带有模糊约束的证券投资决策问题

杜雅哲　许玉芬+史丽丽　王晓

[提要] 基于可信性理论，本文建立一类新的带有模糊约束的投资决策模型。然后，利用模型的基本性质将模糊模型转化为一个经典的线性规划模型。最后给出一个证券投资决策问题的实例，并利用Lingo软件进行求解。

关键词：投资决策；模糊约束；线性规划

中图分类号：F83 文献标识码：A

收录日期：2014年7月25日

一、背景介绍

投资决策问题一直都是经济领域的热门问题之一，众多学者利用不同的研究方法在投资决策问题上得到了大量研究成果。例如，钱进（1990）通过全局最优的方法研究投资决策问题。宋军等（2003）建立了一种极小化跟踪投资回报率与目标回报率偏差的多阶段投资决策模型，并将随机模拟、遗传算法和神经网络集成在动态规划之中，设计给出了一种智能化求解方法。卫淑芝（2010）讨论了资产价格在宏观经济以及金融等因素影响下，含有可违约风险债券的连续时间风险敏感度投资决策问题。但是，随着经济的迅速发展，当前的投资决策问题依然面临着巨大的挑战，尤其在不确定性因素的处理方面更显突出。

为了处理投资决策中的各种不确定性因素，众多学者应用随机方法和模糊方法对投资问题进行了大量的研究。本文将主要从模糊优化的角度来研究投资决策问题。自从美国控制论专家Zadeh（1965）提出模糊集理论以来，模糊模型及相应算法得到了迅速发展。期间，Liu和Liu（2002）提出了可信性测度的概念并有效地丰富了现有模糊优化理论。经过十多年的发展，可信性理论已经在社会众多领域得到了广泛的应用。袁国强（2009）基于可信性理论提出了三类模糊生产计划模型并设计了相应的算法对模型进行了求解。鉴于可信性理论地广泛应用，本文首先将基于可信性理论提出一类新的带有模糊约束的投资决策模型；然后，通过模型的性质将模糊投资决策模型转化为线性规划模型；最后，给出一个具体的证券投资决策问题例子来表明所设计模型的实用性。

二、带有模糊约束的投资决策模型

在本文的以下讨论中，假设采用下面的指标和参数。

i=1，2，…，n：投资有价证券的数量；

Ai：第i种有价证券；

ai：第i种有价证券的信用等级；

bi：第i种有价证券的到期年限；

ci：第i种有价证券的到期税前收益率；

xi：投资第i种有价证券的金额；

k：在n种有价证券中选出固定投资的m种有价证券至少所需投资的金额总数；

K：投资者现有的投资金额总数；

a：投资者可以接受的所购证券的平均信用等级；

b：投资者可以接受的最高所购证券的平均到期年限。

使用上面的记号，为了得到带有模糊参数的投资决策模型，本文首先建立以下带有确定性参数的投资决策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （1）

aixi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

这里，约束条件xi≥k表示在需要投资的证券中选出m种证券，使得这些证券的投资总额不少于k；xi≤K表示需要投资证券的总金额数不超过K；bixi≤bxi表示投资者所购证券的平均到期年限不超过b。

在确定性模型（1）中，约束条件aixi≤axi表示投资者所购证券的平均信用等级不超过a。由于有价证券的投资受到各种不确定性因素（例如，银行利率、信用风险、交易风险、操作风险和市场风险等）影响，从而要求投资者在有限的信息条件下要想得到最大的投资利润就必须合理地对各种投资风险进行妥善处理，所以本文将信用等级看作离散型模糊变量，即模糊信用等级ai（？酌）（i=1，2，…，n）。因此，通过以上引入的模糊系数可以建立下面带有模糊参数的投资决策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （2）

Cr？酌ai（？酌）xi≤axi≥0.8

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

由于以上模糊投资决策模型（2）的模糊约束中的可信性水平是0.8，所以根据Bai等（2009）中的相关理论可以将模型（2）转化为下面的线性规划模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （3）

[ai（？酌）]R0.4xi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

这里，[ai（？酌）]R0.4表示sup{t？滋（t）≥0.4}，并且由于模型（3）是一个经典的线性规划问题，从而可以采用经典的线性规划算法进行求解。

三、带有模糊约束的证券投资决策实例

下面将给出一个证券投资决策问题的例子来说明上述模糊投资决策模型的实用性。这里，假设某投资者计划用2，000万元资金进行5种有价证券的投资，并且可供购进的证券、信用等级、到期年限、到期税前收益如表1所示。（表1）

