朴实中孕育基础 常规中彰显能力

刘胜林

2014年高考虽已悄然离去，但留给我们无尽的思索.相比前几届的高考试题，2014年高考数学试题整体难度略有所降低.笔者特别关注了一下今年的高考解析几何试题，其试题设计的问题情境熟悉，问题设置常规，给人一种“似曾相识燕归来”的感觉，但若真正动笔具体操作起来时不时有些“咔”，一不留神，还会陷入泥潭，不能自拔.下面邀大家一起从试题设计的背景、试题考查的基本数学思想、基本技能等角度来对2014年高考解析几何试题进行剖析，期望对2015年高考解析几何的备考复习工作带来些启发与帮助.1 试题设计的背景深刻、内涵丰富

高考试题是高考命题专家、一线优秀教师团队经过几个月的精心准备、苦心钻研命制而成，其试题设计的背景常通过不同的载体来实现和依托不同的方式来呈现，常见的有：以课标为背景，以往年高考试题为背景，以国外高考试题为背景，以经典的数学名题为背景，以重要的数学结论为背景等.许多试题是可进行横、纵向的拓展与延伸，其内涵颇为丰富.图1如（2014年福建高考数学理科卷第19题）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a>；0，b>；0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图1示，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？如存在，求出双曲线E的方程；如不存在，说明理由.

本题主要考查双曲线的几何性质，直线与双曲线位置关系，其第二问是一道开放型试题，自主探究是否存在双曲线E，使得总有动直线l与E有且只有一个交点，且S△OAB恒为8.通过探究最终求得双曲线E：x24-y216=1，深入挖掘可以发现，该问的设置是在双曲线如下一个重要几何性质下孕育而生的.性质：过双曲线x2a2-y2b2=1（a>；0，b>；0）上任意一点作其切线，则切线与双曲线两渐近线所围成的三角形的面积恒为ab.利用上述性质易知ab=8，又ba=2，从而得a2=4，b2=16，即得双曲线E的方程为x24-y216=1.至此可以发现，在该问题的求解过程中，若能理解并掌握双曲线的这一重要结论，进而就可洞察出试题的设计背景，站在一个高观点下审视此题，继而问题求解起来就会游刃有余.2 试题考查的数学思想鲜明

所谓解析几何即是通过将平面中的点坐标化，继而利用数量关系来刻画平面中的直线、曲线及其几何关系，进而将几何问题转化为相应的代数问题，并最终通过纯粹的代数运算来解决平面几何问题.因此解析几何问题的求解常常会渗透函数与方程、不等式等重要的数学思想.图2如（2014年辽宁高考数学理科卷第20题）：圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图2）.双曲线C1：x2a2-y2b2=1过点P且离心率为3.（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点.若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程.

本题第一问要求双曲线C1的方程，需先求出切点P的坐标.利用圆的切线及直角三角形的性质，借助重要均值不等式OP2=PD·PE≤PD+PE22（当且仅当PD=PE时取“=”号），可得当点P为DE中点，即Rt△DOE为等腰Rt△时，S△DOE最小，从而可得P（2，2），于是利用P在双曲线C1上及e=3来建立关于参数a，b的方程组进行求解即可得到双曲线C1的方程.而本题第二问是解析几何中一道很典型的求某一参数取值的问题，待定系数法，设直线l的方程为y=k（x-3），A（x1，y1），B（x2，y2），而后利用题目条件所给等量关系（或利用平面几何图形的几何性质去分析挖掘题设条件背后所隐含的等量关系）来建立关于参数k的方程，最后通过解方程组来求其参数k.在这里主要是利用以线段AB为直径的圆过点P的几何性质得∠APB=90°，从而PA·PB=0，即（2-x1）（2-x2）+（2-y1）（2-y2）=0.又点A，B均在直线l上，从而利用直线l的方程，可将参数x1，x2，y1，y2统一为仅含参数x1，x2的等式，即4+26k+3k2-（2+2k+3k2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2=0①，最后利用直线与椭圆相交的代数形式，即将直线方程与椭圆方程联立，借助韦达定理利用根与系数的关系即可将x1+x2，x1x2用参数k来表示，进而代入①式得到关于参数k的方程，求出k来.

