三角函数图像的应用

张久霞

摘 要：三角函数是高中数学中的一种很重要的常用函数，与其他常用函数一样，我们要研究他的定义域、值域、单调性以及奇偶性。而三角函数的一个特殊性质—— 周期性使得三角函数变得与众不同，尤其使其图像具有了周而复始的规律性和数学美感。

关键词：三角函数 规律性 特殊性

中图分类号：G633.64 文献标识码：A 文章编号1674-098X（2014）06（b）-0211-01

三角函数是高中数学中的一种很重要的常用函数，与其他常用函数一样，我们要研究他的定义域、值域、单调性以及奇偶性。而三角函数的一个特殊性质—— 周期性使得三角函数变得与众不同，尤其使其图像具有了周而复始的规律性和数学美感。以下是正弦函数图象、余弦函数图像、正切函数图象的简图，让我们先来欣赏一下如图1～3。

而随着新一轮教材改革的实施，高中数学教材三角函数这一章的教学重点已由以前的三角函数式的恒等变形转变为三角函数的图像与性质，而三角函数的作图和图像的平移、求值和最值、求周期与判断函数的单调性是三角函数性质中的重点内容，因而在数学教学中我们更看重三角函数的图像在解题中的应用。三角函数图像主要由以下几方面的应用。

1 比较三角函数值的大小

在三角函数一章中比较两个或多个三角函数值的大小是一种常见题型，这种题往往采取界值法或把几个三角函数值化同名，进而再转化到同一段单调区间上，结合图像的特征得出函数值的大小关系。实例分析：

例1. 已知：

，比较、、的大小。

解析：根据两角和的正弦公式，=

由二倍角公式，又结合图像知正弦函数在区间上单调递增，

又，

所以，即。

2 求三角函数在某个区间的值域、最值

用整体代换法，比如求sin（2x+6）在某个区间的值域，把2x+6看做一个整体t，再求sint的值域。实例分析如图4。

例2：已知函数f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（1）求ω的值。

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π16]上的最小值。

解析： （1）因为f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx，所以f（x）=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2。

=12sin 2ωx+12cos 2ωx+12=22sinrc2ωx+π4+12。

由于ω>0，依题意得2π2ω=π，所以ω=1。

（2）由（1）知f（x）=22sinrc2x+π4+12，所以g（x）=f（2x）=22sinrc4x+π4+12.

当0≤x≤π16时，π4≤4x+π4≤π2，所以22≤sinrc4x+π4≤1.因此1≤g（x）≤1+22。

故g（x）在区间0，π16上的最小值为1.

3 求三角函数的表达式

题目一般给定图象的一部分，由图象中表达出的各种信息，得出解析式中的待求参数，进而可求出函数的解析式。

例3.已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω>0，|φ|<），y=f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式，并求f 。

【解析】由图象可知，此正切函数的半周期等于π-π=π=π，即周期为π，∴ω=2。

由2×π+φ=kπ，k∈Z，|φ|<，知φ=。

由f（0）=1，知A=1。

因此f（x）=tan，故f=tan=tan=。endprint

摘 要：三角函数是高中数学中的一种很重要的常用函数，与其他常用函数一样，我们要研究他的定义域、值域、单调性以及奇偶性。而三角函数的一个特殊性质—— 周期性使得三角函数变得与众不同，尤其使其图像具有了周而复始的规律性和数学美感。

关键词：三角函数 规律性 特殊性

中图分类号：G633.64 文献标识码：A 文章编号1674-098X（2014）06（b）-0211-01

三角函数是高中数学中的一种很重要的常用函数，与其他常用函数一样，我们要研究他的定义域、值域、单调性以及奇偶性。而三角函数的一个特殊性质—— 周期性使得三角函数变得与众不同，尤其使其图像具有了周而复始的规律性和数学美感。以下是正弦函数图象、余弦函数图像、正切函数图象的简图，让我们先来欣赏一下如图1～3。

而随着新一轮教材改革的实施，高中数学教材三角函数这一章的教学重点已由以前的三角函数式的恒等变形转变为三角函数的图像与性质，而三角函数的作图和图像的平移、求值和最值、求周期与判断函数的单调性是三角函数性质中的重点内容，因而在数学教学中我们更看重三角函数的图像在解题中的应用。三角函数图像主要由以下几方面的应用。

1 比较三角函数值的大小

在三角函数一章中比较两个或多个三角函数值的大小是一种常见题型，这种题往往采取界值法或把几个三角函数值化同名，进而再转化到同一段单调区间上，结合图像的特征得出函数值的大小关系。实例分析：

