果然“独特”而又“简洁”，运用物理学中场强的合成法则，三两步居然就导出了一个看似毫不相干的纯数学问题.

仔细分析可以看出，上述推理过程中，证明者“不自觉”地采用了循环论证.五个相同的点电荷关于圆心成旋转对称放置时，圆心处的合场强之所以等于零，是由于两方面的原因，其一，场强的合成遵从于矢量的叠加原理；其二，一个三角恒等式的成立——将周角2π分成n等份（n为自然数），其中大小为1份，2份，3份，……，n份角的余弦之和等于零，即

cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0.

我们对这个三角恒等式的正确性进行逻辑论证.分两种情况进行证明：

（1）n为偶数时，令n=2k（k∈N*），

cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn

=cos1×2π2k+cos2×2π2k+cos3×2π2k+…+cos（k+1）×2π2k+cos（k+2）×2π2k+cos（k+3）×2π2k+…+cos（k+k）×2π2k

=[cos1×2π2k+cos（k+1）×2π2k]+[cos2×2π2k+cos（k+2）×2π2k]+[cos3×2π2k+cos（k+3）×2π2k]+…+[cosk×2π2k+cos（k+k）×2π2k]

=[cos1×2π2k+cos（π+1×2π2k）]+[cos2×2π2k+cos（π+2×2π2k）]+[cos3×2π2k+cos（π+3×2π2k）]+…+[cosk×2π2k+cos（π+k×2π2k）]

=0.

等式成立.

（2）n为奇数时，令n=2k+1（k∈N*），

cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn

=cos1×2π2k+1+cos2×2π2k+1+cos3×2π2k+1+…+cos（2k+1）×2π2k+1

=cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2.

我们只需证明cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2=0即可.由上面（1）的证明结论可知，当n=4k+2（k∈N*）时，等式成立，即：

cos1×2π4k+2+cos2×2π4k+2+cos3×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos5×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2=0.

所以12[2cos1×2π4k+2+2cos2×2π4k+2+2cos3×2π4k+2+2cos4×2π4k+2+2cos5×2π4k+2+2cos6×2π4k+2+…+2cos2（2k+1）×2π4k+2]=0.

所以12{2[cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2]+[（cos1×2π4k+2+cos3×2π4k+2）+（cos3×2π4k+2+cos5×2π4k+2）+（cos5×2π4k+2+cos7×2π4k+2）+…

+（cos（4k-1）×2π4k+2+cos（4k+1）×2π4k+2）+（cos（4k+1）×2π4k+2+cos1×2π4k+2）]}=0.

所以12{2[cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2]

+[（cos1×2π4k+2+cos3×2π4k+2）+（cos3×2π4k+2+cos5×2π4k+2）+（cos5×2π4k+2+cos7×2π4k+2）+…

+（cos（4k-1）×2π4k+2+cos（4k+1）×2π4k+2）+（cos（-1×2π4k+2）+cos1×2π4k+2）]}=0.所以12{2[cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2]+2[cos2×2π4k+2cos2π4k+2+cos4×2π4k+2cos2π4k+2+cos6×2π4k+2cos2π4k+2+…+cos4k×2π4k+2cos2π4k+2+cos0cos2π4k+2]}=0.

所以12{（2+2cos2π4k+2）[cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2]}=0.所以cos2×2π4k+2+cos4×2π4k+2+cos6×2π4k+2+…+cos2（2k+1）×2π4k+2=0.

这说明，当n为奇数时，等式也成立.

综合（1）、（2），问题得证.

如果等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0不成立（注意，我们说的是“如果”），即使n个相同的点电荷关于某点成旋转对称，这些点电荷在该点的合场强也不会为零！换句话说，例1证明的论证过程，说“圆心O处的场强为零，就已经事先“默认”了恒等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0的成立，而式子“cos36°-cos72°=12”正是该恒等式的一个特例（n=5的情形），因此，该证明属于循环论证.

例2 求证：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

证明 在竖直平面内，以1m为单位长度建立如图2所示的平面直角坐标系（其中x轴水平），以（1，0）为一个顶点A作正△ABC，使BC边上的高线AD落在x轴上，并使AD=n-1（n为正整数），将△ABC各边（n-1）等分后，图2按图2的方式连接各等分点，将原△ABC分成多个全等的小等边三角形，在各小三角形的顶点均放置重1N的质点（多点重合的按1点计），则相对于坐标原点O，这些质点重力的力矩之和为：

1×1+2×2+3×3+…+n·n=12+22+32+…+n2（单位：N·m）

由三角形重心定理得，这些质点组成系统的重心在△ABC中线（当然也是等边三角形的高）AD上，距离A点23AD处，不妨设重心为H，则有AH=23（n-1），故H的坐标为（23n+13，0）.由于这些质点的重力之和G=1+2+3+…+n=n（n+1）2，而系统各质点重力相对于某点的力矩之和等于系统重力（作用于系统重心）相对于该点的力矩，故有：

12+22+32+…+n2=n（n+1）2（23n+13）=n（n+1）（2n+1）6，

所以12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

分析 该推理过程中，“这些质点组成系统的重心在△ABC中线AD上，距离A点23AD处”论断的证明，就需要运用公式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”，证明如下：

图2中，设质点组成系统的重心坐标为（x，0），根据物理学中重心定义可得：

x=（∑ni=1Gi）-1∑ni=1Gixi （G为各质点的重力）

=1×1+2×2+3×3+…+n·n1+2+3+…+n

=12+22+32+…+n21+2+3+…+n

=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2

=2n+13

=23（n-1）+1.

