弹簧振动周期研究

邱伟

摘 要：该文先通过对弹簧质量被忽略和不被忽略两种情况的研究得出弹簧周期的理论公式，再通过实验（弹簧质量小于振子质量）计算出m前的系数约为0.3～0.35，与理论值相符。实际弹簧振子的运动并不是总是简谐运动，它只有在其他级别（n>1）的振动可以忽略的情况下，才能将弹簧的运动看作简谐运动。其他情况的振动的强弱取决于弹簧质量与弹簧振子质量的比值。

关键词：弹簧质量 弹簧振子 周期

中图分类号：I206.7 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（a）-0207-04

在弹簧质量不可以忽略时对弹簧振子周期的影响，有大批人士从不同角度加以研究[1-10]，他们将弹簧视作质量均匀的介质，或利用波动方程[1-2]，或将弹簧看作一系列离散化的小的弹簧振子进行研究[6-7]。在相同相位，且振幅和平衡位置成正比的情况下都得出弹簧振子周期T=，k为弹簧劲度系数，M为弹簧振子质量，m为弹簧质量，附加到弹簧振子的m/3叫弹簧的有效质量。我们是否也可以猜测弹簧振子的振动模式存在差异？各种模式的振动频率之间也都不成有理数的倍数关系[8]？文献[9]对弹簧质量m/3修正的问题存在异议，有的认为1/3仅仅是0.346的近似值。文献[3]采用最优化及多元线性回归，并根据实验数据得。文献[4]依据能量分析方法得出有效质量应该介于m/3～m/2之间，同时引入有效弹性常量介于之间。文献[1，2，7]指出存在无穷多的振子，其满足。本文分别探究了不考虑弹簧质量时，和考虑弹簧质量时，这两种情况下产生的差异以及影响，同时还进一步分析了实际弹簧振子周期和理论值得差异，更完善的研究了弹簧振子的振动规律。

1 未考虑弹簧质量（理想弹簧）的弹簧振子周期

如图1所示，当未考虑弹簧质量时，弹簧的原长为，末端系一个质量为振动物体。假设水平面是光滑的，没有摩擦，弹簧和振动物体在放在水平面上，物体受到的力是回复力，物体做往复的周期性运动。其运动过程中忽略空气摩擦阻力的影响。在下图中：①图弹簧未伸长，静止在水平面上，物体受力。②图弹簧向右运动，弹簧伸长x，物体受力为。③图弹簧未伸长静止在水平面上，物体受力。④图弹簧向左运动，被压缩x，物体受力。其中负号（-）表示物体受力与运动方向相反。选弹簧运动的一个周期为研究条件。在一个周期中，如果弹簧所受的力超过了弹簧的最大的承受力，弹簧将受到损坏，将失去它的周期性能。因此在做研究时，要保证弹簧所受的力在正常范围内，这也是保证研究结果能正确的一个先决条件。对于物体，当弹簧所受的力在正常范围内时，由牛顿第一定律可知，式⑴其中为弹簧的劲度系数。我们将⑴式转化一下，用除⑴式，设，和都一定时，对于弹簧振子来说，为常数，所以⑴式可以改写为式⑵，⑵式为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征根为解特征根方程得到：第一个解为，第二个解为。则⑵式的通解为：令则通解变为，

，为初相，A为振幅。又根据正弦函数的周期性得：和的运动形式完全一样。而和即在t时刻和时刻，振子的运动是一样的。所以是振动周期，用T来表示T=因为所以，⑶，⑶式就是在不考虑弹簧质量的情况下得出的弹簧振子周期公式（图1）。

2 考虑弹簧质量后弹簧振子的周期

如图2所示，假设弹簧质量为，弹簧的自然长度为，物体任然在水平面上振动。弹簧是均匀的其质量也是均匀分布的。假设任一点到点的距离为s，（0≤s≤l）。

假设到d之间有一个弹簧元，它的质量是：如果弹簧振子产生了一个的位移，dM也将发生一个位移。如果把dM的位移和的位移相比，很容易得到dM的位移远小于的结果（其中的位移对应的是整个弹簧的伸长量，dM的位移只是对应弹簧中任一点到o点的伸长量）。又因为0≤s≤l，所以dM的位移必然小于的位移。为了简单合理的计算出dM的位移，我们假定弹簧各部分所发生的位移与它们到固定点o的距离成正比。则dM发生的位移当时，，即为位移；当时，，即为固定点所在位置；显然是符合的。下面我们计算dM这一小段弹簧元的动能：将上式两边

积分，右边只对积分，其余看作常数，便可使弹簧在任意给定时刻的总动能为：其系统的总

能量为：

即：式⑷，式，为弹簧振子的弹性势能。⑷式和忽略弹簧质量时的能量表达式一样。未考虑弹簧质量时，系统的能量表达式为：式⑸，而其微分式为：周期是：对比分析，我们可以得到，考虑弹簧质量后的运动微分式：式⑹，将除⑹式两边，并设，k和都一定时，对于弹簧振子来说，为常数，所以⑴式可以改写为式⑺，⑺式为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征根为解特征根方程得到：第一个解为，第二个解为。

