一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的再推广

马占山+葛建华

赛题 正实数a，b，c满足abc=1，求证：

1a5（b+2c）2+1b5（c+2a）2+1c5（a+2b）2≥13.

这是2010年美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的第2题，文[1]将这道试题推广为

推广1 正实数a，b，c满足abc=1，0<λ≤2，则1a5（b+λc）2+1b5（c+λa）2+1c5（a+λb）2≥1-2+2λ9.

笔者认为这个推广有一定的局限性，一是λ的取值范围太小，二是不等式的右边不够简洁优美，笔者经过思考研究以后得到一个更加理想的推广，即

推广2 正实数a，b，c满足abc=1，0≤λ，n≥4，则1an（b+λc）2+1bn（c+λa）2+1cn（a+λb）2≥3（1+λ）2.

证明 由权方和不等式可知

1an（b+λc）2+1bn（c+λa）2+1cn（a+λb）2=（bc）n（b+λc）2+（ac）n（c+λa）2+（ab）n（a+λb）2≥（∑bn3cn3）3（1+λ）2（∑a）2≥27（∑bc3）n（1+λ）2（∑a）2=33-n（∑bc）n（1+λ）2（∑a）2.

注意到（∑bc）4=[（1a+1b+1c）2]2≥3（1ab+1bc+1ac）2=[3（a+b+c）]2

=9（a+b+c）2.

所以33-n（∑bc）n（1+λ）2（∑a）2=33-n[（∑bc）4]n4（1+λ）2（∑a）2≥33-n[9（a+b+c）2]n4（1+λ）2（∑a）2=33-n2（a+b+c）n2（1+λ）2（∑a）2≥33-n2（a+b+c）n2-2（1+λ）2≥33-n2×3n2-2（1+λ）2=3（1+λ）2.

当且仅当a=b=c=1时取到等号.

参考文献

[1] 庞耀辉.一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的推广[J].数学教学，2013（6）（下半月）.作者简介 马占山，男，1968年生，中学高级教师.主要研究不等式和平面几何，已有近40篇文章在中学核心期刊发表.

赛题 正实数a，b，c满足abc=1，求证：

1a5（b+2c）2+1b5（c+2a）2+1c5（a+2b）2≥13.

这是2010年美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的第2题，文[1]将这道试题推广为

推广1 正实数a，b，c满足abc=1，0<λ≤2，则1a5（b+λc）2+1b5（c+λa）2+1c5（a+λb）2≥1-2+2λ9.

笔者认为这个推广有一定的局限性，一是λ的取值范围太小，二是不等式的右边不够简洁优美，笔者经过思考研究以后得到一个更加理想的推广，即

推广2 正实数a，b，c满足abc=1，0≤λ，n≥4，则1an（b+λc）2+1bn（c+λa）2+1cn（a+λb）2≥3（1+λ）2.

证明 由权方和不等式可知

1an（b+λc）2+1bn（c+λa）2+1cn（a+λb）2=（bc）n（b+λc）2+（ac）n（c+λa）2+（ab）n（a+λb）2≥（∑bn3cn3）3（1+λ）2（∑a）2≥27（∑bc3）n（1+λ）2（∑a）2=33-n（∑bc）n（1+λ）2（∑a）2.

注意到（∑bc）4=[（1a+1b+1c）2]2≥3（1ab+1bc+1ac）2=[3（a+b+c）]2

=9（a+b+c）2.

所以33-n（∑bc）n（1+λ）2（∑a）2=33-n[（∑bc）4]n4（1+λ）2（∑a）2≥33-n[9（a+b+c）2]n4（1+λ）2（∑a）2=33-n2（a+b+c）n2（1+λ）2（∑a）2≥33-n2（a+b+c）n2-2（1+λ）2≥33-n2×3n2-2（1+λ）2=3（1+λ）2.

当且仅当a=b=c=1时取到等号.

参考文献

[1] 庞耀辉.一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的推广[J].数学教学，2013（6）（下半月）.作者简介 马占山，男，1968年生，中学高级教师.主要研究不等式和平面几何，已有近40篇文章在中学核心期刊发表.

赛题 正实数a，b，c满足abc=1，求证：

1a5（b+2c）2+1b5（c+2a）2+1c5（a+2b）2≥13.

这是2010年美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的第2题，文[1]将这道试题推广为

推广1 正实数a，b，c满足abc=1，0<λ≤2，则1a5（b+λc）2+1b5（c+λa）2+1c5（a+λb）2≥1-2+2λ9.

笔者认为这个推广有一定的局限性，一是λ的取值范围太小，二是不等式的右边不够简洁优美，笔者经过思考研究以后得到一个更加理想的推广，即

推广2 正实数a，b，c满足abc=1，0≤λ，n≥4，则1an（b+λc）2+1bn（c+λa）2+1cn（a+λb）2≥3（1+λ）2.

证明 由权方和不等式可知

1an（b+λc）2+1bn（c+λa）2+1cn（a+λb）2=（bc）n（b+λc）2+（ac）n（c+λa）2+（ab）n（a+λb）2≥（∑bn3cn3）3（1+λ）2（∑a）2≥27（∑bc3）n（1+λ）2（∑a）2=33-n（∑bc）n（1+λ）2（∑a）2.

注意到（∑bc）4=[（1a+1b+1c）2]2≥3（1ab+1bc+1ac）2=[3（a+b+c）]2

=9（a+b+c）2.

所以33-n（∑bc）n（1+λ）2（∑a）2=33-n[（∑bc）4]n4（1+λ）2（∑a）2≥33-n[9（a+b+c）2]n4（1+λ）2（∑a）2=33-n2（a+b+c）n2（1+λ）2（∑a）2≥33-n2（a+b+c）n2-2（1+λ）2≥33-n2×3n2-2（1+λ）2=3（1+λ）2.

当且仅当a=b=c=1时取到等号.

参考文献

[1] 庞耀辉.一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的推广[J].数学教学，2013（6）（下半月）.作者简介 马占山，男，1968年生，中学高级教师.主要研究不等式和平面几何，已有近40篇文章在中学核心期刊发表.