例1. 已知：

，比较、、的大小。

解析：根据两角和的正弦公式，=

由二倍角公式，又结合图像知正弦函数在区间上单调递增，

又，

所以，即。

2 求三角函数在某个区间的值域、最值

用整体代换法，比如求sin（2x+6）在某个区间的值域，把2x+6看做一个整体t，再求sint的值域。实例分析如图4。

例2：已知函数f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（1）求ω的值。

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π16]上的最小值。

解析： （1）因为f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx，所以f（x）=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2。

=12sin 2ωx+12cos 2ωx+12=22sinrc2ωx+π4+12。

由于ω>0，依题意得2π2ω=π，所以ω=1。

（2）由（1）知f（x）=22sinrc2x+π4+12，所以g（x）=f（2x）=22sinrc4x+π4+12.

当0≤x≤π16时，π4≤4x+π4≤π2，所以22≤sinrc4x+π4≤1.因此1≤g（x）≤1+22。

故g（x）在区间0，π16上的最小值为1.

3 求三角函数的表达式

题目一般给定图象的一部分，由图象中表达出的各种信息，得出解析式中的待求参数，进而可求出函数的解析式。

例3.已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω>0，|φ|<），y=f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式，并求f 。

【解析】由图象可知，此正切函数的半周期等于π-π=π=π，即周期为π，∴ω=2。

由2×π+φ=kπ，k∈Z，|φ|<，知φ=。

由f（0）=1，知A=1。

因此f（x）=tan，故f=tan=tan=。endprint

摘 要：三角函数是高中数学中的一种很重要的常用函数，与其他常用函数一样，我们要研究他的定义域、值域、单调性以及奇偶性。而三角函数的一个特殊性质—— 周期性使得三角函数变得与众不同，尤其使其图像具有了周而复始的规律性和数学美感。

关键词：三角函数 规律性 特殊性

中图分类号：G633.64 文献标识码：A 文章编号1674-098X（2014）06（b）-0211-01

三角函数是高中数学中的一种很重要的常用函数，与其他常用函数一样，我们要研究他的定义域、值域、单调性以及奇偶性。而三角函数的一个特殊性质—— 周期性使得三角函数变得与众不同，尤其使其图像具有了周而复始的规律性和数学美感。以下是正弦函数图象、余弦函数图像、正切函数图象的简图，让我们先来欣赏一下如图1～3。

而随着新一轮教材改革的实施，高中数学教材三角函数这一章的教学重点已由以前的三角函数式的恒等变形转变为三角函数的图像与性质，而三角函数的作图和图像的平移、求值和最值、求周期与判断函数的单调性是三角函数性质中的重点内容，因而在数学教学中我们更看重三角函数的图像在解题中的应用。三角函数图像主要由以下几方面的应用。

1 比较三角函数值的大小

在三角函数一章中比较两个或多个三角函数值的大小是一种常见题型，这种题往往采取界值法或把几个三角函数值化同名，进而再转化到同一段单调区间上，结合图像的特征得出函数值的大小关系。实例分析：

例1. 已知：

，比较、、的大小。

解析：根据两角和的正弦公式，=

由二倍角公式，又结合图像知正弦函数在区间上单调递增，

又，

所以，即。

2 求三角函数在某个区间的值域、最值

用整体代换法，比如求sin（2x+6）在某个区间的值域，把2x+6看做一个整体t，再求sint的值域。实例分析如图4。

例2：已知函数f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（1）求ω的值。

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π16]上的最小值。

解析： （1）因为f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx，所以f（x）=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2。

=12sin 2ωx+12cos 2ωx+12=22sinrc2ωx+π4+12。

由于ω>0，依题意得2π2ω=π，所以ω=1。

（2）由（1）知f（x）=22sinrc2x+π4+12，所以g（x）=f（2x）=22sinrc4x+π4+12.

当0≤x≤π16时，π4≤4x+π4≤π2，所以22≤sinrc4x+π4≤1.因此1≤g（x）≤1+22。

故g（x）在区间0，π16上的最小值为1.

3 求三角函数的表达式

题目一般给定图象的一部分，由图象中表达出的各种信息，得出解析式中的待求参数，进而可求出函数的解析式。

例3.已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω>0，|φ|<），y=f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式，并求f 。

【解析】由图象可知，此正切函数的半周期等于π-π=π=π，即周期为π，∴ω=2。

由2×π+φ=kπ，k∈Z，|φ|<，知φ=。

由f（0）=1，知A=1。

因此f（x）=tan，故f=tan=tan=。endprint