本题的求解，解题思路自然、明确，思维量不大，主要考查了函数与方程、不等式等重要的代数思想，对运算求解的能力提出了一定的要求.正因如此，使得绝大部分考生拿到考题都倍感“亲切”，但真正做起来又跌跌撞撞，这正体现了高考的人文关怀及以“能力为宗旨”的命题理念，突出了高考试题的选拔功能.

解析几何作为几何学的一个重要组成部分，数形结合思想也是高考试题的一个重要考查.借助图形的直观、形象来分析、挖掘潜藏在题设条件背后的有用信息，可有效地避开思维的盲点、漏洞，快速找准问题的着眼点，形成解题思路.当然“形”的直观还需“数”的辅助，这样“形”才能更入微.正如著名的数学家华罗庚所言“数缺形时不直观，形无数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.如（2014年湖北高考理科卷第21题）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（-2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.

本题第一问求得轨迹C的方程为y2=4x，x≥0，

0，x<；0，在第二问的求解过程中，若仅从方程组解的个数角度去代数分析求解，一不留神就会陷入“山穷水尽疑无路”的局面，但若依题意作其示意图，以形助数，借助图形的直观性来分析求解，将会“豁然开朗”，“柳暗花明”.如图3示，图3当过点P的直线l位于直线l1，l4及直线l2～l3之间（不包括直线l3）时，直线l与轨迹C恰有两个公共点；当直线l位于直线l3及l4～l1之间（直线l4逆时针旋转到l1，且不包括直线l1、l4）时，直线l与轨迹C恰有一个公共点；当直线l位于直线l1～l2之间（不包括直线l1、l2）及直线l3～l4之间（不包括直线l3、l4）时，直线l与轨迹C恰有三个公共点，其中直线l1、l4过点P且与曲线y2=4x相切.设直线l的方程为y-1=k（x+2）（k≠0），联立直线与抛物线方程y-1=k（x+2），

y2=4x，消去x得ky2-4y+4（1+2k）=0，从而Δ=0，得k=12或-1，从而由图可知kl1=-1，kl4=12.又kl2=-12，kl3=0，所以当k∈（-∞，-1）∪12，+∞∪{0}时，直线l与轨迹C恰有一个公共点；当k∈-12，0∪-1，12时，直线l与轨迹C恰有两个公共点；当k∈（-1，-12）∪（0，12）时，直线l与轨迹C恰有三个公共点.

利用图形的直观性，数形结合分析求解，整个过程行云流水，简捷而又实效，充分体现了数形结合思想在试题求解中的作用.3 运算中突出技巧，朴实中彰显能力

解析几何的显著特征就是几何问题代数化，因此代数运算的复杂性，过大的运算量就成了解析几何问题求解的拦路虎，时常困扰着广大考生.如何去突破解析几何试题运算求解中的繁琐性，克服冗长的运算而带来的心理压力？除了要求考生其有过硬的运算求解能力外，必要的运算化简技巧、合理的引进设置参数、适当地表示等量关系、合理的消参可使运算求解更加简约，解题过程更优化，进而大大提高解题的效率.如（2014年北京高考数学理科卷第19题）已知椭圆C：x2+2y2=4. （Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

