高三数学复习用好教材的三步曲

教材是高考试题的主要来源，重视教材的基础性和示范性，是高考命题的方向.纵观目前高三数学复习的状况，基本采用“三轮复习法”，第一轮基础知识和基本技能复习，第二轮是专题复习，第三轮是综合模拟练习.以上三轮复习基本上没有用到教材，有的教师认为教材简单没有什么好讲，学生也觉得没什么题好做，事实上，很多教师和学生并不是不重视教材，而是不知道如何使用教材.本人结合自己多年从事高三数学教学的体会，谈谈高三数学复习用好教材的三步曲，供参考.

1 将教材呈现的知识形成知识网络

教师要认真钻研教材，用好教材，将教材呈现的知识构建知识网络.需要注意的是，回归教材并不等于简单重复，而是要站在整体高度审视教材，做到层次分明，结构清晰，让不同领域的知识交汇成为系统.如教材中基本初等函数、导数及其应用是以单独的版块呈现在必修1，选修2-2，但有其内在联系，因此，在复习时将分散在教材中的知识构建知识网络.

利用教材梳理知识要防止走形式，要注意展示知识发生、发展过程，一方面帮助学生查漏补缺，另一方面为学生构建牢固的知识网络，使相关知识在解决数学问题时被有效调用.比如：复习空间垂直位置关系，可以先让学生回顾教材有关知识点，尔后形成知识链条：直线与直线垂直（定义、判定、性质）→直线与平面垂直（定义、判定、性质）→平面与平面垂直（定义、判定、性质）.

感悟由线线垂直到线面垂直，再到面面垂直的知识发展过程，以及三种垂直关系之间蕴含的结构联系，从而使学生清晰地认识到：欲证面面垂直需找线面垂直，欲证线面垂直需找线线垂直.这种完整的知识网络，具有牵一发而动全身的效能，使得大脑的信息容易被具体情境激活.2 将教材中的特例推广为一般结论

挖掘教材中典型例习题的潜在价值，就是将其推广到一般情形，而得到用途较广的定理、公式，形成相对固定的解题方法，使得一些高考题迎刃而解.当然，我们不能直接将这些“结论和方法”强加给学生，而是引导学生进行探究性学习，从而自然得出“结论和方法”.

比如，（人教高中《数学》A版选修2-1第41页例3）设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-49，求点M的轨迹方程.

高二上新课时已经讲过这道题，因此，在高三复习时，教师首先提出问题1：设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-b2a2（a>；0，b>；0），求点M的轨迹方程.当学生得到轨迹方程为x2a2+y2b2=1（x≠±a）后，再请学生探究问题2：设点A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）上关于坐标原点O的对称两点，点M在椭圆上且异于点A，B，记直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？

引导学生探究：由题意可设点A（x1，y1），B（-x1，-y1），M（x0，y0），则k1k2=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21，因为点A，B，M在椭圆上，所以x21a2+y21b2=1 ① x20a2+y20b2=1 ②，①-②并化简得：y20-y21x20-x21=-b2a2，则k1k2=-b2a2为定值.对于双曲线有类似结论.

总结得定理1：设点A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）上关于坐标原点O的对称两点，点M在椭圆上且异于点A，B，记直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-b2a2.

例1 （2011年高考数学江苏卷第18题）在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）对任意k>；0，求证：PA⊥PB.

证明 由题意可设点P（x0，y0），A（-x0，-y0），B（x1，y1）.记直线BA，BP的斜率分别为k1，k2，由定理1得k1k2=-12，因为点C（x0，0），所以k1=y02x0，则k2=-x0y0，又k=y0x0，故kk2=-1，从而PA⊥PB.

又如，利用课本介绍的“点差法”很容易得到定理2：直线PQ与椭圆x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）相交于P，Q两点，线段PQ中点为A，O为坐标原点，记直线PQ，OA的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-b2a2，对于双曲线有类似结论.

例2 （2014年高考数学江西卷理科第15题）过点M（1，1）作斜率为-12的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 .

