教师应帮助学生学会生成

何谓生成？生成就是创生、建构或生长.《现代汉语规范词典》把生成解释为产生、形成.产生就是出现，是从已有的事物中生长出新事物新现象；形成就是经过发展变化而成为.可以说，学习过程就是不断生成的过程——生成新的知识，新的见解，新的能力.而这个生成，有学习者的自我生成，比如，自学所得，思考所得，也有学习者在教师帮助下的生成.目前，谈得比较多的是教师对生成性资源的利用问题，而如何帮助学生生成却谈得不多——本文就此谈点看法，希望能得到您的指教.

1 有预设才会生成得更好、更完美

生成可分为两类，一类是我们预设下的现象，另一类是我们不曾预设到的现象.我们期望出现未曾预约的精彩，但美化、强调生成，贬低、弱化预设，不是正确的选择.因为只有好的预设，才会生成得更好、更完美.

例1 已知函数y=f（x）对任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），求证f（x）的图像关于直线x=a对称.

在高一年级的同课异构活动中，两位老师都讲到这个例题.一个教师在讲授中直接就取y=f（x）图像上的任意一点P（x0，y0），这一点关于直线x=a的对称点为P′（2a-x0，y0），由于y0=f（x0），且对任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），所以y0=f（2a-x0），也就是说点P（x0，y0）在函数f（x）的图像上时，点P′（2a-x0，y0）也在函数f（x）的图像上，此两点关于直线x=a对称，由任意性可知f（x）的图像关于直线x=a对称.

一个学生说：“老师，为什么要这样证明呢？不是很明白.”结果，老师又重新再讲一遍.

另一位教师，先从y=x2讲起，指出它的对称轴是y轴，即直线x=0.这是大家都知道的事实，教师进一步启发：“为什么对称轴是x=0.”

学生1回答：“因为图像上的点（1，1），（-1，1）关于x=0对称；（-2，4），（2，4）也关于x=0对称，还有无数这样的对称点，所以图像关于x=0对称.”

教师：“这位同学的思路是对的，但不能仅用几个点来说明——即使说明了还有无数这样的对称点，也不能说，图像就对称，要怎么表述才准确呢？”

学生2：“任意取一点，再说明这个点关于x=0的对称点也在图像上就可以了.”

教师：“是的，只要取一点P（x0，y0），再说明P′（-x0，y0）也在图像上即可.”

教师再问：“如何证明y=x2+2x+3关于x=-1对称？”

……

经过这一番讨论和思考，再来证明上面的例题，就水到渠成了.学生也就不会说听不明白了.

前一个教师的讲解，让人觉得突兀，没有抓手，高估了学生.后一个教师的讲解，有铺垫，有启发，符合由特殊到一般、由具体到抽象的认识规律.当然，效果就不一样.这个显然与教师的备课有关，即与备课时的预设有关.

生成，不仅仅是旁逸斜出才叫生成，正确理解知识、理解方法也是一种生成.2 教师的启发诱导是学生生成的重要来源

学习是一种生成，运用也是一种生成.只有不断生成，学习才会进步.而学生内部的生成，教师往往是看不到的，但却是潜藏在学生的心里，增厚在大脑皮层里.所以，教师的启发诱导就很重要.比如：

例2 已知△ABC是锐角三角形，求证：sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.

很多学生无从下手，老师想到的往往也是和差化积，不会用△ABC是锐角三角形的隐含条件.其实，△ABC是锐角三角形可转化为下列式子：

A+B>；π2，

B+C>；π2，

C+A>；π2，

0<；A，B，C<；π2，可得π2>；A>；π2-B>；0，

π2>；B>；π2-C>；0，

π2>；C>；π2-A>；0，可得sinA>；sin（π2-B）=cosB，

sinB>；cosC，

sinC>；cosA.

三式相加即得sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.

经过讲解，学生理解了，掌握了，以后碰到类似问题能想到这样的方法.比如：

题目 已知偶函数f（x）在[-1，0]上单调递减，α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）.