本题第一问得e=22；第二问要判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，由圆的性质知，只需比较圆心O到直线AB的距离d与半径r=2间的大小关系，为此需先求其直线AB的方程.基于OA⊥OB，因此可设直线OA的方程为y=kx（k≠0），从而直线OB的方程为y=-1kx，于是联立直线OA与椭圆方程即可求其A点坐标（显然点A坐标可用参数k来表示），同理联立直线OB与方程y=2可求其B点坐标，从而利用A、B两点坐标即可将直线AB的方程用参数k来表示，最后利用点到直线的距离公式求其d，并比较d与r=2的大小.该做法理论上是很合情合理的，但真正具体运算起来其过程极其繁琐，原因在于联立直线OA与椭圆方程求其A点坐标时，虽点A坐标可以用参数k来表示，但含有根式，这将为下面直线AB方程的表示及点到直线的距离d的求解带来极大的麻烦，以致整个问题的求解陷入僵局.然而倘若此处利用“设而不求”的解几思想，设A（x0，y0），B（t，2），利用OA⊥OB及点A在椭圆上来建立关于参数x0，y0，t的等量关系式，进而实现参数间的统一，即用参数x0来表示参数y0，t，而后利用点到直线的距离公式求出d（用参数x0来表示），最后比较d与半径r=2的大小，整个问题的求解虽有复杂性，但相对于上述解法可操作性会更强，运算更简捷，解题过程更优化.具体步骤如下：设A（x0，y0），B（t，2），因为OA⊥OB，所以OA·OB=0，即tx0+2y0=0.又kAB=2-y0t-x0，从而直线的方程为y-2=2-y0t-x0（x-t），即（2-y0）x-（t-x0）y-2x0+ty0=0，从而点O到直线AB的距离d=ty0-2x0（2-y0）2+（t-x0）2.由tx0+2y0=0知t=-2y0x0，所以d=2x20+y20x20+4.又点A在椭圆C上，所以x20+2y20=4，得y20=2-x202，从而d=2=r，故直线AB与圆x2+y2=2相切.

该做法除参数的合理设置外，适时的消参是关键，也是难点，朴实之处充分考查了考生的数学能力及数学素养，同时也折射出了高考命题者的智慧.

通过上述对2014年高考解析几何试题的透析，不难发现，试题的设置朴实之中孕育着基础，常规之中彰显能力.作为全国范围内的选拔性考试——高考，其题目的设计是在立足课本的基础上，依照考纲由课本例习题经过改编、引申、嫁接、创新而来，是在立足双基的基础上强化能力的考查，具有较强的甄别功能.而作为高考试题的改革，其力度是稳中求进、难度适宜，逐步深入的.现结合2014年高考解析几何试题的整体特征，对2015年高考复习备考提出以下几点建议，仅作参考.

1.夯实双基，强化能力

高考试题的设计宗旨是着重于基础知识、基本数学思想方法、技能的考查，进而深化对考生自身数学能力及素养的考查.因此在高考解析几何的复习中，一定要依纲靠本，注重基础知识、基本思想方法、基本技能的学习与巩固（如各类不同圆锥曲线的几何性质、曲线上点坐标的合理设置、待定系数法的合理使用，定值、定点问题的常见处理策略等），与之同时，广大教师还应有意识地不断去锻炼与提高学生的各项数学能力与数学素养（如运算求解能力、转化与化归能力、分析处理问题的能力等）.

2.注重数学思想在解析几何学习中的渗透

解析几何的显著特征是将几何问题转化为相应的代数问题来运算求解，因此在复习过程中，要注意一些常见的代数思想在解析几何中的渗透（如方程与函数思想、不等式思想、分类讨论会思想等），这样有助于我们更好地把握几何问题的代数本质.当然，数形结合思想在解析几何中的渗透也不可小视，它可使抽象的问题、隐含的条件更加直观、显突，进而使得我们更好找准思维的起点，寻求突破.

