美国微积分课程改革对高职工科高等数学课程建设的启示

牛西武，郭群虎

摘 要 20世纪80年代，美国微积分课程改革源于大学入学新生增加、计算机科学发展，以及学生、数学家、计算机科学家、数学教育家等对数学课程内容变更提出的新要求。哈佛大学以分析、图像、数值、语言四规则重构完整的微积分课程相关概念，其他一些大学采取开发专门数学计算软件、创设问题并分组合作寻求解决方法、编写微积分教材等经验，对我国高职工科高等数学课程建设具有重构课程体系、确定合理要求、突出工具作用等方面的启示。

关键词 美国；微积分；高等职业教育；工科；高等数学；课程建设

中图分类号 G719.712 文献标识码 A 文章编号 1008-3219（2014）14-0089-04

从20世纪60年代开始，大学入学新生的增加、数学应用日益普及和广泛，以及计算机技术的发展引发了美国微积分课程的改革。这些改革所要面对和解决的问题与近20年来困扰我国高等数学课程教育教学的问题有相似之处，了解和借鉴美国微积分课程改革进程和取得的成果，有助于我国高职工科高等数学课程建设与改革。

一、美国微积分课程改革的主要动因

（一）大学入学新生的增加

美国人口统计署资料显示，从1946年到1965年的20年间，高等院校招生数量从184.1万人增至384万人；而从1965年到1985年的21年间则快速增加到1086.3万人。美国大学入学新生的急速增加， 使得越来越多的微积分课程要采用大班集中上课的方式讲授。面对不同基础的学生，以同样的方式和速度讲授同样的内容，并以统一的标准考核，导致大量学生考试不及格。对此，美国各高等院校也采用了一些新的举措以应对这一问题。比如，很多院校根据学生的不同基础、不同需要和不同发展方向，分别采用“荣誉班”和“常规班”组织课程教学。另外，编写一批内容更为丰富、趣味性更强的教科书，以便于学生阅读。同时，大量增加了例题和习题数量，大多数教材的习题都达6000题以上，解答也更加详细、完备，以帮助学生强化常规训练。但是，直到20世纪80年代后期，仍然只有不到半数的学生能够通过课程考试。

（二）计算机科学的发展

计算机技术的飞速发展影响着数学课程教学。一是数学软件强大的计算和符号运算功能使人们不得不考虑数学运算和运算技巧的训练是否还那么重要，哪些内容才应该是数学教学的重点。二是数学课程教学原有的知识体系变得不那么严格。比如，可以不用讲完不定积分的所有运算技巧后才讲授定积分。事实上，数学软件不但能够完成众多的定积分运算，同时能完成数值积分的计算。三是数学软件为数学实验提供技术支持，使数学正在从传统的以演绎推理为主的科学转变为一门演绎与实验并重的科学。四是数学软件不单是运用数学解决问题的工具，也提供了问题解决的途径和方法。科学研究是少数人从事的事业，而技术是可以，也应该能够被公众所掌握和运用[1]。数学软件作为数学技术的重要载体，大学数学教育在何种程度让学生学习和掌握这一技术就成为必需考虑的问题。

（三）对数学课程内容变更的要求

对数学课程内容变更的要求是多个方面共同促成的。一是学生。汉普希尔学院的学生向数学教师反映，数学课程没有教给他们在阅读和理解自己专业论文时所需要的数学知识和数学工具。通过对相关领域的期刊、文献进行查阅，教师发现微积分的使用远远少于统计学的使用。即便是微积分的使用也不会是分部积分和洛必达法则等内容，微分方程、积分方程的数值方法处理则更多地被用到。二是数学家和计算机科学家。他们认为，在计算机时代，离散数学要比微积分更具有应用价值，在大学数学课程中离散数学应该占有与微积分同等的地位。三是数学教育家。美国数学协会基金组织前主席Roger How教授指出，很多学校课程长时期以来一直没变动，人们自然会问是否有不合适的部分需要变动。从统计数字可明显看出，统计学、运筹学和离散数学也应该在课程中获得一席之地[2]。

