自觉利用数形结合思维解决问题

江碧侑

摘 要：数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路。使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

关键词：数形结合；化繁为简；直观

中图分类号：G620 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）08-247-02

借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论.因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法.也是一种重要的数学思想方法，在解决实际问题中有着广泛的应用。在小学数学中，它主要表现在把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的直观特征去发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。

一、利用“数形结合”，使复杂问题为简单化

如果把抽象的数量关系与具体的图形结合起来，挖掘和利用数量关系中的直观成分，就能使问题化繁为简，从而有效降低解决问题的难度，使问题顺利得到解决。

例：1：超市的糖果搞促销，买7赠1，有120个学生要买糖果，每人1颗，只需要买多少颗就可以了？

这是三年级上册教材的一道思考题。对于三年级的学生来说，这道题的数量关系较为复杂。在教学时，我们可以充分应用数形结合思想，把数量关系用图形表示出来。这样，就会收到意想不到的效果。买7赠1，就是买7颗糖果可以免费得到1颗，把需要付费的7颗用△△△△△△△表示，把免费的用◎表示；再把8颗分为一组，用△△△△△△△◎表示。这时，可以看120里面有多少个8，120÷8=15，也就是可以分成15组。由图可知，每组里有7颗是需要付费的，因此一共要买的颗数是：7×15=105（颗）。这样，恰当运用图形表示数量关系，不仅可以使数量关系化繁为易，而且使解决问题的方法更具有创造性。

例2：四年级的学生认识了三角形的内角和是l80。后有一个变式巩固练习：一块三角尺的内角和是l80°，用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是多少度？

教材上处理得很简单，只要认识到大三角形的内角和还是l80°，理解三角形的内角和与三角形的大小无关。但如果仅这样做的话，“三角尺”在这里的意义就不会完全体现也使学生失去了对解决问题的相关条件进行探究的机会。因为这里，拼成的三角形研究的意义在边的特征上，不仅在内角和上。

为了使教学活动变得富有挑战性、思考性，成为一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，针对本题，笔者设计了以下“四做”的活动：

（一）“做”——用两块三角尺可以拼出三角形吗？

（学生人手两副相同的三角尺）

师：用两块三角尺可以拼出三角形吗？

（生动手操作，拼出如图1中的三种三角形来）

师：你拼成了怎样的三角形？每个拼成的三角形的内角和是多少度？

生：可以拼成直角三角形、钝角三角形、锐角三角形。每个三角形的内角和都是180。，三角形的内角和与三角形的形状、大小无关。

（二）“做”——任意两块三角尺都能拼成三角形吗？

师：任意两块三角尺都可以拼出三角形吗？

（生动手操作，随意组合两块三角尺，在拼成与否中进行主动交流。）

生：只有当两块完全相同的三角尺相拼，才能拼成一个大三角形。

（三）“做”——两块完全相同的三角尺怎样拼，才能拼成三角形？

师：两块完全相同的三角尺怎样拼，才能拼成一个大三角形？

（生动手操作，研究拼合的情况。）

生：只有把相同直角边拼在一起，才能拼成一个大三角肜。

（四）“做”——为什么把相同直角边拼在一起才能拼成三角形？

师：为什么把相同直角边拼在一起才能拼成三角形？

生：……（疑惑）

生：如果把斜边拼在一起的话只能拼成四边形。

师：有没有想过这样一个问题：每个三角形有3条边，两个三角形，最后拼成一个三角肜还是3条边——

生：有的边拼的时候消失了。

师：我这里有一个算式——板书（1+l=？）

生（激动地）：这里1加1等于0！

生（更加激动地）：这里有l加l等于1！

生：还有的1加1还是等于2！

师（故作疑惑）：l+l=？怎么会有这么多的结果？能解释一下吗？

生：拼合在一起的两条直角边最后在图形内了：l+1=0；另外两条直角边拼合形成了一条边：1+l=1；两条斜边还是作为新三角形的两条边：l+l=2！

生：只有把相同直角边拼在一起，一组直角边消失了，另一组合并成了一条边。

生：一副三角尺有三条不同的直角边，所以有三种不同的拼法。

生：相同三角尺的两条斜边相等，拼成的三角形都是等腰三角形！

通过以上“四做”，学生对用三角尺拼大三角形从“表面”进入“深层”，从“偶然”走向“必然”，形象思维和逻辑思维在这个过程中作为两种不同的思维方式相互联系起来。

拼角的活动，首先引起了学生的形象思维，因为形象思维依靠表象进行联想，思维常常具有跳跃性，有利于创新，但缺乏条理。当老师引导学生从三角“形”转向边的“数”后，他们的逻辑思维一下子就被激发起来，在“l+1=？”的启示下，“非代数”地理解了怎样用两块完全相同的三角尺拼大三角形的真谛，然后能概括出拼

的所有可能，以至于概括出拼成三角形都是等腰三角形的共同特征。

这里，

“l+l=？”以“数”的简洁，反映“形”的内在关系，“数形结合”的方法起着联系形象思维和逻辑思维的桥梁作用，数学知识在数形结合的基础上逐步抽象概括，上升为理性，从而提高了学生的认识水平。

二、利用“数形结合”，使抽象问题为直观化。

小学生大多主要是凭借事物的具体形象来进行直观思维活动的。

但是，在解决问题时，数量关系通常要用抽象思维去理解。为了解决这一矛盾，可以把抽象的数量关系用直观的图形表示出来。如：一个长方形长增加1.5米，或宽增加1.2米，面积都增加6平方米，求原长方形的面积。根据题意可画出上图：从图中可以看出，原长方形的长为：6÷1.2=5（米），原长方形的宽为：6÷1.5=4（米），因此原长方形的面积为：5×4=20（平方米）。这样，充分利用图形，可以把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，从而丰富学生的表象。

三、利用“数形结合”，使隐含信息为明显化。

在解决数学问题时，有些条件是隐含在题干背后的，不容易被发现或直接运用，因此挖掘出隐含条件是成功解题的关键。有时画出直观图形，就可以使隐含的条件立刻显现出来。

如：小明从前数排在第7，从后面数也排在第7，这排共有多少人？

此题学生很容易得出有14人这一错误的结论，这时可以引导学生来画一画。如果用口代表小明，O代表其他学生，那么可以得到：OOOOOO口OOOOOO。这时再让学生来数一数，就可以得出正确的答案是13人。

其实这道题对于一年级的学生来说很难理解，尤其是通过题干上的数字不能直接计算出答案，也就是存在一些隐含的条件，而采用画一画的方法就可以使这类问题迎刃而解。解决实际问题历来就是小学数学教学的重点和难点，学生往往在课堂上学懂的知识在运用时却又茫然失措，这主要是因为学生欠缺一些数学思想方法。如果教师在教学中注重“数形结合”思想的渗透，把数量关系用最恰当、最清晰的图形表示出来，就能使学生学会有效的思维方法，从而促进学生解决问题能力.

华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”应用数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.在数学教学中渗透数形结合的思想时，应指导学生根据题意画出图形，同时善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系，从而反映图形中相应的数量关系.总之，教师可以通过各种形式有意识地使学生领会到“数形结合”方法具有形象、直观、易于说明等优点，并初步学会运用“数形结合”的观点去分析问题，解决问题。