A.f（sinα）>；f（sinβ）B.f（sinα）<；f（cosβ）

C.f（sinα）>；f（cosβ）D.f（cosα）<；f（cosβ）

学生分析 由π2<；α+β<；π，得0<；π2-β<；α<；π2，根据y=sinx在[0，π2]是递增的，得0<；sin（π2-β）=cosβ<；sinα<；1.又偶函数f（x）在[-1，0]上单调递减，所以f（x）在[0，1]单调递增，所以f（cosβ）<；f（sinα），选C.

由此可见，教师先前的讲解起到了作用.也就是说，教师的启发诱导是学生生成的重要来源.3 了解学情是有效生成的重要途径

学生是学习的主体，教师只有全面了解学生，才能使教师的教更有效地服务于学生的学，促进学生的生成.正如著名特级教师于猗所指出的：学生的情况、特点，要努力认识，悉心研究，知之准，识之深，才能教在点子上，教出好效果.

例3 已知数列{an}满足an+1+an-1=2an，n≥2，点O是平面上不在l上的任意一点，l上有不重合的点A，B，C，又知a2OA+a2015OC=OB，则S2016=（ ）.

A.1007 B.2016 C.2015 D.1008

数列{an}满足an+1+an-1=2an，n≥2，所以数列{an}是等差数列，这是学生知道的，如果由A，B，C共线，且满足a2OA+a2015OC=OB，可以得到a2+a2015=1，若学生不知道，此时，要生成就比较困难.

所以引入这个例子的时候，最好能先证明：点O是平面上不在l上的任意一点，A，B，C在l上的充要条件是存在实数λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否则，要由这些条件得到a2+a2015=1，就增加了生成的难度.

我们不时看到，学生有听不明白的情况，往往就是没有充分了解学生造成的.要了解学生，包括了解学生的原有经验、前概念、认知方式以及学生的情感、态度、价值观等.只有了解学情，教学才可能有的放矢.4 学生的生涩生成是教师帮助学生正确生成的重要通道

4.1 利用错误资源

错误不可怕，可怕的是不去改正错误.利用错误资源，一方面是修正错误，另一方面是从错误中得到启发，生成正确的东西.

例4 设M={a，b，c}，N={xxM}，则M与N的关系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

这是一道很容易出错的题，学生容易从M，N为集合这个表面现象选C或D.

事实上，因为N={xxM}，所以N={φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此时M，N不是集合与集合的关系，而是元素与集合的关系，故选A.

无独有偶，我们来看看一道由韩国高考数学题改编的问题：

题目 下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容：

甲：我们能够想象到的集合之全体的集合叫做S，那么

（a）S将S自身作为元素所有，是吧？

乙：那不成体统，哪有那样的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢？

以数学方式表达上述争论中带有底线的（a），（b），哪一项最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

试题通过考查学生对集合主要符号和不同含义的思考和理解来检验学生是否真正懂得了集合和元素之间的关系，涉及对集合本质的认识理解，带有逻辑思维训练的因素，与例4有异曲同工之妙.本题选项C是比较准确的选择.

4.2 利用正确生成却生成不下去的资源

利用生成性资源，包括正确生成却生成不下去的资源的利用.比如：

例5 已知△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC的形状.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化边，是常见思路，学生也懂.一些学生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以为太繁就做不下去了，其实两边同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以△ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.

同样化角也会遇到一些困难，教师要帮助学生扫清障碍：

因为acosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因为sin（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以△ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.

知识不够，不可能生成，或者生成不下去，同样，方法不对、能力不强，也会生成得不好.此时，教师的帮助就很重要.5 教师应鼓励学生敢于表达

有些学生生怕自己的生成不够成熟，羞于表达，教师应给学生足够的心理安全空间，就是有错误，有瑕疵，也要鼓励.比如：

例6 如图，已知单位圆上有四点E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分别设△OAC、△ABC的面积为S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值时θ的值.

教师解析 （1）根据三角函数的定义，知∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，所以∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因为S1+S2=四边形OABC的面积=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因为0<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值为3+12，此时θ的值为π3.

讲到这里，一个学生提出：“老师，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3条件下，可以直接求出最值.”

老师鼓励：“说说看.”

