解题过程的正确性源于数学理解的准确性
2014-11-29刘希栋
刘希栋
在解决含x型的问题时，将数学式子两边平方是常见的一个变形，但由于“a=b”与“a2=b2”不等价，因此关注变形前后数学式子的等价性往往都引起师生的关注，但教学实践中发现，如何准确把握其中的等价性，师生在行为方面常常落后于意识方面（宏观层面）的情况时有发生，究其原因，不难发现，关键在于没有精准弄清这种变形中造成等价性的具体所在（微观层面），而这正是教学应关注之处.本文拟对发生在高中教学实践与研究中的几个问题加以解析，以期对“等价性”教学有所帮助.1 教师的困惑
对于问题“若直线y=x+b与曲线y=1-x2有且仅有两个公共点，则实数b的取值范围是（ ）.
A.（-2，2） B.[1，2）
C.[1，2]D.（-1，1）”正确答案B.
文[1]对下面的解法感到困惑：
“直线y=x+b与曲线y=1-x2有且仅有两个公共点方程组y=x+b，
y=1-x2，有两个不同实数解方程x+b=1-x2有两个不同实数解方程2x2+2bx+b2-1=0在[-1，1]内有两个不同的解，令f（x）=2x2+2bx+b2-1，则问题就转化为函数f（x）的图象在[-1，1]内与x轴有两个交点，结合图象知：
Δ=（2b）2-4×2×（b2-1）>；0，
-1<；b2<；1，
f（-1）≥0，
f（1）≥0，-2<；b<；2，
-2<；b<；2，
b∈R，
b∈R，-2<；b<；2，应选A.”
解析 将x+b=1-x2“两边平方”，谁的取值范围会变化？唯有x+b，故上述解题中“方程x+b=1-x2有两个不同的实数解方程2x2+2bx+b2-1=0在[-1，1]内有两个不同的解”这一步是错的，应该是：
“方程x+b=1-x2有两个不同的实数解”“x+b≥0，
2x2+2bx+b2-1=0，有两个不同的解”，即2x2+2bx+b2-1=0在[-b，+∞）内有两个不同的解.
这样可令f（x）=2x2+2bx+b2-1，将问题转化为函数f（x）的图象在[-b，+∞）内与x轴有两个不同的交点，结合图形知：
Δ=（2b）2-4×2×（b2-1）>；0，
-b2>；-b，
f（-b）≥0，得-2<；b<；2，
b>；0，
b≥1或b≤-1，，故1≤b<；2，选B.
需要说明的是：方程2x2+2bx+b2-1=0，即（x+b）2=1-x2，只要该方程有两个不同的实数解，由于自身隐含1-x2=（x+b）2≥0，其解必都在[-1，1]内，刻意标注“两个实数解都在[-1，1]内”，既会干扰，又是多余.在解题过程中，方程变形的这一步（x+b）2=1-x2不要省去.其次，方程两边平方导致x+b=1-x2与2x2+2bx+b2-1=0不等价，务必注意一定利用x+b≥0这一限制因素.2 学生的不足
文[2]从不同途径，活用解题理论，研究问题（2011年全国高中数学联赛第2题）函数y=x2+1x-1的值域.片断如下：
“拟定计划：
教师：函数与方程有着紧密的联系，能否对此提出你的思考？
学生：以前我们经常将分式函数值域问题转化为一元二次方程有解的问题，用判别式法解决，本题平方后未知数的次数正好是二次，我觉得可以试一试.
实现计划：
学生：y=x2+1x-1等价于y（x-1）=x2+1，
x≠1，
y（x-1）≥1.
第一个式子两边平方整理得（y2-1）x2-2y2x+y2-1=0，若y2-1=0，则x=0，此时，y=-1成立；若y2-1≠0，则Δ≥0，即4y4-4（y2-1）2≥0，得y≤-22或y≥22.检验：当x<；1时，y<；0；当x>；1时，y>；1.
所以函数的值域为（-∞，-22]∪（1，+∞）.
解题回顾与解题感受：
学生：上述求解是将函数转化为方程，但要特别注意变形前后的限制范围，否则问题可能不等价，因此学习过程中我们必须养成细心谨慎的习惯.”
解析 从“y=x2+1x-1等价于y（x-1）=x2+1，
x≠1，
y（x-1）≥1.”变形中可以看出学生对等价变形谨慎有余，这一步变形是去分母，应该是：y=x2+1x-1等价于y（x-1）=x2+1，
x≠1.，注意到x2+1≥1，也就是y=x2+1x-1等价于y（x-1）=x2+1，平方后等价变形为（y2-1）x2-2y2x+y2-1=0，
y（x-1）≥0.