基于以上的数据，下面建立带有模糊约束的证券投资决策模型：

maxcixi

s.t. x2+x4+x5≥800

xi≤2000 （4）

Cr？酌ai（？酌）xi≤1.3xi≥0.8

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

这里，要求第2种、第4种和第5种证券至少要购进800万元；所购证券的平均模糊信用等级不超过a=1.3；所购证券的平均到期年限不超过b=5年。根据模型（2）和模型（3）的转化可以得到下面的线性规划模型：

max 0.043x1+0.03x2+0.033x3+0.025x4+0.023x5

s.t. x2+x3+x4≥800

xi≤2000 （5）

2.1x1+2.2x2+x3+x4+4x5≤1.3xi

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

本文利用Lingo软件对模型（5）进行求解，最后得到模型（5）的最大收益值为65.06636万元，最优解为第1种证券投资546.6364万元；第3种证券投资653.3636万元；第4种证券投资800万元。

主要参考文献：

[1]钱进.全局最优投资决策问题和方法[J].中南财经政法大学学报，1990.3.

[2]宋军，唐万生，张莉.多阶段投资决策问题的一种智能化求解方法[J].系统工程，2003.2.

[3]卫淑芝.考虑可违约风险资产的风险敏感度投资决策问题[J].数学的实践与认识，2010.3.

[4]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and control，1965.8.

[5]袁国强等.基于可信性理论的生产计划期望值模型[J].数学的实践与认识，2009.5.

[提要] 基于可信性理论，本文建立一类新的带有模糊约束的投资决策模型。然后，利用模型的基本性质将模糊模型转化为一个经典的线性规划模型。最后给出一个证券投资决策问题的实例，并利用Lingo软件进行求解。

关键词：投资决策；模糊约束；线性规划

中图分类号：F83 文献标识码：A

收录日期：2014年7月25日

一、背景介绍

投资决策问题一直都是经济领域的热门问题之一，众多学者利用不同的研究方法在投资决策问题上得到了大量研究成果。例如，钱进（1990）通过全局最优的方法研究投资决策问题。宋军等（2003）建立了一种极小化跟踪投资回报率与目标回报率偏差的多阶段投资决策模型，并将随机模拟、遗传算法和神经网络集成在动态规划之中，设计给出了一种智能化求解方法。卫淑芝（2010）讨论了资产价格在宏观经济以及金融等因素影响下，含有可违约风险债券的连续时间风险敏感度投资决策问题。但是，随着经济的迅速发展，当前的投资决策问题依然面临着巨大的挑战，尤其在不确定性因素的处理方面更显突出。

为了处理投资决策中的各种不确定性因素，众多学者应用随机方法和模糊方法对投资问题进行了大量的研究。本文将主要从模糊优化的角度来研究投资决策问题。自从美国控制论专家Zadeh（1965）提出模糊集理论以来，模糊模型及相应算法得到了迅速发展。期间，Liu和Liu（2002）提出了可信性测度的概念并有效地丰富了现有模糊优化理论。经过十多年的发展，可信性理论已经在社会众多领域得到了广泛的应用。袁国强（2009）基于可信性理论提出了三类模糊生产计划模型并设计了相应的算法对模型进行了求解。鉴于可信性理论地广泛应用，本文首先将基于可信性理论提出一类新的带有模糊约束的投资决策模型；然后，通过模型的性质将模糊投资决策模型转化为线性规划模型；最后，给出一个具体的证券投资决策问题例子来表明所设计模型的实用性。

二、带有模糊约束的投资决策模型

在本文的以下讨论中，假设采用下面的指标和参数。

i=1，2，…，n：投资有价证券的数量；

Ai：第i种有价证券；

ai：第i种有价证券的信用等级；

bi：第i种有价证券的到期年限；

ci：第i种有价证券的到期税前收益率；

xi：投资第i种有价证券的金额；

k：在n种有价证券中选出固定投资的m种有价证券至少所需投资的金额总数；

K：投资者现有的投资金额总数；

a：投资者可以接受的所购证券的平均信用等级；

b：投资者可以接受的最高所购证券的平均到期年限。

使用上面的记号，为了得到带有模糊参数的投资决策模型，本文首先建立以下带有确定性参数的投资决策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （1）

aixi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

这里，约束条件xi≥k表示在需要投资的证券中选出m种证券，使得这些证券的投资总额不少于k；xi≤K表示需要投资证券的总金额数不超过K；bixi≤bxi表示投资者所购证券的平均到期年限不超过b。

