浅谈不定积分

惠丽萍

【文章摘要】

不定积分是高等数学---微积分中的重要内容之一，本文从不定积分的定义入手，剖析定义，归纳和总结了不定积分的直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法。

【关键词】

不定积分；高等数学；积分法

正确理解高等数学---微积分中的不定积分的概念，浅谈不定积分的几种求法以便于学生能灵活应用这几种方法解题，有利于学生提高学习不定积分的兴趣， 将为学好高等数学打下坚实的基础。

1 不定积分的概念

1.1定义

设是函数的一个原函数（即：），则的全体原函数称为的不定积分，记作，即.

注：⑴上式中的“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数。

⑵积分号“”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全部原函数，所以在不定积分的结果中必须加上任意常数。

⑶求积分和求导数互为逆运算。

1.2不定积分的性质

⑴性质1 。

⑵性质2 。

注：性质2 可推广到有限个函数的和差。

1.3不定积分的几何意义

在直角坐标系中，的任意一个原函数的图形是一条曲线，这条曲线上任意点处的切线的斜率恰为函数值，称这条曲线为的一条积分曲线。的不定积分则是一个曲线族，称为积分曲线族。

平行于轴的直线与族中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于，因此积分曲线族可以由一条积分曲线通过上下平移得到。（图1）

2 直接积分法

求不定积分时，常常要将被积函数通过恒等变形并进行化简，转化为基本积分公式中的被积函数的代数和的形式，再运用基本积分公式直接求出。

例1：求

分析：被积函数恒等变形，化为基本积分公式中的情形（化为幂函数），再利用性质逐项积分。

例2：求⑴

分析：被积函数恒等变形（分子的各项除以分母），化为幂函数的代数和的形式，再利用性质逐项积分。

例3：求

分析：当被积函数是分式有理数时，常常将它拆成分母较简单、易于积分的分式之和。

例4：求

分析：用三角恒等式把被积函数化为基本积分公式中的情形。

3 第一类换元积分法（即凑微分法）

3.1定理

设具有原函数，是连续函数，则。

简单证明：

这种先“凑”微分，再作变量代换的方法，称为第一类换元积分法，也称为凑微分法；它分为四步：凑微分，换元，积分，代回；关键是第一步凑微分。

3.2在教学中归纳总结一些类型为

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

例5：

熟记常用的微分公式，能够加快解题速度。

4 第二类换元积分法

4.1定理

函数有连续的导数且，又有原函数，则。

这种方法称为第二类换元积分法。

注：使用第二类换元积分法的关键是恰当地选择变换函数。对于，要求其导数连续，，且其反函数存在。

4.2第二类换元积分法可分为

⑴当被积函数中含有时，可令，消除根号，从而求得积分。这种代换称为根式代换。

例6：求

⑵被积函数含有被开方因式为二次根式的情况，一般地，当被积函数含有①，可作代换； ②，可作代换； ③，可作代换；这种代换称为三角代换。

⑶当被积函数分母中自变量的幂较高于分子中的自变量的幂时，且积分还不能直接用公式积出时，令，这种方法称倒代换法。

5 分部积分法

（1）设函数，具有连续的导数，根据乘积微分公式有

，

两边积分得，该公式称为分部积分公式。

在求不定积分前要充分理解不定积分的定义和性质，不能把在极限计算和求导计算中学过的函数乘积的极限和求导计算公式迁移到不定积分计算中来，否则会得到错误的结果，解题时具体问题具体对待，灵活选用积分法，所以平时要多思、多记、多做、多总结。这样才能为学好高等数学打下坚实的基础，才能在浩瀚的数学知识海洋中自由的遨游。

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.《高等数学》.同济第六版.高等教育出版社.2007-4-1.

[2]骈俊生主编.《高等数学》.高等教育出版社.2012-09.

[3]李以渝主编.《高等数学》.北京理工大学出版社.2011-06.