即“存在x满足y2-1=0，
（y2-1）x2-2y2x+y2-1=0，
y（x-1）≥0. 或y2-1≠0，
（y2-1）x2-2y2x+y2-1=0，
y（x-1）≥0.”
前者解得x=0，y=-1；后者为y2-1≠0，
Δ=8y2-4≥0，
y·1+2y2-12（y2-1）≥0或y·1-2y2-12（y2-1）≥0.
注意到y·1-2y2-12（y2-1）=-y1+2y2-1，解得y>；1或y≤-22且y≠-1.
综上可得y的取值范围是（-∞，-22]∪（1，+∞），此即函数的值域.
学生“检验”阶段可以理解为依据原始式子y=x2+1x-1，但显得粗糙不足.
3 滑过的教学
文[3]中用“利用方程有解条件法”求函数值域，引发学生创新，主观意识是值得肯定的，但例6解题“过程”留下遗憾，摘录如下：
“例6求函数y=4-x+2x-4的值域.
解：此函数定义域是2≤x≤4，设t=4-x，则x=4-t2（0≤t≤2），
原函数式可化为y=t+4-2t2（0≤t≤2），视为关于t的方程，它等价于（y-t）2=4-2t2，
y-t≥0，
0≤t≤2.①即3t2-2yt+y2-4=0，
y-t≥0，
0≤t≤2.②
设f（t）=3t2-2yt+y2-4，其对称轴为t=y3，关于t的方程②在[0，2]上有解的充要条件是
Δ=4y2-12（y2-4）≥0，
0<；y3<；2，
f（0）=y2-4≥0.③或4y2-12（y2-4）≥0，
0<；y3<；2，
f（2）=y2-22y+2≥0.④
解得2≤y≤6.所求函数的值域为[2，6]”.
解析 上述所求值域的结论是正确的，但过程错了.错在认为“关于t的方程②在[0，2]上有解的充要条件是③或④”.
实际上，上述不等式组求解的情况是这样的，由③可得2≤y≤6，由④可得0<；y≤6，故③与④的并集是（0，6].
认为本题中对称轴t=y3应该位于区间[0，2]是导致错误产生的原因之一.其实，研究方程②在[0，2]上有解的充要条件必须解决好y-t≥0这个问题.这也是本题用“利用方程有解条件法”求值域关键所在.
正确解法 方程②在[0，2]上有解的充要条件是（Δ=48-8y2≥0时先用求根公式解方程求出t）：
0≤y+12-2y23≤2，
y≥y+12-2y23.⑤或0≤y-12-2y23≤2，
y≥y-12-2y23.⑥
解⑤时，可先解y≥y+12-2y23，进而求得2≤y≤6，
解⑥时，可先解0≤y-12-2y23≤2，进而求得2≤y≤6.
⑤与⑥的并集是[2，6]，所求函数的值域为[2，6].
结语 诚如文[2]所言：数学教学是一个既要“结果”，更要“过程”的思维活动，数学解题要从引导学生主动拟定解题方案开始，独立思考，自主实践，合作交流，探究问题的解答”.发现并矫正解题过程中的错误，是一种深刻的思想教育和行为规范，有利于培养学生数学思维的严谨性，提高学生参与的积极性，同时让学生体验数学学习的“快乐”.
参考文献
[1]汪仁林.争鸣·问题225[J].数学通讯，2013（05，下）。
[2]李红春.活用解题理论打造高效课堂[J].中学数学（高中版），2014（4）。
[3]蔡永明.在求函数值域的教学中引发学生创新[J].中学数学教学，2001（1）.
3 滑过的教学
文[3]中用“利用方程有解条件法”求函数值域，引发学生创新，主观意识是值得肯定的，但例6解题“过程”留下遗憾，摘录如下：
“例6求函数y=4-x+2x-4的值域.
解：此函数定义域是2≤x≤4，设t=4-x，则x=4-t2（0≤t≤2），
原函数式可化为y=t+4-2t2（0≤t≤2），视为关于t的方程，它等价于（y-t）2=4-2t2，
y-t≥0，
0≤t≤2.①即3t2-2yt+y2-4=0，
y-t≥0，
0≤t≤2.②
设f（t）=3t2-2yt+y2-4，其对称轴为t=y3，关于t的方程②在[0，2]上有解的充要条件是
Δ=4y2-12（y2-4）≥0，
0<；y3<；2，
f（0）=y2-4≥0.③或4y2-12（y2-4）≥0，
0<；y3<；2，
f（2）=y2-22y+2≥0.④
解得2≤y≤6.所求函数的值域为[2，6]”.