在确定性模型（1）中，约束条件aixi≤axi表示投资者所购证券的平均信用等级不超过a。由于有价证券的投资受到各种不确定性因素（例如，银行利率、信用风险、交易风险、操作风险和市场风险等）影响，从而要求投资者在有限的信息条件下要想得到最大的投资利润就必须合理地对各种投资风险进行妥善处理，所以本文将信用等级看作离散型模糊变量，即模糊信用等级ai（？酌）（i=1，2，…，n）。因此，通过以上引入的模糊系数可以建立下面带有模糊参数的投资决策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （2）

Cr？酌ai（？酌）xi≤axi≥0.8

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

由于以上模糊投资决策模型（2）的模糊约束中的可信性水平是0.8，所以根据Bai等（2009）中的相关理论可以将模型（2）转化为下面的线性规划模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （3）

[ai（？酌）]R0.4xi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

这里，[ai（？酌）]R0.4表示sup{t？滋（t）≥0.4}，并且由于模型（3）是一个经典的线性规划问题，从而可以采用经典的线性规划算法进行求解。

三、带有模糊约束的证券投资决策实例

下面将给出一个证券投资决策问题的例子来说明上述模糊投资决策模型的实用性。这里，假设某投资者计划用2，000万元资金进行5种有价证券的投资，并且可供购进的证券、信用等级、到期年限、到期税前收益如表1所示。（表1）

基于以上的数据，下面建立带有模糊约束的证券投资决策模型：

maxcixi

s.t. x2+x4+x5≥800

xi≤2000 （4）

Cr？酌ai（？酌）xi≤1.3xi≥0.8

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

这里，要求第2种、第4种和第5种证券至少要购进800万元；所购证券的平均模糊信用等级不超过a=1.3；所购证券的平均到期年限不超过b=5年。根据模型（2）和模型（3）的转化可以得到下面的线性规划模型：

max 0.043x1+0.03x2+0.033x3+0.025x4+0.023x5

s.t. x2+x3+x4≥800

xi≤2000 （5）

2.1x1+2.2x2+x3+x4+4x5≤1.3xi

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

本文利用Lingo软件对模型（5）进行求解，最后得到模型（5）的最大收益值为65.06636万元，最优解为第1种证券投资546.6364万元；第3种证券投资653.3636万元；第4种证券投资800万元。

主要参考文献：

[1]钱进.全局最优投资决策问题和方法[J].中南财经政法大学学报，1990.3.

[2]宋军，唐万生，张莉.多阶段投资决策问题的一种智能化求解方法[J].系统工程，2003.2.

[3]卫淑芝.考虑可违约风险资产的风险敏感度投资决策问题[J].数学的实践与认识，2010.3.

[4]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and control，1965.8.

[5]袁国强等.基于可信性理论的生产计划期望值模型[J].数学的实践与认识，2009.5.

[提要] 基于可信性理论，本文建立一类新的带有模糊约束的投资决策模型。然后，利用模型的基本性质将模糊模型转化为一个经典的线性规划模型。最后给出一个证券投资决策问题的实例，并利用Lingo软件进行求解。

关键词：投资决策；模糊约束；线性规划

中图分类号：F83 文献标识码：A

收录日期：2014年7月25日

一、背景介绍

投资决策问题一直都是经济领域的热门问题之一，众多学者利用不同的研究方法在投资决策问题上得到了大量研究成果。例如，钱进（1990）通过全局最优的方法研究投资决策问题。宋军等（2003）建立了一种极小化跟踪投资回报率与目标回报率偏差的多阶段投资决策模型，并将随机模拟、遗传算法和神经网络集成在动态规划之中，设计给出了一种智能化求解方法。卫淑芝（2010）讨论了资产价格在宏观经济以及金融等因素影响下，含有可违约风险债券的连续时间风险敏感度投资决策问题。但是，随着经济的迅速发展，当前的投资决策问题依然面临着巨大的挑战，尤其在不确定性因素的处理方面更显突出。

