关于线性代数中的三类反问题研究

2014-11-19刘亚亚

商洛学院学报 2014年2期

程国,刘亚亚,李超

(商洛学院数学与计算机应用学院，陕西商洛 726000)

线性代数是高等院校理工、经管类专业的一门重要的公共必修课，也是全国硕士研究生入学统一考试中必考的数学课程之一。它的基本内容是以矩阵为工具，研究向量空间，主要分为两部分：一部分是基本工具，如矩阵、行列式、线性方程组、多项式、二次型等；另一部分是研究线性空间的代数结构[1]。学好这些理论的每一个正面问题是非常重要的，而这些理论中某些问题的反问题，在现行经典教材中均没有涉及，但是却成为近年来考研数学的一个热点问题。很多学者都对线性代数中的反问题进行了研究。刘学鹏[2]讨论了线性变换及矩阵对角化的反问题；田立平等[3]研究了行列式和矩阵中的反问题；石永芳[4]对已知线性变换在给定基下的矩阵反求线性变换等几个反问题给出了求解过程；雍龙泉[5]研究了几类矩阵的反问题；陈兴同[6]讨论了矩阵秩和矩阵方程的反问题；张利兵[7]也讨论了方阵对角化的反问题。反问题的出现是教与学中的一个难点，研究反问题对理解线性代数中的基本概念和理论，培养学生的创新思维能力方面有着积极的作用。本文就线性代数中线性方程组、特征值与特征向量、二次型中的几类典型反问题给出了原理证明和求解方法。

1 线性方程组中的反问题

线性方程组[8]是线性代数的核心内容之一。通常都是给定线性方程组，根据求解理论求出方程组的通解，还可以考虑它的反问题。

正问题：给定Fn上的齐次线性方程组AX=0或非齐次线性方程组AX=b，根据线性方程组的求解理论求出齐次或非齐次线性方程组的通解。

反问题：已知齐次或非齐次线性方程组的解，求对应的线性方程组。对此问题给出定理1予以解决。

定理1 设W是Fn的任一子空间，n维列向量组α1，α2，…，αr(r＜n)为 W 的一组基。矩阵 An×r=(α1，α2， …，αr)，n 元齐次线性方程组 A'X=0 的基础解系为 n 维列向量组 β1，β2，…，βn-r。令 B=(β1，β2， …,βn-r)，则齐次线性方程组 B'X＝0 即以α1，α2，…,αr为一个基础解系。

证明：只需证明α1，α2，…，αr是齐次线性方程组 B'X＝0 的解即可。由于α1，α2，…，αr为 W 的一组基，An×r=(α1，α2，…，αr)，则有秩 r(A)＝r(A')＝r，A'X=0 的基础解系中含有n-r个向量β1，β2…，βn-r。又 B=(β1，β2，…，βn-r)，则 r(B)＝r(B')=n-r。因此，齐次线性方程组B'X=0的解空间维数是n-(n-r)=r维，又 A'(β1，β2，…,βn-r)=0，所以［A'(β1，β2，…,βn-r)］'＝0，(β1，β2，…,βn-r)'A＝0，亦即 B'A=B'(α1，α2，…，αr)=0，故α1，α2，…，αr是齐次线性方程组 B'X=0 的解。而α1，α2，…，αr线性无关，B'X=0 的解空间维数是r，因此又是B'X=0的基础解系。又W=L(α1，α2，…，αr)，所以 W 是 B'X=0 的解空间。

推论1 设n维线性无关的列向量组α1，α2，…,αr(r＜n)是 Fn中的任一组向量，则非齐次线性方程组 B'X=b 的通解为γ=k1α1+k2α2+…+krαr(ki∈F，i=1,2,…,r)，其中γ为 B'X=b 的一个特解。

根据线性方程组解得结构和定理1的结论易证推论1成立，证明过程略去。

例 1 设α1=(1,-1,1,0)，α2=(1,1,0,1)，α3=(2,0,1,1)，求一个齐次线性方程组，使其解空间为 L(α1,α2,α3)。

解：由于α1,α2,α3的极大线性无关组为α1,α2,令，作齐次线性方程组AX=0，并求出其一个基础解系为β1'=(1,0,-1,-1),β2'=(0,1,1,-1)。