学生：“因为当0<；θ≤π3时，y=sinθ是增函数，cosθ是减函数，所以-cosθ是增函数，所以sinθ-cosθ+1是关于θ的增函数，θ=π3时可得到最大值.”

老师点头表示赞许：“很好.多数情况下，都要把类似问题化为一个角的三角函数，但针对本题的特殊情况，用此方法确实节省了时间.”

鼓励学生表达，不仅该学生受益，其它学生也得到了启发，也是一种生成.

总之，帮助学生学会生成，是教师的一项重要任务.帮助学生生成，教师要加强理论学习，要增强实践性智慧，要能容纳不同的声音，要了解学情，要精心预设，等等.

作者简介 童其林，男，1963年生，福建永定人，中学高级教师，省级骨干教师，省级学科带头人，福建省特级教师，龙岩市杰出人民教师，曾有200余篇文章发表，主要从事教学管理研究与数学教学研究.

所以引入这个例子的时候，最好能先证明：点O是平面上不在l上的任意一点，A，B，C在l上的充要条件是存在实数λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否则，要由这些条件得到a2+a2015=1，就增加了生成的难度.

我们不时看到，学生有听不明白的情况，往往就是没有充分了解学生造成的.要了解学生，包括了解学生的原有经验、前概念、认知方式以及学生的情感、态度、价值观等.只有了解学情，教学才可能有的放矢.4 学生的生涩生成是教师帮助学生正确生成的重要通道

4.1 利用错误资源

错误不可怕，可怕的是不去改正错误.利用错误资源，一方面是修正错误，另一方面是从错误中得到启发，生成正确的东西.

例4 设M={a，b，c}，N={xxM}，则M与N的关系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

这是一道很容易出错的题，学生容易从M，N为集合这个表面现象选C或D.

事实上，因为N={xxM}，所以N={φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此时M，N不是集合与集合的关系，而是元素与集合的关系，故选A.

无独有偶，我们来看看一道由韩国高考数学题改编的问题：

题目 下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容：

甲：我们能够想象到的集合之全体的集合叫做S，那么

（a）S将S自身作为元素所有，是吧？

乙：那不成体统，哪有那样的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢？

以数学方式表达上述争论中带有底线的（a），（b），哪一项最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

试题通过考查学生对集合主要符号和不同含义的思考和理解来检验学生是否真正懂得了集合和元素之间的关系，涉及对集合本质的认识理解，带有逻辑思维训练的因素，与例4有异曲同工之妙.本题选项C是比较准确的选择.

4.2 利用正确生成却生成不下去的资源

利用生成性资源，包括正确生成却生成不下去的资源的利用.比如：

例5 已知△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC的形状.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化边，是常见思路，学生也懂.一些学生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以为太繁就做不下去了，其实两边同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以△ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.

同样化角也会遇到一些困难，教师要帮助学生扫清障碍：

因为acosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因为sin（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以△ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.

知识不够，不可能生成，或者生成不下去，同样，方法不对、能力不强，也会生成得不好.此时，教师的帮助就很重要.5 教师应鼓励学生敢于表达

有些学生生怕自己的生成不够成熟，羞于表达，教师应给学生足够的心理安全空间，就是有错误，有瑕疵，也要鼓励.比如：

例6 如图，已知单位圆上有四点E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分别设△OAC、△ABC的面积为S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值时θ的值.

教师解析 （1）根据三角函数的定义，知∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，所以∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因为S1+S2=四边形OABC的面积=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因为0<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值为3+12，此时θ的值为π3.

讲到这里，一个学生提出：“老师，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3条件下，可以直接求出最值.”

老师鼓励：“说说看.”

学生：“因为当0<；θ≤π3时，y=sinθ是增函数，cosθ是减函数，所以-cosθ是增函数，所以sinθ-cosθ+1是关于θ的增函数，θ=π3时可得到最大值.”

老师点头表示赞许：“很好.多数情况下，都要把类似问题化为一个角的三角函数，但针对本题的特殊情况，用此方法确实节省了时间.”

鼓励学生表达，不仅该学生受益，其它学生也得到了启发，也是一种生成.