二、美国微积分课程改革实践

从1985年起，美国政府、专业团体、大学开始致力于微积分课程的改革。1986年，在新奥尔良州图兰（Tulane）大学举行的微积分改革专题会议把“走向精简活泼的微积分学”作为会议主题。1987年，在华盛顿召开了以“新世纪的微积分学：水泵而非滤器”为主题的第二次微积分改革会议。会议提出了进行改革的想法和目标：要使微积分课程能够吸引住学生，并使学生获得成功的体验；微积分课程不应成为把学生淘汰出通向科学管道的“过滤器”，而应作为鼓励学生学习科学，并为之提供必需数学工具的“助推器”；要将更多现实生活的例子、数学模型、近似和数值方法以及与离散思想的联系纳入新的微积分课程教学中，并在这一转变中更多地使用计算机[3]。1987年，国家科学基金会（NSF）宣布启动微积分改革计划，提出“培养学生概念性理解能力、解决问题技巧、分析与举一反三的技能。同时，要通过实行新方法减少冗长乏味计算”的改革建议[4]。1989年，有25个微积分教改项目获得了NSF的资助，一些改革项目及所取得的成果如下。

（一）哈佛大学的“Calculus Consortium”项目

哈佛大学的改革项目十分强调学生对概念的理解，提出每个概念都要通过图像、数值、符号、语言4种方式加以呈现，也被称为哈佛“4规则”（The Rule of Four）。“4规则”认为，对微积分课程每个重要概念的理解，都应该以分析方式、图像方式、数值方式和语言方式（包括描述性语言和形式化的数学语言）4种途径加以建构，以帮助学生能从不同角度构建起对每个重要概念的完整理解。

（二）依利诺斯大学和俄亥俄州立大学的“Calculus & Math- ematica”项目

1988年，美国Wolfram Res- earch公司开发了一套专门进行数学计算的软件（Mathematica）。该软件拥有强大的符号计算能力，可以进行解析计算和公式推导、证明以及算法研究。该软件是一个交互式的计算系统，系统在接受一个表达式之后就会进行处理，计算结果以人们习惯的数学符号形式表达，具有人机界面友好、命令输入方便、易于寻求帮助的特点。“C & M”项目组运用Mathematica软件，编写电子教科书和人机对话的学生练习课本， 全部在计算机上进行教学。学生上课时，可以通过课程软件直接向计算机提出问题，由计算机提供问题的答案或作出所要求的解释。

（三）普杜大学的“Calculus， Concepts，Computers & Coope- rative Learning”项目

“C4 L”项目以皮亚杰的建构主义学习理论为基础，强调以合作学习的方式，借助于计算机开展微积分课程的学习。在教学形式上，项目组采用由教师向全班学生提出精心设计的问题，再通过分组合作学习和小组交流的方式寻求问题的解决方法。在数学概念的学习上，项目组提出APOS理论，即通过操作或活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、概型（Scheme）4个阶段建构学生对数学概念个性化的心智结构。在学习手段上，项目组鼓励学生通过执行计算机任务，自我发现重要的数学结论，认为计算机辅助学习具有使学习者“看到数学”（Seeing mathematics）、“做数学”（Doing mathematics）、“创作数学”（Making mathematics）以及“使用自己创造的心智结构来做数学”（Using what you have made to do mathematics）等诸多优势。

（四）微积分课程教材建设

微积分课程教材建设是这次改革取得的重要成果之一。新编写的微积分教材力图贯彻改革初衷，吸纳已经取得的改革实践成果。一是严格、抽象的公理体系和逻辑证明内容被大大削弱， 甚至被取消。二是强调完整的概念性理解。在引入数学概念或定理时，通常是先通过数值计算发现近似结果，再给出几何直观展示，在学生对抽象的知识建立感性认识后，再运用描述性语言和形式化的数学语言加以叙述。三是强调概念、知识的实际应用。例如，突出导数作为变化率的实际意义，并配有大量实例加以说明等。四是配置大量紧密结合生产和生活实际的例题和习题。教材中的习题除了过去的几何、物理外，还包括建筑、生物、经济、社会发展等众多方面。另外，教材中很多应用题是基于实际数据的，比如，借助某个城市昼夜温度变化数据讨论函数平均值等。五是充分利用现代技术手段。借助数学软件，教材中给出了大量图形、数表，力求将微积分知识用图形、数值的方式加以呈现；完成必要的计算、验证、分析或判断，帮助学生研讨课程内容；把数学实验与建模内容引入教材，培养学生问题解决的能力。

