导数在研究函数中的应用

庄琼兰

导数进入高中教材后，显示了它强大的生命力，可用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题；还可以与函数、不等式、方程、三角函数、数列、解析几何等知识交汇融合.在考查基础知识之上，与导数有关的题往往呈现观点高、应用性强、综合性强的特点.

重点难点

高考对此部分内容的考查主要体现在：①考查导数的简单应用：运用导数解决函数的单调性问题，利用导数解决函数的极值问题，利用导数解决函数的最值问题等；②考查导数的综合应用能力：含参数的函数问题，函数的实际应用，以及和不等式、方程根的分布、解析几何等知识的交汇.

重点：了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求函数在闭区间上的最大值、最小值.

难点：用分类讨论的思想分析解决含参数的函数问题，用数形结合的思想和转化变换的思想研究函数、方程、不等式等知识之间的联系.

方法突破

1. 要重视基础.该部分内容突出一个“用”字，其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，对导数在解决函数单调性、最值、极值等方面的应用，要做到抓主线，攻重点，熟知方法，并不断进行训练. 要注意概念辨析和知识理解，如：①若已知f（x）在区间D上单调递增（减），则转化为不等式f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）在区间D上恒成立，而不是f ′（x）>0（f ′（x）<0）在区间D上恒成立. ②可导函数在极值点的导数值为零，但导数值为零的点未必是极值点. 如函数f（x）=x3在x=0处有f ′（0）=0，但x=0不是函数f（x）=x3的极值点.

2. 要把握思想.高考对导数的基础知识进行考查的同时，还注重考查能力，特别是解导数解答题，往往要站在数学思想方法的高度去考虑问题. 对求解目标的理解应该如何转化，如不等式恒成立问题是否要分离参数，含参数问题是否要分类讨论，能不能用数形结合的思想将抽象的知识变得直观. 数学思想方法是数学知识的高度概括，是把知识转化为能力的体现，由此，对导数中体现出来的数形结合、等价转化等思想方法，要注意提炼出来，总结到位，并不断进行训练.

3.要加强交汇. 注意导数与函数、方程、不等式等知识的交汇. 由导数方法研究方程、不等式时，一般是先构造一个函数，这里要考虑是直接构造，还是转化构造，借助适当的函数形式展开研究. 发挥好导数研究函数问题的工具作用，要把知识与知识相互结合起来，把知识与方法也相互结合起来，以此不断提升解决问题的能力.

4. 对于有些函数问题，若一阶求导不能解决，则可以思考是否需要二阶求导.endprint

导数进入高中教材后，显示了它强大的生命力，可用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题；还可以与函数、不等式、方程、三角函数、数列、解析几何等知识交汇融合.在考查基础知识之上，与导数有关的题往往呈现观点高、应用性强、综合性强的特点.

重点难点

高考对此部分内容的考查主要体现在：①考查导数的简单应用：运用导数解决函数的单调性问题，利用导数解决函数的极值问题，利用导数解决函数的最值问题等；②考查导数的综合应用能力：含参数的函数问题，函数的实际应用，以及和不等式、方程根的分布、解析几何等知识的交汇.

重点：了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求函数在闭区间上的最大值、最小值.

难点：用分类讨论的思想分析解决含参数的函数问题，用数形结合的思想和转化变换的思想研究函数、方程、不等式等知识之间的联系.

方法突破

1. 要重视基础.该部分内容突出一个“用”字，其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，对导数在解决函数单调性、最值、极值等方面的应用，要做到抓主线，攻重点，熟知方法，并不断进行训练. 要注意概念辨析和知识理解，如：①若已知f（x）在区间D上单调递增（减），则转化为不等式f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）在区间D上恒成立，而不是f ′（x）>0（f ′（x）<0）在区间D上恒成立. ②可导函数在极值点的导数值为零，但导数值为零的点未必是极值点. 如函数f（x）=x3在x=0处有f ′（0）=0，但x=0不是函数f（x）=x3的极值点.

2. 要把握思想.高考对导数的基础知识进行考查的同时，还注重考查能力，特别是解导数解答题，往往要站在数学思想方法的高度去考虑问题. 对求解目标的理解应该如何转化，如不等式恒成立问题是否要分离参数，含参数问题是否要分类讨论，能不能用数形结合的思想将抽象的知识变得直观. 数学思想方法是数学知识的高度概括，是把知识转化为能力的体现，由此，对导数中体现出来的数形结合、等价转化等思想方法，要注意提炼出来，总结到位，并不断进行训练.

3.要加强交汇. 注意导数与函数、方程、不等式等知识的交汇. 由导数方法研究方程、不等式时，一般是先构造一个函数，这里要考虑是直接构造，还是转化构造，借助适当的函数形式展开研究. 发挥好导数研究函数问题的工具作用，要把知识与知识相互结合起来，把知识与方法也相互结合起来，以此不断提升解决问题的能力.

4. 对于有些函数问题，若一阶求导不能解决，则可以思考是否需要二阶求导.endprint

导数进入高中教材后，显示了它强大的生命力，可用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题；还可以与函数、不等式、方程、三角函数、数列、解析几何等知识交汇融合.在考查基础知识之上，与导数有关的题往往呈现观点高、应用性强、综合性强的特点.

重点难点

高考对此部分内容的考查主要体现在：①考查导数的简单应用：运用导数解决函数的单调性问题，利用导数解决函数的极值问题，利用导数解决函数的最值问题等；②考查导数的综合应用能力：含参数的函数问题，函数的实际应用，以及和不等式、方程根的分布、解析几何等知识的交汇.

重点：了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求函数在闭区间上的最大值、最小值.

难点：用分类讨论的思想分析解决含参数的函数问题，用数形结合的思想和转化变换的思想研究函数、方程、不等式等知识之间的联系.

方法突破

1. 要重视基础.该部分内容突出一个“用”字，其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，对导数在解决函数单调性、最值、极值等方面的应用，要做到抓主线，攻重点，熟知方法，并不断进行训练. 要注意概念辨析和知识理解，如：①若已知f（x）在区间D上单调递增（减），则转化为不等式f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）在区间D上恒成立，而不是f ′（x）>0（f ′（x）<0）在区间D上恒成立. ②可导函数在极值点的导数值为零，但导数值为零的点未必是极值点. 如函数f（x）=x3在x=0处有f ′（0）=0，但x=0不是函数f（x）=x3的极值点.

2. 要把握思想.高考对导数的基础知识进行考查的同时，还注重考查能力，特别是解导数解答题，往往要站在数学思想方法的高度去考虑问题. 对求解目标的理解应该如何转化，如不等式恒成立问题是否要分离参数，含参数问题是否要分类讨论，能不能用数形结合的思想将抽象的知识变得直观. 数学思想方法是数学知识的高度概括，是把知识转化为能力的体现，由此，对导数中体现出来的数形结合、等价转化等思想方法，要注意提炼出来，总结到位，并不断进行训练.

3.要加强交汇. 注意导数与函数、方程、不等式等知识的交汇. 由导数方法研究方程、不等式时，一般是先构造一个函数，这里要考虑是直接构造，还是转化构造，借助适当的函数形式展开研究. 发挥好导数研究函数问题的工具作用，要把知识与知识相互结合起来，把知识与方法也相互结合起来，以此不断提升解决问题的能力.

4. 对于有些函数问题，若一阶求导不能解决，则可以思考是否需要二阶求导.endprint