为了处理投资决策中的各种不确定性因素，众多学者应用随机方法和模糊方法对投资问题进行了大量的研究。本文将主要从模糊优化的角度来研究投资决策问题。自从美国控制论专家Zadeh（1965）提出模糊集理论以来，模糊模型及相应算法得到了迅速发展。期间，Liu和Liu（2002）提出了可信性测度的概念并有效地丰富了现有模糊优化理论。经过十多年的发展，可信性理论已经在社会众多领域得到了广泛的应用。袁国强（2009）基于可信性理论提出了三类模糊生产计划模型并设计了相应的算法对模型进行了求解。鉴于可信性理论地广泛应用，本文首先将基于可信性理论提出一类新的带有模糊约束的投资决策模型；然后，通过模型的性质将模糊投资决策模型转化为线性规划模型；最后，给出一个具体的证券投资决策问题例子来表明所设计模型的实用性。

二、带有模糊约束的投资决策模型

在本文的以下讨论中，假设采用下面的指标和参数。

i=1，2，…，n：投资有价证券的数量；

Ai：第i种有价证券；

ai：第i种有价证券的信用等级；

bi：第i种有价证券的到期年限；

ci：第i种有价证券的到期税前收益率；

xi：投资第i种有价证券的金额；

k：在n种有价证券中选出固定投资的m种有价证券至少所需投资的金额总数；

K：投资者现有的投资金额总数；

a：投资者可以接受的所购证券的平均信用等级；

b：投资者可以接受的最高所购证券的平均到期年限。

使用上面的记号，为了得到带有模糊参数的投资决策模型，本文首先建立以下带有确定性参数的投资决策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （1）

aixi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

这里，约束条件xi≥k表示在需要投资的证券中选出m种证券，使得这些证券的投资总额不少于k；xi≤K表示需要投资证券的总金额数不超过K；bixi≤bxi表示投资者所购证券的平均到期年限不超过b。

在确定性模型（1）中，约束条件aixi≤axi表示投资者所购证券的平均信用等级不超过a。由于有价证券的投资受到各种不确定性因素（例如，银行利率、信用风险、交易风险、操作风险和市场风险等）影响，从而要求投资者在有限的信息条件下要想得到最大的投资利润就必须合理地对各种投资风险进行妥善处理，所以本文将信用等级看作离散型模糊变量，即模糊信用等级ai（？酌）（i=1，2，…，n）。因此，通过以上引入的模糊系数可以建立下面带有模糊参数的投资决策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （2）

Cr？酌ai（？酌）xi≤axi≥0.8

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

由于以上模糊投资决策模型（2）的模糊约束中的可信性水平是0.8，所以根据Bai等（2009）中的相关理论可以将模型（2）转化为下面的线性规划模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （3）

[ai（？酌）]R0.4xi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

这里，[ai（？酌）]R0.4表示sup{t？滋（t）≥0.4}，并且由于模型（3）是一个经典的线性规划问题，从而可以采用经典的线性规划算法进行求解。

三、带有模糊约束的证券投资决策实例

下面将给出一个证券投资决策问题的例子来说明上述模糊投资决策模型的实用性。这里，假设某投资者计划用2，000万元资金进行5种有价证券的投资，并且可供购进的证券、信用等级、到期年限、到期税前收益如表1所示。（表1）

基于以上的数据，下面建立带有模糊约束的证券投资决策模型：

maxcixi

s.t. x2+x4+x5≥800

xi≤2000 （4）

Cr？酌ai（？酌）xi≤1.3xi≥0.8

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

这里，要求第2种、第4种和第5种证券至少要购进800万元；所购证券的平均模糊信用等级不超过a=1.3；所购证券的平均到期年限不超过b=5年。根据模型（2）和模型（3）的转化可以得到下面的线性规划模型：

max 0.043x1+0.03x2+0.033x3+0.025x4+0.023x5

s.t. x2+x3+x4≥800

xi≤2000 （5）

2.1x1+2.2x2+x3+x4+4x5≤1.3xi

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

本文利用Lingo软件对模型（5）进行求解，最后得到模型（5）的最大收益值为65.06636万元，最优解为第1种证券投资546.6364万元；第3种证券投资653.3636万元；第4种证券投资800万元。

主要参考文献：

[1]钱进.全局最优投资决策问题和方法[J].中南财经政法大学学报，1990.3.

[2]宋军，唐万生，张莉.多阶段投资决策问题的一种智能化求解方法[J].系统工程，2003.2.

[3]卫淑芝.考虑可违约风险资产的风险敏感度投资决策问题[J].数学的实践与认识，2010.3.

[4]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and control，1965.8.

[5]袁国强等.基于可信性理论的生产计划期望值模型[J].数学的实践与认识，2009.5.