3.加强解析几何中重要结论、公式的学习与提炼

高考试题是命题专家们潜心钻研、精雕细琢而成.许多试题可作进一步的延伸、拓展与变式，其试题的背后往往蕴藏着丰富的内涵，试题的设置常常是在一些重要结论的背景下来命制而成.因此在日常的高考复习备考中，广大师生需有意识地提炼与总结潜藏在一些试题中的重要结论与性质，这样可使我们与命题者站在同一思维高度，高观点下审视高考试题，进而更好地把握问题的内在本质，切中问题要害，使得问题求解起来快捷而又高效.

y2=4x，消去x得ky2-4y+4（1+2k）=0，从而Δ=0，得k=12或-1，从而由图可知kl1=-1，kl4=12.又kl2=-12，kl3=0，所以当k∈（-∞，-1）∪12，+∞∪{0}时，直线l与轨迹C恰有一个公共点；当k∈-12，0∪-1，12时，直线l与轨迹C恰有两个公共点；当k∈（-1，-12）∪（0，12）时，直线l与轨迹C恰有三个公共点.

利用图形的直观性，数形结合分析求解，整个过程行云流水，简捷而又实效，充分体现了数形结合思想在试题求解中的作用.3 运算中突出技巧，朴实中彰显能力

解析几何的显著特征就是几何问题代数化，因此代数运算的复杂性，过大的运算量就成了解析几何问题求解的拦路虎，时常困扰着广大考生.如何去突破解析几何试题运算求解中的繁琐性，克服冗长的运算而带来的心理压力？除了要求考生其有过硬的运算求解能力外，必要的运算化简技巧、合理的引进设置参数、适当地表示等量关系、合理的消参可使运算求解更加简约，解题过程更优化，进而大大提高解题的效率.如（2014年北京高考数学理科卷第19题）已知椭圆C：x2+2y2=4. （Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

本题第一问得e=22；第二问要判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，由圆的性质知，只需比较圆心O到直线AB的距离d与半径r=2间的大小关系，为此需先求其直线AB的方程.基于OA⊥OB，因此可设直线OA的方程为y=kx（k≠0），从而直线OB的方程为y=-1kx，于是联立直线OA与椭圆方程即可求其A点坐标（显然点A坐标可用参数k来表示），同理联立直线OB与方程y=2可求其B点坐标，从而利用A、B两点坐标即可将直线AB的方程用参数k来表示，最后利用点到直线的距离公式求其d，并比较d与r=2的大小.该做法理论上是很合情合理的，但真正具体运算起来其过程极其繁琐，原因在于联立直线OA与椭圆方程求其A点坐标时，虽点A坐标可以用参数k来表示，但含有根式，这将为下面直线AB方程的表示及点到直线的距离d的求解带来极大的麻烦，以致整个问题的求解陷入僵局.然而倘若此处利用“设而不求”的解几思想，设A（x0，y0），B（t，2），利用OA⊥OB及点A在椭圆上来建立关于参数x0，y0，t的等量关系式，进而实现参数间的统一，即用参数x0来表示参数y0，t，而后利用点到直线的距离公式求出d（用参数x0来表示），最后比较d与半径r=2的大小，整个问题的求解虽有复杂性，但相对于上述解法可操作性会更强，运算更简捷，解题过程更优化.具体步骤如下：设A（x0，y0），B（t，2），因为OA⊥OB，所以OA·OB=0，即tx0+2y0=0.又kAB=2-y0t-x0，从而直线的方程为y-2=2-y0t-x0（x-t），即（2-y0）x-（t-x0）y-2x0+ty0=0，从而点O到直线AB的距离d=ty0-2x0（2-y0）2+（t-x0）2.由tx0+2y0=0知t=-2y0x0，所以d=2x20+y20x20+4.又点A在椭圆C上，所以x20+2y20=4，得y20=2-x202，从而d=2=r，故直线AB与圆x2+y2=2相切.

该做法除参数的合理设置外，适时的消参是关键，也是难点，朴实之处充分考查了考生的数学能力及数学素养，同时也折射出了高考命题者的智慧.

