解题反思，学好数学的重要途径

在平时学习中，我们常遇到这样的情况：“这种题型讲过n次，可考试时还是错了！”究其原因，主要是因为我们为解题而解题，只重视解题的结果和数量，而不重视解题后的反思，更不重视思维能力的培养.通过反思，我们对解题的科学性、正确性、深层性有了更深的认识，既能牢固掌握知识，也能提高自己的解题能力.

一、反思解题的完善性，培养思维的深刻性

有的同学解完题后，没有进行题后反思的习惯，不静下心反思解题的方法、过程、变式，更没有反思解题过程是否完善或者存在某个因素是否考虑，导致答案遗漏或解题错误，这种只重结果和数量的低效解题是同学们中一种严重的弊端，值得每一位同学重视.相反，如果我们能够在解题后对解题的过程是否完善进行反思，不但可以减少错误，而且更能有效地培养我们思维的深刻性.

例1 设集合A={xx2-3x-10≤0}，B={xm+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围.

解：因为A={xx2-3x-10≤0}={x-2≤x≤5}，且A∪B=A，所以B？哿A.

又m+1≤2m-1，2m-1≤5，m+1≥-2，

解得：2≤m≤3，

所以，m的取值范围是[2，3].

由A∪B=A，有B？哿A，在进行运算时，只考虑了B≠ ，而忽略B= 的情况，因此解题的过程并不完善，导致结果错误，必须补上B= 的情形，m+1>2m-1，得m<2，得到m的取值范围是（-∞，3].

二、反思解题方法的多样性，培养思维的广阔性

高中数学知识模块纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归.这样即使一次解题合理正确，也不能保证解题思路就是最佳的.应进一步进行解题反思，探求一题多解和多题一解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹.一题多解，各种解法可能会用到不同的知识点、不同的解法技巧.同时同一种解法又能解决很多问题，然后比较众多解法中哪一种最简洁、最合理？把本题的解法和结论加以推广，这样既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又能得出一般方法和思路.在解题反思中要善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题.

例2 设P（x，y）是圆x2+y2=1上的任意一点，求u= 的最大值.

反思1：u= 与斜率公式结构相似，马上联想到u= 可看成圆上的点P（x，y）与点A（-1，2）连线的斜率，从而转化为求直线PA的斜率的最大值，由数形结合可知，当直线PA与圆相切时，斜率最大（另一条切线的斜率不存在），易求得切线的斜率为k=- ，所以umax= - .

反思2：联想函数与方程，由u= 得y-2=u（x+1），这是一条直线方程，根据题意，此直线与圆有公共点，因此y-2=u（x+1），x2+y2=1有解，消去y得（u2+1）x2+（2u2+4u）x+u2+4u+3=0，由Δ≥0得u≤- ，即umax=- .

反思3：联想平面几何知识，直线与圆有公共点，故圆心（0，0）到直线的距离d≤1，从而得出u≤- ，即umax=- .

反思4：联想圆的参数方程，由于点P（x，y）在圆上，所以可令x=cosθ，y=sinθ，则u= ，即sinθ-ucosθ=u+2，

所以sin（θ-φ）= （其中tanφ=-u）. 利用正弦函数的有界性，得出u≤- ，即umax=- .

三、反思解题中错误的根源，培养思维的批判性

解数学题，出现错误在所难免，出现错误的因素多种多样，有的因为审题不清，有的因为概念模糊，有的因为解题策略有误，有的因为运算量大、计算马虎等，解题出现错误并不可怕，关键是要重视错误，反思错误，找出错误的地方，是由于什么原因导致的，如何改正，给学生一个对基础知识重新理解的机会，使学生在纠错的过程中牢牢掌握基础知识，在反思中不断得到提高.

例3 已知圆的方程x2+y2+2x+ky+k2=0和某一定点P（1，1），要使过点P所作圆的切线有两条，求k的取值范围.

解：圆的方程可变为：（x+1）2+y+ = ，所以圆心坐标为-1，- ，半径r= . 因为过P点要作圆的两条切线，所以P点在圆外，即 > ，得到：k2+k+4>0？圯k+ + >0.

又对k∈R，k+ + >0恒成立，所以，k的取值范围是R.

