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浅析中考数学压轴题解题技巧

2014-11-14原欢春

教育界·上旬 2014年10期
关键词:技巧

原欢春

【摘 要】 初中数学的教育应该从学生的接受能力角度出发,将题目以规律形式表现出来,让学生能有一套自己的解题思路和解题方法。

【关键词】数学中考 解题规律 技巧

一、初中数学中考的复习方案与知识点的串联

根据山东省历年中考的实际情况来看,数学考试的知识点分散较大。考纲虽然明确提出的有148个考点,但是许多考点的考查都是通过知识的串联进行的,有些考点甚至只是作为隐形考点加以考查。

二、以实例探讨中考考题的解题技巧以及解题思想的建立

例题(山东省) 如图1所示,已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)。

(1)求二次函数y = ax2+bx+c的具体表达式并标明图象的对称轴;

(2)现假设点P与点Q分别从B点和O点出发,以每秒0.1个单位长度的速度运动。其中P点沿线段BC向C点运动,Q点从O点沿线段OA向A点运动,当其中一个点到达端点时,另一个也立即停止运动,设最终运动总时间为t(s)。

①要想让四边形ABPQ正好为等腰梯形,那么t应该取何值?

②假设PQ与对称轴交于一点M,过M点作x轴的平行线与AB相交,并设其交点为N,若假设S四边形ANPQ=S,请求出面积S与时间t的函数表达式和t的取值范围;并求出当t为何值时,S取最值(可以为最大值和最小值)。

解:具体分析如图2所示。

(1)由于二次函数y = ax2+bx+c的图象经过C(0,-3),可以得出c=-3,

再将点A与点B的值带入就得到了关于a,b的二元一次方程组,解之可得:a=1 ;b=-2。

二次函数的表达式为:y = x2-2x-3。

注:第一问的解答并不算难,应该要求所有学生掌握。但是对于这种简单的计算,要让学生们注意,不能因为一时马虎而算错数据。而在这个简单的解题之下,包含了哪些内容呢?首先,考查的是函数的定义,以及二元一次方程的计算。

(2)①由题意可得:BP=OQ=0.1t,

由于点B与点C的纵坐标相等,所以BC//OA。

过点B,P分别作垂线BD,PE,垂足为D,E。

题目中要求算出四边形ABPQ为等腰梯形时t的值 (利用这一条件找等式),只有当PQ=AB时可以实现,

即 QE=AD=1,

QE=OE-OQ=2-0.2t=1,

t=5,也就是当t为5时,四边形ABPQ成等腰梯形。

注:这是第二问的解答,可以看得出来,这一题的设计十分巧妙,将几何与解析几何联系在一起出题。当学生看到等腰梯形时,应该首先想到等腰梯形的性质,并根据题目所给的条件看看是否能构造等式。在本题中,这个等式的构造就是等腰梯形的两个腰相等。这就是正确的解题思路,当学生看到这个题目直接考虑腰相等而建立等式时,就已经解开了大半了。根据笔者的系统研究发现,近些年来中考的发展趋势主要面向学生的空间思考能力和动手能力。

②先设对称轴与BC的交点为F,并设对称轴与x轴的交点为G。

此时可以看出对称轴x=1垂直平分线段BC,也就可以得出: BF=CF=OG=1。

又因为BP=OQ。

所以PF=OG。

再因为∠PMF=∠QMG,可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由条件可得:S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN

而S四边形ABFG= ,S△BPN= t。

所以S= - t.

又因为 BC=2,OA=3,

所以点P运动到C点需要20秒,也就是t的取值范围是0≤t≤20。

那么当t=20时取最小值S=3。

注:第三问的难度稍大,但只要细心也能做得出来,第三问对题目的探索最多,对知识点的应用也最多。具体来看,第三问设计的最大值与最小值的求解,必定会出现取值范围的应用,否则无法判定最大值和最小值,所以当学生看到第三问时,首先能想到利用取值范围解题就可能会直接寻找t的取值,以及t和面积S的具体关系,也就找到了解题的思路。

结束语

综合题目的分析能极大程度地串联不同章节的知识,也就是说分析综合题是提升学生解题技巧的方法之一。

【参考文献】

[1] 解婉贞.圆“满”的结局——谈数学中考圆运动的动态问题之一[J].考试周刊,2012(80):3-5.

[2] 唐煌.谈数学中考综合题的解答[J].初中生辅导,2012(18):9-18.

