二次函数

何晓勤

二次函数是中学代数的重要内容之一.作为一种最基本的初等函数，通过它可以研究函数的许多性质，如单调性、奇偶性、对称性和最值等.二次函数可以与一元二次方程、一元二次不等式综合，并涉及函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的数学思想. 因此，二次函数一直备受高考命题者的“青睐”，成为高考考查的热点.

重点难点

重点：①二次函数的解析式（一般式、顶点式、零点式）的灵活应用；②二次函数的图象及性质的应用，如求最值和研究单调性等；③二次函数与一元二次方程及一元二次不等式之间的关系.

难点：①含参数二次函数在闭区间上的最值问题；②含参数二次函数的零点分布（即含参数一元二次方程根的分布）问题；③三个“二次”的综合问题.

方法突破

1. 二次函数解题的基本方法

（1）认真审题，明确题目考查的方向；利用题目条件，合理选用二次函数的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；顶点式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）为顶点；零点式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；结合二次函数的图象，运用分类讨论、数形结合、等价转化等思想解决最值、取值范围等问题.

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，其与各系数间的关系如下：①a与抛物线的开口方向有关；②c与抛物线在y轴上的截距有关；③-与抛物线的对称轴有关；④b2-4ac与抛物线和x轴交点的个数有关.

2. 二次函数解题的基本策略

（1）二次函数解析式的三种形式中都有三个独立的参数，要通过三个独立条件确定，灵活选用解析式可以优化解题步骤，提高解题效率. 在求解二次函数问题时，一般式用得最多；若涉及二次函数的最值或对称性时紧扣顶点式；若涉及二次函数的零点（或一元二次方程的根）问题时，首选零点式.

（2）研究二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称性时，常常用到如下性质：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则点A（x1， f（x1））与点B（x2， f（x2））关于直线x=-对称，即x1+x2=-.

（3）二次函数在闭区间的最值问题常考三种类型：轴定区间定、轴变区间定、轴定区间变. 无论是哪种类型，解决的关键是确定对称轴与区间的关系. 当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系，结合二次函数的图象和性质，进行分类讨论. 二次函数在闭区间的最值只可能在区间的端点或顶点取得. 若二次函数的二次项系数含参数a，则必须分a>0，a=0，a<0进行第一层的讨论，以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论.

（4）一元二次方程区间根的分布问题通常转化为二次函数的零点分布问题去处理. 解决此类问题需要考虑四个要素：开口方向、判别式、对称轴的位置以及端点函数值的符号.

（5）三个“二次”问题以二次函数为中心，运用二次函数的图象和性质把一元二次方程、一元二次不等式联系起来，要重视代数推理；三个“二次”问题也是研究包含二次曲线等内容的基础工具.endprint

二次函数是中学代数的重要内容之一.作为一种最基本的初等函数，通过它可以研究函数的许多性质，如单调性、奇偶性、对称性和最值等.二次函数可以与一元二次方程、一元二次不等式综合，并涉及函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的数学思想. 因此，二次函数一直备受高考命题者的“青睐”，成为高考考查的热点.

重点难点

重点：①二次函数的解析式（一般式、顶点式、零点式）的灵活应用；②二次函数的图象及性质的应用，如求最值和研究单调性等；③二次函数与一元二次方程及一元二次不等式之间的关系.

难点：①含参数二次函数在闭区间上的最值问题；②含参数二次函数的零点分布（即含参数一元二次方程根的分布）问题；③三个“二次”的综合问题.

方法突破

1. 二次函数解题的基本方法

（1）认真审题，明确题目考查的方向；利用题目条件，合理选用二次函数的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；顶点式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）为顶点；零点式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；结合二次函数的图象，运用分类讨论、数形结合、等价转化等思想解决最值、取值范围等问题.

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，其与各系数间的关系如下：①a与抛物线的开口方向有关；②c与抛物线在y轴上的截距有关；③-与抛物线的对称轴有关；④b2-4ac与抛物线和x轴交点的个数有关.