反思本例的解题错误，是由于对圆的一般方程这一概念不够清楚，因为方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆，也可能是一个点或没有图形，只有化成标准形式：

x+ +y+ = （D2+E2-4F），且D2+E2-4F>0时，此方程才表示圆，此题正是由于忽视这个条件导致错误，因此，必须同时满足

4-3k2>0， > ，

解得：-

在平时学习中，我们常遇到这样的情况：“这种题型讲过n次，可考试时还是错了！”究其原因，主要是因为我们为解题而解题，只重视解题的结果和数量，而不重视解题后的反思，更不重视思维能力的培养.通过反思，我们对解题的科学性、正确性、深层性有了更深的认识，既能牢固掌握知识，也能提高自己的解题能力.

一、反思解题的完善性，培养思维的深刻性

有的同学解完题后，没有进行题后反思的习惯，不静下心反思解题的方法、过程、变式，更没有反思解题过程是否完善或者存在某个因素是否考虑，导致答案遗漏或解题错误，这种只重结果和数量的低效解题是同学们中一种严重的弊端，值得每一位同学重视.相反，如果我们能够在解题后对解题的过程是否完善进行反思，不但可以减少错误，而且更能有效地培养我们思维的深刻性.

例1 设集合A={xx2-3x-10≤0}，B={xm+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围.

解：因为A={xx2-3x-10≤0}={x-2≤x≤5}，且A∪B=A，所以B？哿A.

又m+1≤2m-1，2m-1≤5，m+1≥-2，

解得：2≤m≤3，

所以，m的取值范围是[2，3].

由A∪B=A，有B？哿A，在进行运算时，只考虑了B≠ ，而忽略B= 的情况，因此解题的过程并不完善，导致结果错误，必须补上B= 的情形，m+1>2m-1，得m<2，得到m的取值范围是（-∞，3].

二、反思解题方法的多样性，培养思维的广阔性

高中数学知识模块纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归.这样即使一次解题合理正确，也不能保证解题思路就是最佳的.应进一步进行解题反思，探求一题多解和多题一解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹.一题多解，各种解法可能会用到不同的知识点、不同的解法技巧.同时同一种解法又能解决很多问题，然后比较众多解法中哪一种最简洁、最合理？把本题的解法和结论加以推广，这样既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又能得出一般方法和思路.在解题反思中要善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题.

例2 设P（x，y）是圆x2+y2=1上的任意一点，求u= 的最大值.

反思1：u= 与斜率公式结构相似，马上联想到u= 可看成圆上的点P（x，y）与点A（-1，2）连线的斜率，从而转化为求直线PA的斜率的最大值，由数形结合可知，当直线PA与圆相切时，斜率最大（另一条切线的斜率不存在），易求得切线的斜率为k=- ，所以umax= - .

反思2：联想函数与方程，由u= 得y-2=u（x+1），这是一条直线方程，根据题意，此直线与圆有公共点，因此y-2=u（x+1），x2+y2=1有解，消去y得（u2+1）x2+（2u2+4u）x+u2+4u+3=0，由Δ≥0得u≤- ，即umax=- .

反思3：联想平面几何知识，直线与圆有公共点，故圆心（0，0）到直线的距离d≤1，从而得出u≤- ，即umax=- .

反思4：联想圆的参数方程，由于点P（x，y）在圆上，所以可令x=cosθ，y=sinθ，则u= ，即sinθ-ucosθ=u+2，

所以sin（θ-φ）= （其中tanφ=-u）. 利用正弦函数的有界性，得出u≤- ，即umax=- .

三、反思解题中错误的根源，培养思维的批判性

解数学题，出现错误在所难免，出现错误的因素多种多样，有的因为审题不清，有的因为概念模糊，有的因为解题策略有误，有的因为运算量大、计算马虎等，解题出现错误并不可怕，关键是要重视错误，反思错误，找出错误的地方，是由于什么原因导致的，如何改正，给学生一个对基础知识重新理解的机会，使学生在纠错的过程中牢牢掌握基础知识，在反思中不断得到提高.

例3 已知圆的方程x2+y2+2x+ky+k2=0和某一定点P（1，1），要使过点P所作圆的切线有两条，求k的取值范围.

解：圆的方程可变为：（x+1）2+y+ = ，所以圆心坐标为-1，- ，半径r= . 因为过P点要作圆的两条切线，所以P点在圆外，即 > ，得到：k2+k+4>0？圯k+ + >0.

又对k∈R，k+ + >0恒成立，所以，k的取值范围是R.