令 B＝(β1，β2)，则齐次线性方程组 B'X＝0 以α1,α2,为基础解系，其解空间为 L＝(α1,α2,)。又 L(α1,α2,α3)=L(α1,α2)，故所求的齐次线性方程组为

例2已知四元线性方程组AX=β的一个特解γ=（1,2,0,0）'，相应的齐次线性方程组的基础解系为 η1＝（1,-1,1,0）'，η2＝（1,1,0,1）'试求此非齐次线性方程组。

2 特征值与特征向量的反问题

正问题：已知矩阵A，求A的特征值与特征向量。赵临龙[9]给出了相应的求解步骤。

反问题：已知特征值和特征向量反求矩阵的问题。此类反问题赵临龙从未涉及。定理2和定理3给出解决方法。

定理2设n阶矩阵A有n个互不相同的特征值为λ1，λ2，…，λn，其对应的特征向量分别为 P1,P2，…，Pn，则矩阵 A=P∧P-1。其中 P=(P1，P2，…，Pn)，∧表示以λ1，λ2，…，λn为主对角线上元素的对角矩阵。

证明由于P1，P2，…，Pn是A的n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn对应的特征向量，则它们线性无关。令 P=（P1，P2，…，Pn），则 P 为可逆矩阵，且有APi=λiPi（i＝1，2，…，n）,即，A（P1,P2,…,Pn）=（P1,P2,…,Pn）∧,A=（P1,P2,…,Pn）∧（P1,P2,…,Pn）-1=P∧P-1,其中∧表示以λ1，λ2，…，λn为主对角线上元素的对角矩阵。证毕。

定理3设n阶实对称矩阵A的特征值为λ1,λ2，其重数分别为 k,n-k，与特征值 λ1对应的k个两两正交的单位特征向量为P1,P2,…，Pk，则矩阵其中En是n阶单位矩阵。

证明设与λ2对应的n-k个线性无关的单位特征向量为Pk+1,Pk+2,…,Pn，由于实对称矩阵的属于不同特征值得特征向量必正交，记P=(P1,P2,…,Pk，Pk+1,…,Pn)，则 P 是正交矩阵，且满足

故

例3设三阶矩阵A的三个特征值分别为λ1=1,λ2=2,λ3=3,与之对应的特征向量分别为P1=（1,1,1）'，P2=（1,2,4）'，P3=（1,3,9）'，求矩阵 A。

解：令 P＝（P1,P2,P3），

例4设三阶实对称矩阵A的三个特征值分别为λ1=-1，λ2=1(二重)，ξ＝（0,1,1）'是 A 对应于λ1的一个特征向量，求A。

3 二次型中的反问题

定义[10]含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式f（x1,x2,…,xn）＝XTAX，其中X＝（x1,x2,…,xn）T，为对称矩阵。

正问题：将二次型化为标准形。它是二次型理论中的重要问题之一。通常化二次型为标准形的方法[11]有：配方法、正交变换法和初等变换法。

反问题：一个含有未知参数的二次型经正交变换后化成标准形，求未知参数的问题。以下通过举例说明这类问题的求解方法。

解：分两个步骤。

Step1求未知参数及二次型矩阵:

Step2求属于每个特征值的特征向量得到正交变换矩阵Q:

对于每个特征值λi（i=1,2,3），解齐次线性方程组(λiE-A)X=0（i=1,2,3），得到属于λ1的特征向量为 ξ1＝（1，0，-1）'；属于λ2的特征向量为ξ2＝（0，1，0）'；属于λ3的特征向量为 ξ3＝（1，0，1）'。由于是对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的，因此只需将每个特征向量单位化后以列向量组成正交矩阵Q。ξ1,ξ2,ξ3单位化后的结果分别为正交矩阵正交变换即为

说明：因为任意实二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX可用正交变换X=QY化成标准形，所以由f的标准形就可知实对称矩阵A的全部特征值λ1,λ2,…,λn。将每个特征值λi(i=1,2,…,n)分别代入A的特征方程，解联立方程组可求出二次型中的未知参数。此时实对称矩阵A就已知，再由A求正交矩阵Q就容易了。