所以AH=23AD.（利用此方法，我们也可以很方便的推出三角形的重心定理——质量分布均匀的三角形，重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍）

上述推理中，在“12+22+32+…+n21+2+3+…+n=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2”这一步，我们就运用了等式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6，换句话说，若该等式不成立（注意，这里我们说的仍是“如果”），“这些质点组成系统的重心在△ABC中线AD上，距离A点23AD处”的论断也将不再成立（当然，三角形的重心定理也将不再成立）！所以，这种利用力矩原理证明数学等式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”的过程，尽管非常的简洁，但仍然属于循环论证.

实际上，除了单纯由实验总结出的规律之外（比如滑动摩擦力与压力间的正比关系），一些物理定律或原理与相关的数学恒等式之间有时的确存在因果关系——运用数学知识，根据已有的物理规律或原理，用逻辑推理的方法，导出新的物理规律和原理.而一个纯数学问题，绝对不会以某个物理原理的成立作为自己成立的条件，因此，数学问题与物理原理间的“正确”逻辑关系为，数学问题是“因”，相关的物理原理为“果”，绝不会因果倒置.所谓的根据物理原理论证某个纯数学问题正确性的过程，从表面上看，或许“独特”而又“简洁”，但实质上都是在犯循环论证的错误.

参考文献

[1] 卞志荣.巧用物理方法求解数学问题.物理教师，2007（01）：16-17.

[2] 戎年中.利用物理学原理求解数学问题.物理通报，2009（10）：16-18.

作者简介 王伟民，男，1964年生，中学高级教师.曾荣获太和县优秀教师、太和县师德标兵、阜阳市优秀教师等称号；发表论文七十余篇.

这说明，当n为奇数时，等式也成立.

综合（1）、（2），问题得证.

如果等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0不成立（注意，我们说的是“如果”），即使n个相同的点电荷关于某点成旋转对称，这些点电荷在该点的合场强也不会为零！换句话说，例1证明的论证过程，说“圆心O处的场强为零，就已经事先“默认”了恒等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0的成立，而式子“cos36°-cos72°=12”正是该恒等式的一个特例（n=5的情形），因此，该证明属于循环论证.

例2 求证：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

证明 在竖直平面内，以1m为单位长度建立如图2所示的平面直角坐标系（其中x轴水平），以（1，0）为一个顶点A作正△ABC，使BC边上的高线AD落在x轴上，并使AD=n-1（n为正整数），将△ABC各边（n-1）等分后，图2按图2的方式连接各等分点，将原△ABC分成多个全等的小等边三角形，在各小三角形的顶点均放置重1N的质点（多点重合的按1点计），则相对于坐标原点O，这些质点重力的力矩之和为：

1×1+2×2+3×3+…+n·n=12+22+32+…+n2（单位：N·m）

由三角形重心定理得，这些质点组成系统的重心在△ABC中线（当然也是等边三角形的高）AD上，距离A点23AD处，不妨设重心为H，则有AH=23（n-1），故H的坐标为（23n+13，0）.由于这些质点的重力之和G=1+2+3+…+n=n（n+1）2，而系统各质点重力相对于某点的力矩之和等于系统重力（作用于系统重心）相对于该点的力矩，故有：

12+22+32+…+n2=n（n+1）2（23n+13）=n（n+1）（2n+1）6，

所以12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

分析 该推理过程中，“这些质点组成系统的重心在△ABC中线AD上，距离A点23AD处”论断的证明，就需要运用公式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”，证明如下：

图2中，设质点组成系统的重心坐标为（x，0），根据物理学中重心定义可得：

x=（∑ni=1Gi）-1∑ni=1Gixi （G为各质点的重力）

=1×1+2×2+3×3+…+n·n1+2+3+…+n

=12+22+32+…+n21+2+3+…+n

=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2

=2n+13

=23（n-1）+1.

所以AH=23AD.（利用此方法，我们也可以很方便的推出三角形的重心定理——质量分布均匀的三角形，重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍）

上述推理中，在“12+22+32+…+n21+2+3+…+n=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2”这一步，我们就运用了等式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6，换句话说，若该等式不成立（注意，这里我们说的仍是“如果”），“这些质点组成系统的重心在△ABC中线AD上，距离A点23AD处”的论断也将不再成立（当然，三角形的重心定理也将不再成立）！所以，这种利用力矩原理证明数学等式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”的过程，尽管非常的简洁，但仍然属于循环论证.