三、对我国高职工科高等数学课程建设与改革的启示

美国这场改革所提出的改革原则、理念以及实践举措对尚处于起步阶段的我国高职工科高等数学课程建设与改革有许多值得借鉴的经验。

（一）重构高职工科高等数学课程体系

近年来，各高职院校工科高等数学课程大都建立了由基础、专业、选修三个模块构成的课程体系。但是基础模块仍然以微积分为主要内容，存在重经典轻现代、重连续轻离散、重理论轻应用等问题。另外，将数学建模和数学软件作为选修模块的主要内容，有可能使那些没有修习的学生难以了解，进而掌握这一重要的数学技术和问题解决方法。因此，应以实现课程培养技术型人才适应现代社会必备的数学科学素养，奠定专业课程学习够用的数学基础，搭建终身学习必需的数学平台三个基本功能为宗旨，系统设计高职工科高等数学课程体系。按照专业或专业大类，统筹考虑、合理规划基础、专业两个模块中连续量、离散量、随机量等课程内容的选取与组织。同时将数学建模和数学软件融入基础、专业两个模块的课程教学之中，构建适用于不同专业（专业大类）需要的高等数学课程内容体系。选修模块根据学生的不同需求、不同发展方向及学习兴趣，以选修课的形式面向全校学生开设。

（二）合理确定高职工科高等数学课程要求

高等教育的大众化使得学生学习基础的差异性与以往相比更为显著，对高等数学的需求也呈现出多样化趋势，必需合理确定高职工科高等数学课程要求。一是应对作为基本要求部分的课程内容在深度和广度两方面给予精简，以便学生可以有更多时间与精力开展个性化的课程学习。二是在精简内容的同时，要加强对数学概念、定理、公式中所包含的局部线性化、多项式逼近、元素法等数学思想方法的教学要求，让学生了解数学知识的背景和意义，以及应用性和方法性价值。同时要学习、借鉴哈佛“4规则”和普杜大学“APOS理论”，强化学生对重要数学概念完整性的理解。三是将对数学软件的学习、掌握和使用纳入高职工科高等数学课程的教学内容。一方面，由于数学软件所具有的算法开发、数据可视化、数据分析及数值计算等方面的强大功能， 使得数学软件成为数学建模最主要的方法与工具，对于培养学生的创新能力和数学应用能力具有十分重要的作用；另一方面，数学软件可以将抽象的数学内容、严谨的证明过程以几何直观、数值分析等方式展现出来，不仅改变着数学教育的方式，更改变着数学教育观和数学观。四是要建立“人人需要数学，人人都应学有用的数学，不同的人应当学不同的数学”的数学教育理念，并以此指导高职工科高等数学课程从以往统一、严格的教学质量评价标准转变为满足不同层次、不同需求、不同发展方向学生需要的多元质量评价标准。

（三）突出数学课程的工具作用，培养学生的数学应用能力

美国微积分课程的突出特征是强调数学的工具作用，遵循“用数学于现实世界”的原则。事实上，对于绝大多数修习高等数学课程的学生而言，将来不是要成为数学家，而是要运用数学解决现实问题。突出课程的工具作用，培养学生的数学应用能力应该从以下几方面做起：一是与专业课教师、行业工程技术人员一起对各专业高等数学的课程目标、内容和基本要求进行界定和描述，共同制定各专业的高等数学课程标准。二是对数学在专业课程中的应用案例进行收集，将其转化为可供数学课程教学运用的专业案例，为数学教师采用“实际问题—数学概念—实际问题”的方式开展教学建立充足的案例库。三是要重视数学教师的专业发展。一方面，教师要熟练掌握数学软件，积极参与、指导学生数学建模竞赛，提升自身的数学应用能力；另一方面，要研究授课班级所在专业的专业知识，提高将专业案例转化为数学课程案例的能力。四是借鉴美国教材题例的编选方式，将社会中的实际问题及工程技术中的真实问题编入教材，让学生充分感知数学与其他学科之间的联系，培养学生将数学知识应用于日常生活、工程技术、社会实践的能力，加强对学生作为“职业人”的初期塑造。

参考文献：

[1]白峰杉.大学数学课程在中国的演化——中外数学教育的比较与思考[J].数学通报，2006（11）：19-21.

[2]卢晓明.美国数学教育改革关注和争论的十个问题[J].数学教学，1999（1）：35-36.

[3]李秉弃，范良火.美国大学微积分教育改革进展述评[J].数学教育学报，1993（1）：11-16.

[4]Louis M.Friedlwer，柴俊，等，译.美国的微积分教学：1940—2004[J].高等数学研究，2005（3）：6-11，15.