解析 上述所求值域的结论是正确的，但过程错了.错在认为“关于t的方程②在[0，2]上有解的充要条件是③或④”.
实际上，上述不等式组求解的情况是这样的，由③可得2≤y≤6，由④可得0<；y≤6，故③与④的并集是（0，6].
认为本题中对称轴t=y3应该位于区间[0，2]是导致错误产生的原因之一.其实，研究方程②在[0，2]上有解的充要条件必须解决好y-t≥0这个问题.这也是本题用“利用方程有解条件法”求值域关键所在.
正确解法 方程②在[0，2]上有解的充要条件是（Δ=48-8y2≥0时先用求根公式解方程求出t）：
0≤y+12-2y23≤2，
y≥y+12-2y23.⑤或0≤y-12-2y23≤2，
y≥y-12-2y23.⑥
解⑤时，可先解y≥y+12-2y23，进而求得2≤y≤6，
解⑥时，可先解0≤y-12-2y23≤2，进而求得2≤y≤6.
⑤与⑥的并集是[2，6]，所求函数的值域为[2，6].
结语 诚如文[2]所言：数学教学是一个既要“结果”，更要“过程”的思维活动，数学解题要从引导学生主动拟定解题方案开始，独立思考，自主实践，合作交流，探究问题的解答”.发现并矫正解题过程中的错误，是一种深刻的思想教育和行为规范，有利于培养学生数学思维的严谨性，提高学生参与的积极性，同时让学生体验数学学习的“快乐”.
参考文献
[1]汪仁林.争鸣·问题225[J].数学通讯，2013（05，下）。
[2]李红春.活用解题理论打造高效课堂[J].中学数学（高中版），2014（4）。
[3]蔡永明.在求函数值域的教学中引发学生创新[J].中学数学教学，2001（1）.
3 滑过的教学
文[3]中用“利用方程有解条件法”求函数值域，引发学生创新，主观意识是值得肯定的，但例6解题“过程”留下遗憾，摘录如下：
“例6求函数y=4-x+2x-4的值域.
解：此函数定义域是2≤x≤4，设t=4-x，则x=4-t2（0≤t≤2），
原函数式可化为y=t+4-2t2（0≤t≤2），视为关于t的方程，它等价于（y-t）2=4-2t2，
y-t≥0，
0≤t≤2.①即3t2-2yt+y2-4=0，
y-t≥0，
0≤t≤2.②
设f（t）=3t2-2yt+y2-4，其对称轴为t=y3，关于t的方程②在[0，2]上有解的充要条件是
Δ=4y2-12（y2-4）≥0，
0<；y3<；2，
f（0）=y2-4≥0.③或4y2-12（y2-4）≥0，
0<；y3<；2，
f（2）=y2-22y+2≥0.④
解得2≤y≤6.所求函数的值域为[2，6]”.
解析 上述所求值域的结论是正确的，但过程错了.错在认为“关于t的方程②在[0，2]上有解的充要条件是③或④”.
实际上，上述不等式组求解的情况是这样的，由③可得2≤y≤6，由④可得0<；y≤6，故③与④的并集是（0，6].
认为本题中对称轴t=y3应该位于区间[0，2]是导致错误产生的原因之一.其实，研究方程②在[0，2]上有解的充要条件必须解决好y-t≥0这个问题.这也是本题用“利用方程有解条件法”求值域关键所在.
正确解法 方程②在[0，2]上有解的充要条件是（Δ=48-8y2≥0时先用求根公式解方程求出t）：
0≤y+12-2y23≤2，
y≥y+12-2y23.⑤或0≤y-12-2y23≤2，
y≥y-12-2y23.⑥
解⑤时，可先解y≥y+12-2y23，进而求得2≤y≤6，
解⑥时，可先解0≤y-12-2y23≤2，进而求得2≤y≤6.
⑤与⑥的并集是[2，6]，所求函数的值域为[2，6].
结语 诚如文[2]所言：数学教学是一个既要“结果”，更要“过程”的思维活动，数学解题要从引导学生主动拟定解题方案开始，独立思考，自主实践，合作交流，探究问题的解答”.发现并矫正解题过程中的错误，是一种深刻的思想教育和行为规范，有利于培养学生数学思维的严谨性，提高学生参与的积极性，同时让学生体验数学学习的“快乐”.
参考文献
[1]汪仁林.争鸣·问题225[J].数学通讯，2013（05，下）。
[2]李红春.活用解题理论打造高效课堂[J].中学数学（高中版），2014（4）。
[3]蔡永明.在求函数值域的教学中引发学生创新[J].中学数学教学，2001（1）.
