浅谈微积分在不等式证明中的应用
2014-11-27贺建平
中小企业管理与科技·中旬刊 2014年11期
摘要:本文介绍了通过微积分理论、方法求解不等式的过程。这种方法思路简单、无需太多解题技巧,相对于初等方法来说,在求解函数、三角证明和几何证明等问题时更值得推广。
关键词:微积分 不等式 证明 应用
不等式是数学在函数、三角证明、几何证明中的重要内容。在数学学习中,利用初等方法求解不等式,对解题思路、解题技巧的要求较高。而借助微积分理论来求解不等式,往往使问题变得简单。
微积分解不等式相较于初等方法来说,思路更加清晰,而且对解题技巧的要求不是太高。笔者将结合高等数学中的微积分理论,在下文中针对微分中值定理、函数的单调性定理、极值判定定理、级数理论来解决不等式的问题进行详细说明。
1 利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理:假设函数y=f(x)满足条件①和条件②:①在区间[a,b]上连续;②在区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=■。由于ξ在a,b之间,因此f′(ξ)将有一个取值范围,也就是说■有一个取值范围,由此可得到一个不等式。因此,可利用ξ在(a,b)内的特点证明不等式。利用微分中值定理,证明的关键在于函数和区间的选取。
例1 证明:设0 证:(1)当a=b时,上式显然成立。