解 由题意得直线OM的斜率kOM=1，又直线AB的斜率为-12，则由定理2得1×（-12）=-b2a2，即a2=2b2=2a2-2c2，则a2=2c2，故椭圆离心率e=22.

对于选择题和填空题，我们所得到的“结论和方法”可以直接使用，对于解答题，不宜直接使用，而应把定理推导重写一遍，既使这样也比常规方法简单的多.教学实践证明，对教材中一些典型例题和习题的结论进行推广，既可以培养学生的探究能力，又可以提高学生高考数学成绩.3 将通法提升为思想方法

提升学生解题能力是高三数学复习的重要任务，当前，中学所流行的做法是让学生做大量的练习题，企图用题海战术来提升学生解题能力.多年高考实践表明，平时练过多次的题目，高考只要稍有改造，由于学生没有把握该题型的数学本质，还是败下阵来.因此，题海战术是不可取的.正确的做法是将教材中解决一类问题的常规做法即通法，提升为数学思想方法，学生就可以用数学思想方法解决各种数学问题，真正做到以不变应万变.比如，解答绝对值问题的常用方法就是要分类讨论去掉绝对值符号，再根据题目的其它条件继续解题.

例3 （2014年高考数学浙江卷理科第22题）已知函数fx=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.

解 对于第（Ⅰ）问，由于函数fx含有绝对值，就必须分类讨论去掉绝对值，得分段函数，再求fx在-1，1上的最大值和最小值.对第（Ⅱ）问只要利用第（Ⅰ）问求出的M（a），m（a），问题就迎刃而解了.

（Ⅰ）当a≤-1时，f（x）=x3+3x-3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2+3>；0，所以f（x）是[-1，1]上的增函数，则M（a）=4-3a，m（a）=-4-3a，故M（a）-m（a）=8.

当a≥1时，f（x）=x3-3x+3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）≤0，所以f（x）是[-1，1]上的减函数，则M（a）=2+3a，m（a）=-2+3a，故M（a）-m（a）=4.

当-1<；a<；1时，f（x）=x3+3x-3a，a≤x≤1，

x3-3x+3a，-1≤x≤a.由此可知，f（x）是[a，1]上的增函数，且在[a，1]上的最大值为4-3a，最小值为a3；f（x）是[-1，a]上的减函数，且在[-1，a]上的最大值为2+3a，最小值为a3；则当-1<；a≤13时，M（a）=4-3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3-3a+4.

当13<；a≤1时，M（a）=2+3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3+3a+2.综上得：

M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1<；a≤13，

-a3+3a+2，13<；a<；1，

4，a≥1.

（Ⅱ）若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立-2≤f（x）+b≤2对x∈[-1，1]恒成立M（a）+b≤2，

m（a）+b≥-2.于是根据（Ⅰ）所求出的M（a），m（a），并结合有关知识易得3a+b的取值范围是[-2，0].

可以看出，即使是高考压轴题，用的也是课本中出现的通性通法，因此，一些最基本的解题策略在高三复习时应高度重视，并通过课本例题和习题的改造、引申、拓展的教学，使通法提升为思想方法，学生一旦掌握了数学方法，形成了数学思想，提升了数学能力，那么高考数学一定能取得好成绩.

作者简介 郭胜光，男，1963年9月生，福建邵武人，中学高级教师，全国模范教师，福建省特级教师，福建省中学数学教学学科带头人.主要从事数学教育、中学数学以及高考命题研究.多篇论文在数学杂志发表，多篇论文被人民大学《高中数学与教学》复印并全文转载.

例3 （2014年高考数学浙江卷理科第22题）已知函数fx=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.

解 对于第（Ⅰ）问，由于函数fx含有绝对值，就必须分类讨论去掉绝对值，得分段函数，再求fx在-1，1上的最大值和最小值.对第（Ⅱ）问只要利用第（Ⅰ）问求出的M（a），m（a），问题就迎刃而解了.

（Ⅰ）当a≤-1时，f（x）=x3+3x-3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2+3>；0，所以f（x）是[-1，1]上的增函数，则M（a）=4-3a，m（a）=-4-3a，故M（a）-m（a）=8.