[3] 赵桂芳.数学中考备考策略[J].基础教育论坛,2012(8):11-12.endprint

【摘 要】 初中数学的教育应该从学生的接受能力角度出发,将题目以规律形式表现出来,让学生能有一套自己的解题思路和解题方法。

【关键词】数学中考 解题规律 技巧

一、初中数学中考的复习方案与知识点的串联

根据山东省历年中考的实际情况来看,数学考试的知识点分散较大。考纲虽然明确提出的有148个考点,但是许多考点的考查都是通过知识的串联进行的,有些考点甚至只是作为隐形考点加以考查。

二、以实例探讨中考考题的解题技巧以及解题思想的建立

例题(山东省) 如图1所示,已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)。

(1)求二次函数y = ax2+bx+c的具体表达式并标明图象的对称轴;

(2)现假设点P与点Q分别从B点和O点出发,以每秒0.1个单位长度的速度运动。其中P点沿线段BC向C点运动,Q点从O点沿线段OA向A点运动,当其中一个点到达端点时,另一个也立即停止运动,设最终运动总时间为t(s)。

①要想让四边形ABPQ正好为等腰梯形,那么t应该取何值?

②假设PQ与对称轴交于一点M,过M点作x轴的平行线与AB相交,并设其交点为N,若假设S四边形ANPQ=S,请求出面积S与时间t的函数表达式和t的取值范围;并求出当t为何值时,S取最值(可以为最大值和最小值)。

解:具体分析如图2所示。

(1)由于二次函数y = ax2+bx+c的图象经过C(0,-3),可以得出c=-3,

再将点A与点B的值带入就得到了关于a,b的二元一次方程组,解之可得:a=1 ;b=-2。

二次函数的表达式为:y = x2-2x-3。

注:第一问的解答并不算难,应该要求所有学生掌握。但是对于这种简单的计算,要让学生们注意,不能因为一时马虎而算错数据。而在这个简单的解题之下,包含了哪些内容呢?首先,考查的是函数的定义,以及二元一次方程的计算。

(2)①由题意可得:BP=OQ=0.1t,

由于点B与点C的纵坐标相等,所以BC//OA。

过点B,P分别作垂线BD,PE,垂足为D,E。

题目中要求算出四边形ABPQ为等腰梯形时t的值 (利用这一条件找等式),只有当PQ=AB时可以实现,

即 QE=AD=1,

QE=OE-OQ=2-0.2t=1,

t=5,也就是当t为5时,四边形ABPQ成等腰梯形。

注:这是第二问的解答,可以看得出来,这一题的设计十分巧妙,将几何与解析几何联系在一起出题。当学生看到等腰梯形时,应该首先想到等腰梯形的性质,并根据题目所给的条件看看是否能构造等式。在本题中,这个等式的构造就是等腰梯形的两个腰相等。这就是正确的解题思路,当学生看到这个题目直接考虑腰相等而建立等式时,就已经解开了大半了。根据笔者的系统研究发现,近些年来中考的发展趋势主要面向学生的空间思考能力和动手能力。

②先设对称轴与BC的交点为F,并设对称轴与x轴的交点为G。

此时可以看出对称轴x=1垂直平分线段BC,也就可以得出: BF=CF=OG=1。

又因为BP=OQ。

所以PF=OG。

再因为∠PMF=∠QMG,可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由条件可得:S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN

而S四边形ABFG= ,S△BPN= t。

所以S= - t.

又因为 BC=2,OA=3,

所以点P运动到C点需要20秒,也就是t的取值范围是0≤t≤20。

那么当t=20时取最小值S=3。

注:第三问的难度稍大,但只要细心也能做得出来,第三问对题目的探索最多,对知识点的应用也最多。具体来看,第三问设计的最大值与最小值的求解,必定会出现取值范围的应用,否则无法判定最大值和最小值,所以当学生看到第三问时,首先能想到利用取值范围解题就可能会直接寻找t的取值,以及t和面积S的具体关系,也就找到了解题的思路。

结束语

综合题目的分析能极大程度地串联不同章节的知识,也就是说分析综合题是提升学生解题技巧的方法之一。

【参考文献】

[1] 解婉贞.圆“满”的结局——谈数学中考圆运动的动态问题之一[J].考试周刊,2012(80):3-5.

[2] 唐煌.谈数学中考综合题的解答[J].初中生辅导,2012(18):9-18.