通过上述对2014年高考解析几何试题的透析，不难发现，试题的设置朴实之中孕育着基础，常规之中彰显能力.作为全国范围内的选拔性考试——高考，其题目的设计是在立足课本的基础上，依照考纲由课本例习题经过改编、引申、嫁接、创新而来，是在立足双基的基础上强化能力的考查，具有较强的甄别功能.而作为高考试题的改革，其力度是稳中求进、难度适宜，逐步深入的.现结合2014年高考解析几何试题的整体特征，对2015年高考复习备考提出以下几点建议，仅作参考.

1.夯实双基，强化能力

高考试题的设计宗旨是着重于基础知识、基本数学思想方法、技能的考查，进而深化对考生自身数学能力及素养的考查.因此在高考解析几何的复习中，一定要依纲靠本，注重基础知识、基本思想方法、基本技能的学习与巩固（如各类不同圆锥曲线的几何性质、曲线上点坐标的合理设置、待定系数法的合理使用，定值、定点问题的常见处理策略等），与之同时，广大教师还应有意识地不断去锻炼与提高学生的各项数学能力与数学素养（如运算求解能力、转化与化归能力、分析处理问题的能力等）.

2.注重数学思想在解析几何学习中的渗透

解析几何的显著特征是将几何问题转化为相应的代数问题来运算求解，因此在复习过程中，要注意一些常见的代数思想在解析几何中的渗透（如方程与函数思想、不等式思想、分类讨论会思想等），这样有助于我们更好地把握几何问题的代数本质.当然，数形结合思想在解析几何中的渗透也不可小视，它可使抽象的问题、隐含的条件更加直观、显突，进而使得我们更好找准思维的起点，寻求突破.

3.加强解析几何中重要结论、公式的学习与提炼

高考试题是命题专家们潜心钻研、精雕细琢而成.许多试题可作进一步的延伸、拓展与变式，其试题的背后往往蕴藏着丰富的内涵，试题的设置常常是在一些重要结论的背景下来命制而成.因此在日常的高考复习备考中，广大师生需有意识地提炼与总结潜藏在一些试题中的重要结论与性质，这样可使我们与命题者站在同一思维高度，高观点下审视高考试题，进而更好地把握问题的内在本质，切中问题要害，使得问题求解起来快捷而又高效.

y2=4x，消去x得ky2-4y+4（1+2k）=0，从而Δ=0，得k=12或-1，从而由图可知kl1=-1，kl4=12.又kl2=-12，kl3=0，所以当k∈（-∞，-1）∪12，+∞∪{0}时，直线l与轨迹C恰有一个公共点；当k∈-12，0∪-1，12时，直线l与轨迹C恰有两个公共点；当k∈（-1，-12）∪（0，12）时，直线l与轨迹C恰有三个公共点.

利用图形的直观性，数形结合分析求解，整个过程行云流水，简捷而又实效，充分体现了数形结合思想在试题求解中的作用.3 运算中突出技巧，朴实中彰显能力

解析几何的显著特征就是几何问题代数化，因此代数运算的复杂性，过大的运算量就成了解析几何问题求解的拦路虎，时常困扰着广大考生.如何去突破解析几何试题运算求解中的繁琐性，克服冗长的运算而带来的心理压力？除了要求考生其有过硬的运算求解能力外，必要的运算化简技巧、合理的引进设置参数、适当地表示等量关系、合理的消参可使运算求解更加简约，解题过程更优化，进而大大提高解题的效率.如（2014年北京高考数学理科卷第19题）已知椭圆C：x2+2y2=4. （Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