实际上，除了单纯由实验总结出的规律之外（比如滑动摩擦力与压力间的正比关系），一些物理定律或原理与相关的数学恒等式之间有时的确存在因果关系——运用数学知识，根据已有的物理规律或原理，用逻辑推理的方法，导出新的物理规律和原理.而一个纯数学问题，绝对不会以某个物理原理的成立作为自己成立的条件，因此，数学问题与物理原理间的“正确”逻辑关系为，数学问题是“因”，相关的物理原理为“果”，绝不会因果倒置.所谓的根据物理原理论证某个纯数学问题正确性的过程，从表面上看，或许“独特”而又“简洁”，但实质上都是在犯循环论证的错误.

参考文献

[1] 卞志荣.巧用物理方法求解数学问题.物理教师，2007（01）：16-17.

[2] 戎年中.利用物理学原理求解数学问题.物理通报，2009（10）：16-18.

作者简介 王伟民，男，1964年生，中学高级教师.曾荣获太和县优秀教师、太和县师德标兵、阜阳市优秀教师等称号；发表论文七十余篇.

这说明，当n为奇数时，等式也成立.

综合（1）、（2），问题得证.

如果等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0不成立（注意，我们说的是“如果”），即使n个相同的点电荷关于某点成旋转对称，这些点电荷在该点的合场强也不会为零！换句话说，例1证明的论证过程，说“圆心O处的场强为零，就已经事先“默认”了恒等式cos1×2πn+cos2×2πn+cos3×2πn+…+cosn×2πn=0的成立，而式子“cos36°-cos72°=12”正是该恒等式的一个特例（n=5的情形），因此，该证明属于循环论证.

例2 求证：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

证明 在竖直平面内，以1m为单位长度建立如图2所示的平面直角坐标系（其中x轴水平），以（1，0）为一个顶点A作正△ABC，使BC边上的高线AD落在x轴上，并使AD=n-1（n为正整数），将△ABC各边（n-1）等分后，图2按图2的方式连接各等分点，将原△ABC分成多个全等的小等边三角形，在各小三角形的顶点均放置重1N的质点（多点重合的按1点计），则相对于坐标原点O，这些质点重力的力矩之和为：

1×1+2×2+3×3+…+n·n=12+22+32+…+n2（单位：N·m）

由三角形重心定理得，这些质点组成系统的重心在△ABC中线（当然也是等边三角形的高）AD上，距离A点23AD处，不妨设重心为H，则有AH=23（n-1），故H的坐标为（23n+13，0）.由于这些质点的重力之和G=1+2+3+…+n=n（n+1）2，而系统各质点重力相对于某点的力矩之和等于系统重力（作用于系统重心）相对于该点的力矩，故有：

12+22+32+…+n2=n（n+1）2（23n+13）=n（n+1）（2n+1）6，

所以12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

分析 该推理过程中，“这些质点组成系统的重心在△ABC中线AD上，距离A点23AD处”论断的证明，就需要运用公式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”，证明如下：

图2中，设质点组成系统的重心坐标为（x，0），根据物理学中重心定义可得：

x=（∑ni=1Gi）-1∑ni=1Gixi （G为各质点的重力）

=1×1+2×2+3×3+…+n·n1+2+3+…+n

=12+22+32+…+n21+2+3+…+n

=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2

=2n+13

=23（n-1）+1.

所以AH=23AD.（利用此方法，我们也可以很方便的推出三角形的重心定理——质量分布均匀的三角形，重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍）

上述推理中，在“12+22+32+…+n21+2+3+…+n=n（n+1）（2n+1）6n（n+1）2”这一步，我们就运用了等式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6，换句话说，若该等式不成立（注意，这里我们说的仍是“如果”），“这些质点组成系统的重心在△ABC中线AD上，距离A点23AD处”的论断也将不再成立（当然，三角形的重心定理也将不再成立）！所以，这种利用力矩原理证明数学等式“12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6”的过程，尽管非常的简洁，但仍然属于循环论证.

实际上，除了单纯由实验总结出的规律之外（比如滑动摩擦力与压力间的正比关系），一些物理定律或原理与相关的数学恒等式之间有时的确存在因果关系——运用数学知识，根据已有的物理规律或原理，用逻辑推理的方法，导出新的物理规律和原理.而一个纯数学问题，绝对不会以某个物理原理的成立作为自己成立的条件，因此，数学问题与物理原理间的“正确”逻辑关系为，数学问题是“因”，相关的物理原理为“果”，绝不会因果倒置.所谓的根据物理原理论证某个纯数学问题正确性的过程，从表面上看，或许“独特”而又“简洁”，但实质上都是在犯循环论证的错误.

参考文献

[1] 卞志荣.巧用物理方法求解数学问题.物理教师，2007（01）：16-17.

[2] 戎年中.利用物理学原理求解数学问题.物理通报，2009（10）：16-18.

作者简介 王伟民，男，1964年生，中学高级教师.曾荣获太和县优秀教师、太和县师德标兵、阜阳市优秀教师等称号；发表论文七十余篇.