反思本例的解题错误，是由于对圆的一般方程这一概念不够清楚，因为方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆，也可能是一个点或没有图形，只有化成标准形式：

x+ +y+ = （D2+E2-4F），且D2+E2-4F>0时，此方程才表示圆，此题正是由于忽视这个条件导致错误，因此，必须同时满足

4-3k2>0， > ，

解得：-

在平时学习中，我们常遇到这样的情况：“这种题型讲过n次，可考试时还是错了！”究其原因，主要是因为我们为解题而解题，只重视解题的结果和数量，而不重视解题后的反思，更不重视思维能力的培养.通过反思，我们对解题的科学性、正确性、深层性有了更深的认识，既能牢固掌握知识，也能提高自己的解题能力.

一、反思解题的完善性，培养思维的深刻性

有的同学解完题后，没有进行题后反思的习惯，不静下心反思解题的方法、过程、变式，更没有反思解题过程是否完善或者存在某个因素是否考虑，导致答案遗漏或解题错误，这种只重结果和数量的低效解题是同学们中一种严重的弊端，值得每一位同学重视.相反，如果我们能够在解题后对解题的过程是否完善进行反思，不但可以减少错误，而且更能有效地培养我们思维的深刻性.

例1 设集合A={xx2-3x-10≤0}，B={xm+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围.

解：因为A={xx2-3x-10≤0}={x-2≤x≤5}，且A∪B=A，所以B？哿A.

又m+1≤2m-1，2m-1≤5，m+1≥-2，

解得：2≤m≤3，

所以，m的取值范围是[2，3].

由A∪B=A，有B？哿A，在进行运算时，只考虑了B≠ ，而忽略B= 的情况，因此解题的过程并不完善，导致结果错误，必须补上B= 的情形，m+1>2m-1，得m<2，得到m的取值范围是（-∞，3].

二、反思解题方法的多样性，培养思维的广阔性

高中数学知识模块纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归.这样即使一次解题合理正确，也不能保证解题思路就是最佳的.应进一步进行解题反思，探求一题多解和多题一解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹.一题多解，各种解法可能会用到不同的知识点、不同的解法技巧.同时同一种解法又能解决很多问题，然后比较众多解法中哪一种最简洁、最合理？把本题的解法和结论加以推广，这样既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又能得出一般方法和思路.在解题反思中要善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题.

例2 设P（x，y）是圆x2+y2=1上的任意一点，求u= 的最大值.

反思1：u= 与斜率公式结构相似，马上联想到u= 可看成圆上的点P（x，y）与点A（-1，2）连线的斜率，从而转化为求直线PA的斜率的最大值，由数形结合可知，当直线PA与圆相切时，斜率最大（另一条切线的斜率不存在），易求得切线的斜率为k=- ，所以umax= - .

反思2：联想函数与方程，由u= 得y-2=u（x+1），这是一条直线方程，根据题意，此直线与圆有公共点，因此y-2=u（x+1），x2+y2=1有解，消去y得（u2+1）x2+（2u2+4u）x+u2+4u+3=0，由Δ≥0得u≤- ，即umax=- .

反思3：联想平面几何知识，直线与圆有公共点，故圆心（0，0）到直线的距离d≤1，从而得出u≤- ，即umax=- .

反思4：联想圆的参数方程，由于点P（x，y）在圆上，所以可令x=cosθ，y=sinθ，则u= ，即sinθ-ucosθ=u+2，

所以sin（θ-φ）= （其中tanφ=-u）. 利用正弦函数的有界性，得出u≤- ，即umax=- .

三、反思解题中错误的根源，培养思维的批判性

解数学题，出现错误在所难免，出现错误的因素多种多样，有的因为审题不清，有的因为概念模糊，有的因为解题策略有误，有的因为运算量大、计算马虎等，解题出现错误并不可怕，关键是要重视错误，反思错误，找出错误的地方，是由于什么原因导致的，如何改正，给学生一个对基础知识重新理解的机会，使学生在纠错的过程中牢牢掌握基础知识，在反思中不断得到提高.

例3 已知圆的方程x2+y2+2x+ky+k2=0和某一定点P（1，1），要使过点P所作圆的切线有两条，求k的取值范围.

解：圆的方程可变为：（x+1）2+y+ = ，所以圆心坐标为-1，- ，半径r= . 因为过P点要作圆的两条切线，所以P点在圆外，即 > ，得到：k2+k+4>0？圯k+ + >0.

又对k∈R，k+ + >0恒成立，所以，k的取值范围是R.

反思本例的解题错误，是由于对圆的一般方程这一概念不够清楚，因为方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆，也可能是一个点或没有图形，只有化成标准形式：

x+ +y+ = （D2+E2-4F），且D2+E2-4F>0时，此方程才表示圆，此题正是由于忽视这个条件导致错误，因此，必须同时满足

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解得：-