本题第一问得e=22；第二问要判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，由圆的性质知，只需比较圆心O到直线AB的距离d与半径r=2间的大小关系，为此需先求其直线AB的方程.基于OA⊥OB，因此可设直线OA的方程为y=kx（k≠0），从而直线OB的方程为y=-1kx，于是联立直线OA与椭圆方程即可求其A点坐标（显然点A坐标可用参数k来表示），同理联立直线OB与方程y=2可求其B点坐标，从而利用A、B两点坐标即可将直线AB的方程用参数k来表示，最后利用点到直线的距离公式求其d，并比较d与r=2的大小.该做法理论上是很合情合理的，但真正具体运算起来其过程极其繁琐，原因在于联立直线OA与椭圆方程求其A点坐标时，虽点A坐标可以用参数k来表示，但含有根式，这将为下面直线AB方程的表示及点到直线的距离d的求解带来极大的麻烦，以致整个问题的求解陷入僵局.然而倘若此处利用“设而不求”的解几思想，设A（x0，y0），B（t，2），利用OA⊥OB及点A在椭圆上来建立关于参数x0，y0，t的等量关系式，进而实现参数间的统一，即用参数x0来表示参数y0，t，而后利用点到直线的距离公式求出d（用参数x0来表示），最后比较d与半径r=2的大小，整个问题的求解虽有复杂性，但相对于上述解法可操作性会更强，运算更简捷，解题过程更优化.具体步骤如下：设A（x0，y0），B（t，2），因为OA⊥OB，所以OA·OB=0，即tx0+2y0=0.又kAB=2-y0t-x0，从而直线的方程为y-2=2-y0t-x0（x-t），即（2-y0）x-（t-x0）y-2x0+ty0=0，从而点O到直线AB的距离d=ty0-2x0（2-y0）2+（t-x0）2.由tx0+2y0=0知t=-2y0x0，所以d=2x20+y20x20+4.又点A在椭圆C上，所以x20+2y20=4，得y20=2-x202，从而d=2=r，故直线AB与圆x2+y2=2相切.

该做法除参数的合理设置外，适时的消参是关键，也是难点，朴实之处充分考查了考生的数学能力及数学素养，同时也折射出了高考命题者的智慧.

通过上述对2014年高考解析几何试题的透析，不难发现，试题的设置朴实之中孕育着基础，常规之中彰显能力.作为全国范围内的选拔性考试——高考，其题目的设计是在立足课本的基础上，依照考纲由课本例习题经过改编、引申、嫁接、创新而来，是在立足双基的基础上强化能力的考查，具有较强的甄别功能.而作为高考试题的改革，其力度是稳中求进、难度适宜，逐步深入的.现结合2014年高考解析几何试题的整体特征，对2015年高考复习备考提出以下几点建议，仅作参考.

1.夯实双基，强化能力

高考试题的设计宗旨是着重于基础知识、基本数学思想方法、技能的考查，进而深化对考生自身数学能力及素养的考查.因此在高考解析几何的复习中，一定要依纲靠本，注重基础知识、基本思想方法、基本技能的学习与巩固（如各类不同圆锥曲线的几何性质、曲线上点坐标的合理设置、待定系数法的合理使用，定值、定点问题的常见处理策略等），与之同时，广大教师还应有意识地不断去锻炼与提高学生的各项数学能力与数学素养（如运算求解能力、转化与化归能力、分析处理问题的能力等）.

2.注重数学思想在解析几何学习中的渗透

解析几何的显著特征是将几何问题转化为相应的代数问题来运算求解，因此在复习过程中，要注意一些常见的代数思想在解析几何中的渗透（如方程与函数思想、不等式思想、分类讨论会思想等），这样有助于我们更好地把握几何问题的代数本质.当然，数形结合思想在解析几何中的渗透也不可小视，它可使抽象的问题、隐含的条件更加直观、显突，进而使得我们更好找准思维的起点，寻求突破.

3.加强解析几何中重要结论、公式的学习与提炼

高考试题是命题专家们潜心钻研、精雕细琢而成.许多试题可作进一步的延伸、拓展与变式，其试题的背后往往蕴藏着丰富的内涵，试题的设置常常是在一些重要结论的背景下来命制而成.因此在日常的高考复习备考中，广大师生需有意识地提炼与总结潜藏在一些试题中的重要结论与性质，这样可使我们与命题者站在同一思维高度，高观点下审视高考试题，进而更好地把握问题的内在本质，切中问题要害，使得问题求解起来快捷而又高效.