总之，帮助学生学会生成，是教师的一项重要任务.帮助学生生成，教师要加强理论学习，要增强实践性智慧，要能容纳不同的声音，要了解学情，要精心预设，等等.

作者简介 童其林，男，1963年生，福建永定人，中学高级教师，省级骨干教师，省级学科带头人，福建省特级教师，龙岩市杰出人民教师，曾有200余篇文章发表，主要从事教学管理研究与数学教学研究.

所以引入这个例子的时候，最好能先证明：点O是平面上不在l上的任意一点，A，B，C在l上的充要条件是存在实数λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否则，要由这些条件得到a2+a2015=1，就增加了生成的难度.

我们不时看到，学生有听不明白的情况，往往就是没有充分了解学生造成的.要了解学生，包括了解学生的原有经验、前概念、认知方式以及学生的情感、态度、价值观等.只有了解学情，教学才可能有的放矢.4 学生的生涩生成是教师帮助学生正确生成的重要通道

4.1 利用错误资源

错误不可怕，可怕的是不去改正错误.利用错误资源，一方面是修正错误，另一方面是从错误中得到启发，生成正确的东西.

例4 设M={a，b，c}，N={xxM}，则M与N的关系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

这是一道很容易出错的题，学生容易从M，N为集合这个表面现象选C或D.

事实上，因为N={xxM}，所以N={φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此时M，N不是集合与集合的关系，而是元素与集合的关系，故选A.

无独有偶，我们来看看一道由韩国高考数学题改编的问题：

题目 下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容：

甲：我们能够想象到的集合之全体的集合叫做S，那么

（a）S将S自身作为元素所有，是吧？

乙：那不成体统，哪有那样的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢？

以数学方式表达上述争论中带有底线的（a），（b），哪一项最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

试题通过考查学生对集合主要符号和不同含义的思考和理解来检验学生是否真正懂得了集合和元素之间的关系，涉及对集合本质的认识理解，带有逻辑思维训练的因素，与例4有异曲同工之妙.本题选项C是比较准确的选择.

4.2 利用正确生成却生成不下去的资源

利用生成性资源，包括正确生成却生成不下去的资源的利用.比如：

例5 已知△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC的形状.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化边，是常见思路，学生也懂.一些学生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以为太繁就做不下去了，其实两边同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以△ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.

同样化角也会遇到一些困难，教师要帮助学生扫清障碍：

因为acosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因为sin（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以△ABC是∠B或∠A为直角的直角三角形.

知识不够，不可能生成，或者生成不下去，同样，方法不对、能力不强，也会生成得不好.此时，教师的帮助就很重要.5 教师应鼓励学生敢于表达

有些学生生怕自己的生成不够成熟，羞于表达，教师应给学生足够的心理安全空间，就是有错误，有瑕疵，也要鼓励.比如：

例6 如图，已知单位圆上有四点E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分别设△OAC、△ABC的面积为S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值时θ的值.

教师解析 （1）根据三角函数的定义，知∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，所以∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因为S1+S2=四边形OABC的面积=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因为0<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值为3+12，此时θ的值为π3.

讲到这里，一个学生提出：“老师，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3条件下，可以直接求出最值.”

老师鼓励：“说说看.”

学生：“因为当0<；θ≤π3时，y=sinθ是增函数，cosθ是减函数，所以-cosθ是增函数，所以sinθ-cosθ+1是关于θ的增函数，θ=π3时可得到最大值.”

老师点头表示赞许：“很好.多数情况下，都要把类似问题化为一个角的三角函数，但针对本题的特殊情况，用此方法确实节省了时间.”

鼓励学生表达，不仅该学生受益，其它学生也得到了启发，也是一种生成.

总之，帮助学生学会生成，是教师的一项重要任务.帮助学生生成，教师要加强理论学习，要增强实践性智慧，要能容纳不同的声音，要了解学情，要精心预设，等等.

作者简介 童其林，男，1963年生，福建永定人，中学高级教师，省级骨干教师，省级学科带头人，福建省特级教师，龙岩市杰出人民教师，曾有200余篇文章发表，主要从事教学管理研究与数学教学研究.