⑺式的通解为： 令则通解变即

，为初相，A为振幅。又根据正弦函数的周期性得：和的运动形式完全样，而和即在t时刻和时刻振子的运动是一样的。振动周期因为所以因此式⑻即式⑼由此得出考慮了弹簧质量后的弹簧振子周期公式。其值大于未考虑弹簧质量时的周期。这个公式我们也可以看成是在的基础上加上后得出来的周期公式。

3 雷利法进一步论证

前面已经求证出不忽略弹簧质量时的振子周期公式，为了使结论具有更可靠性，我们可以利用雷利法再次论证一下，验证一下结果是否同样。我们把弹簧看作是均匀的弹性杆，同时只有纵向振动。设弹簧长为L，横截面积为S，其质量为m，在振幅不怎么大的情况下，其密度可以表示为当有外力时，弹簧受力，

伸长，可以算的劲度系数：。又根据杨氏模量E的定义：，将式带入式可以得到，。弹性杆做纵向运动时，其波动方程可以表示为，如（图3）：

E为杨氏模量，为弹簧密度，x为弹簧上一点到原点y的位移。根据前面的密度表达式，可以将波动方程化为：其中现在考虑边界条件，当弹簧没有位移时得到一个边界条件⑴由于M的运动由弹簧的弹性力决定，依据牛顿第二定律： 消

去E后可以得到另外一个边界条件：⑵时，，采用

分离变量法可以解满足以上两个边界条件的波动方程。令，将波动方程化，它们

等于一个与和无关的常数。即：，可以

将这个方程化为两方程。①和②解①和②得和

，将和带入波动方程可以解根据边界条

件⑴得，

进而推出

再根据边界条件⑵

带入式，依据此式得到：，其中，又可以化为这是一个超越方程，可以用如（图4）求解。

图中标出的是的前三个解，假如<，用级数展开的右边解。在时。

取前面两项得

，从这个式子我们可以得到，，进而，所以弹簧振子周期为，得出的结果和前面讨论的一样。下表是对不同的值，式所引起的误差（表1）。

4 实际弹簧振子的周期

如果弹簧的长度比较长，而且质量和弹簧振子的质量相差不多。在这种情况下，对弹簧的周期性研究变得更复杂了。此时，弹簧的变化并非是呈线性变化，要解决实际弹簧振子的周期可以借助弹簧的纵波解来辅助研究。根据纵波的传播方程，我们可以得到考虑弹簧质量时运动方程实际上是由多个简谐振动合成的，其运动方程如下：其中，，

，n=1，2，3，4，5……是超越方程的根，是弹簧的原长，M是弹簧振子的质量，m是弹簧的质量。由此结论，可以得出弹簧振子的运动并不是总是简谐运动，它只有在其他级别（n>1）的振动可以忽略的情况下，才能将弹簧的运动看作简谐运动。其他情况的振动的强弱取决于弹簧质量与弹簧振子质量的比值。例如，可以求得第一级振动的振幅是第二级的约5000倍，更远大于第三极等更高级的振动，所以这时弹簧振子的运动可近似看作简谐运动，此时弹簧振子的周期为弹簧的质量折算为弹簧振子的等效质量0.3 m。当时，第一级的振动的振幅是第二级的约80倍，第一级振动还是远大于其他级振动，因此，还可以当做简谐运动，此时周期为即，弹簧的质量折算为弹簧振子的等效质量为0.35 m。

5 讨论

为了验证实际中的弹簧振子周期m的系数通常是否约为0.30～0.35，我们通过实验可以证得。我们做了一个竖直振动实验，如下图的力传感器：M=20 g，取为弹簧振子质量，k=2 N/m，取为弹簧的劲度系数（表1、2）。

在（图5）中，将力传感器系于弹簧上。传感器将根据弹簧上下振动的振幅，测得力后，将数据传给计算機。经过计算机计算后，得到弹簧振子的周期。

在上面的两个表中，在弹簧质量和劲度系数不变的情况下，我们测得了实验周期的最小值和最大值。根据周期公式其中n为m的系数。将实验测得的两表中的周期T，弹簧振子质量M，弹簧质量m，劲度系数k，代入公式，计算后分别得出表一的n约为0.294，表二中n约为0.346。虽然实验过程中存在一些误差，但这些误差是不可避免的。我们可以看出n的值非常接近0.3和0.35。这说明我们的理论推论是正确的。

6 结语

对于弹簧振子的周期研究，当不考虑弹簧的质量时得出的周期公式②当计及弹簧质量时的周期公式是 。第一种情况只有在M很大远远超过m时，m可以忽略时才可以使用。而第二种情况则是在M和m相差不大，m不可以忽略的情况下使用，我们可以把这种情况看作是在M的基础上加上m/3。当然这两种情况都把空气摩擦、材料因素等次要因素都忽略了。在实际中，在弹簧质量不可忽略的情况下弹簧振子周期公式中m前的系数n约在0.30～0.35之间而不是1/3。这是因为实验时存在空气摩擦阻力等因素的影响而不同。

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