当a≥1时，f（x）=x3-3x+3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）≤0，所以f（x）是[-1，1]上的减函数，则M（a）=2+3a，m（a）=-2+3a，故M（a）-m（a）=4.

当-1<；a<；1时，f（x）=x3+3x-3a，a≤x≤1，

x3-3x+3a，-1≤x≤a.由此可知，f（x）是[a，1]上的增函数，且在[a，1]上的最大值为4-3a，最小值为a3；f（x）是[-1，a]上的减函数，且在[-1，a]上的最大值为2+3a，最小值为a3；则当-1<；a≤13时，M（a）=4-3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3-3a+4.

当13<；a≤1时，M（a）=2+3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3+3a+2.综上得：

M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1<；a≤13，

-a3+3a+2，13<；a<；1，

4，a≥1.

（Ⅱ）若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立-2≤f（x）+b≤2对x∈[-1，1]恒成立M（a）+b≤2，

m（a）+b≥-2.于是根据（Ⅰ）所求出的M（a），m（a），并结合有关知识易得3a+b的取值范围是[-2，0].

可以看出，即使是高考压轴题，用的也是课本中出现的通性通法，因此，一些最基本的解题策略在高三复习时应高度重视，并通过课本例题和习题的改造、引申、拓展的教学，使通法提升为思想方法，学生一旦掌握了数学方法，形成了数学思想，提升了数学能力，那么高考数学一定能取得好成绩.

作者简介 郭胜光，男，1963年9月生，福建邵武人，中学高级教师，全国模范教师，福建省特级教师，福建省中学数学教学学科带头人.主要从事数学教育、中学数学以及高考命题研究.多篇论文在数学杂志发表，多篇论文被人民大学《高中数学与教学》复印并全文转载.

例3 （2014年高考数学浙江卷理科第22题）已知函数fx=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.

解 对于第（Ⅰ）问，由于函数fx含有绝对值，就必须分类讨论去掉绝对值，得分段函数，再求fx在-1，1上的最大值和最小值.对第（Ⅱ）问只要利用第（Ⅰ）问求出的M（a），m（a），问题就迎刃而解了.

（Ⅰ）当a≤-1时，f（x）=x3+3x-3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2+3>；0，所以f（x）是[-1，1]上的增函数，则M（a）=4-3a，m（a）=-4-3a，故M（a）-m（a）=8.

当a≥1时，f（x）=x3-3x+3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）≤0，所以f（x）是[-1，1]上的减函数，则M（a）=2+3a，m（a）=-2+3a，故M（a）-m（a）=4.

当-1<；a<；1时，f（x）=x3+3x-3a，a≤x≤1，

x3-3x+3a，-1≤x≤a.由此可知，f（x）是[a，1]上的增函数，且在[a，1]上的最大值为4-3a，最小值为a3；f（x）是[-1，a]上的减函数，且在[-1，a]上的最大值为2+3a，最小值为a3；则当-1<；a≤13时，M（a）=4-3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3-3a+4.

当13<；a≤1时，M（a）=2+3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3+3a+2.综上得：

M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1<；a≤13，

-a3+3a+2，13<；a<；1，

4，a≥1.

（Ⅱ）若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立-2≤f（x）+b≤2对x∈[-1，1]恒成立M（a）+b≤2，

m（a）+b≥-2.于是根据（Ⅰ）所求出的M（a），m（a），并结合有关知识易得3a+b的取值范围是[-2，0].

可以看出，即使是高考压轴题，用的也是课本中出现的通性通法，因此，一些最基本的解题策略在高三复习时应高度重视，并通过课本例题和习题的改造、引申、拓展的教学，使通法提升为思想方法，学生一旦掌握了数学方法，形成了数学思想，提升了数学能力，那么高考数学一定能取得好成绩.

作者简介 郭胜光，男，1963年9月生，福建邵武人，中学高级教师，全国模范教师，福建省特级教师，福建省中学数学教学学科带头人.主要从事数学教育、中学数学以及高考命题研究.多篇论文在数学杂志发表，多篇论文被人民大学《高中数学与教学》复印并全文转载.