[3] 赵桂芳.数学中考备考策略[J].基础教育论坛,2012(8):11-12.endprint

【摘 要】 初中数学的教育应该从学生的接受能力角度出发,将题目以规律形式表现出来,让学生能有一套自己的解题思路和解题方法。

【关键词】数学中考 解题规律 技巧

一、初中数学中考的复习方案与知识点的串联

根据山东省历年中考的实际情况来看,数学考试的知识点分散较大。考纲虽然明确提出的有148个考点,但是许多考点的考查都是通过知识的串联进行的,有些考点甚至只是作为隐形考点加以考查。

二、以实例探讨中考考题的解题技巧以及解题思想的建立

例题(山东省) 如图1所示,已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)。

(1)求二次函数y = ax2+bx+c的具体表达式并标明图象的对称轴;

(2)现假设点P与点Q分别从B点和O点出发,以每秒0.1个单位长度的速度运动。其中P点沿线段BC向C点运动,Q点从O点沿线段OA向A点运动,当其中一个点到达端点时,另一个也立即停止运动,设最终运动总时间为t(s)。

①要想让四边形ABPQ正好为等腰梯形,那么t应该取何值?

②假设PQ与对称轴交于一点M,过M点作x轴的平行线与AB相交,并设其交点为N,若假设S四边形ANPQ=S,请求出面积S与时间t的函数表达式和t的取值范围;并求出当t为何值时,S取最值(可以为最大值和最小值)。

解:具体分析如图2所示。

(1)由于二次函数y = ax2+bx+c的图象经过C(0,-3),可以得出c=-3,

再将点A与点B的值带入就得到了关于a,b的二元一次方程组,解之可得:a=1 ;b=-2。

二次函数的表达式为:y = x2-2x-3。

注:第一问的解答并不算难,应该要求所有学生掌握。但是对于这种简单的计算,要让学生们注意,不能因为一时马虎而算错数据。而在这个简单的解题之下,包含了哪些内容呢?首先,考查的是函数的定义,以及二元一次方程的计算。

(2)①由题意可得:BP=OQ=0.1t,

由于点B与点C的纵坐标相等,所以BC//OA。

过点B,P分别作垂线BD,PE,垂足为D,E。

题目中要求算出四边形ABPQ为等腰梯形时t的值 (利用这一条件找等式),只有当PQ=AB时可以实现,

即 QE=AD=1,

QE=OE-OQ=2-0.2t=1,

t=5,也就是当t为5时,四边形ABPQ成等腰梯形。

注:这是第二问的解答,可以看得出来,这一题的设计十分巧妙,将几何与解析几何联系在一起出题。当学生看到等腰梯形时,应该首先想到等腰梯形的性质,并根据题目所给的条件看看是否能构造等式。在本题中,这个等式的构造就是等腰梯形的两个腰相等。这就是正确的解题思路,当学生看到这个题目直接考虑腰相等而建立等式时,就已经解开了大半了。根据笔者的系统研究发现,近些年来中考的发展趋势主要面向学生的空间思考能力和动手能力。

②先设对称轴与BC的交点为F,并设对称轴与x轴的交点为G。

此时可以看出对称轴x=1垂直平分线段BC,也就可以得出: BF=CF=OG=1。

又因为BP=OQ。

所以PF=OG。

再因为∠PMF=∠QMG,可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由条件可得:S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN

而S四边形ABFG= ,S△BPN= t。

所以S= - t.

又因为 BC=2,OA=3,

所以点P运动到C点需要20秒,也就是t的取值范围是0≤t≤20。

那么当t=20时取最小值S=3。

注:第三问的难度稍大,但只要细心也能做得出来,第三问对题目的探索最多,对知识点的应用也最多。具体来看,第三问设计的最大值与最小值的求解,必定会出现取值范围的应用,否则无法判定最大值和最小值,所以当学生看到第三问时,首先能想到利用取值范围解题就可能会直接寻找t的取值,以及t和面积S的具体关系,也就找到了解题的思路。

结束语

综合题目的分析能极大程度地串联不同章节的知识,也就是说分析综合题是提升学生解题技巧的方法之一。

【参考文献】

[1] 解婉贞.圆“满”的结局——谈数学中考圆运动的动态问题之一[J].考试周刊,2012(80):3-5.

[2] 唐煌.谈数学中考综合题的解答[J].初中生辅导,2012(18):9-18.

[3] 赵桂芳.数学中考备考策略[J].基础教育论坛,2012(8):11-12.endprint

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