2. 二次函数解题的基本策略

（1）二次函数解析式的三种形式中都有三个独立的参数，要通过三个独立条件确定，灵活选用解析式可以优化解题步骤，提高解题效率. 在求解二次函数问题时，一般式用得最多；若涉及二次函数的最值或对称性时紧扣顶点式；若涉及二次函数的零点（或一元二次方程的根）问题时，首选零点式.

（2）研究二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称性时，常常用到如下性质：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则点A（x1， f（x1））与点B（x2， f（x2））关于直线x=-对称，即x1+x2=-.

（3）二次函数在闭区间的最值问题常考三种类型：轴定区间定、轴变区间定、轴定区间变. 无论是哪种类型，解决的关键是确定对称轴与区间的关系. 当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系，结合二次函数的图象和性质，进行分类讨论. 二次函数在闭区间的最值只可能在区间的端点或顶点取得. 若二次函数的二次项系数含参数a，则必须分a>0，a=0，a<0进行第一层的讨论，以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论.

（4）一元二次方程区间根的分布问题通常转化为二次函数的零点分布问题去处理. 解决此类问题需要考虑四个要素：开口方向、判别式、对称轴的位置以及端点函数值的符号.

（5）三个“二次”问题以二次函数为中心，运用二次函数的图象和性质把一元二次方程、一元二次不等式联系起来，要重视代数推理；三个“二次”问题也是研究包含二次曲线等内容的基础工具.endprint

二次函数是中学代数的重要内容之一.作为一种最基本的初等函数，通过它可以研究函数的许多性质，如单调性、奇偶性、对称性和最值等.二次函数可以与一元二次方程、一元二次不等式综合，并涉及函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的数学思想. 因此，二次函数一直备受高考命题者的“青睐”，成为高考考查的热点.

重点难点

重点：①二次函数的解析式（一般式、顶点式、零点式）的灵活应用；②二次函数的图象及性质的应用，如求最值和研究单调性等；③二次函数与一元二次方程及一元二次不等式之间的关系.

难点：①含参数二次函数在闭区间上的最值问题；②含参数二次函数的零点分布（即含参数一元二次方程根的分布）问题；③三个“二次”的综合问题.

方法突破

1. 二次函数解题的基本方法

（1）认真审题，明确题目考查的方向；利用题目条件，合理选用二次函数的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；顶点式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）为顶点；零点式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；结合二次函数的图象，运用分类讨论、数形结合、等价转化等思想解决最值、取值范围等问题.

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，其与各系数间的关系如下：①a与抛物线的开口方向有关；②c与抛物线在y轴上的截距有关；③-与抛物线的对称轴有关；④b2-4ac与抛物线和x轴交点的个数有关.

2. 二次函数解题的基本策略

（1）二次函数解析式的三种形式中都有三个独立的参数，要通过三个独立条件确定，灵活选用解析式可以优化解题步骤，提高解题效率. 在求解二次函数问题时，一般式用得最多；若涉及二次函数的最值或对称性时紧扣顶点式；若涉及二次函数的零点（或一元二次方程的根）问题时，首选零点式.

（2）研究二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称性时，常常用到如下性质：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则点A（x1， f（x1））与点B（x2， f（x2））关于直线x=-对称，即x1+x2=-.

（3）二次函数在闭区间的最值问题常考三种类型：轴定区间定、轴变区间定、轴定区间变. 无论是哪种类型，解决的关键是确定对称轴与区间的关系. 当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系，结合二次函数的图象和性质，进行分类讨论. 二次函数在闭区间的最值只可能在区间的端点或顶点取得. 若二次函数的二次项系数含参数a，则必须分a>0，a=0，a<0进行第一层的讨论，以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论.

（4）一元二次方程区间根的分布问题通常转化为二次函数的零点分布问题去处理. 解决此类问题需要考虑四个要素：开口方向、判别式、对称轴的位置以及端点函数值的符号.

（5）三个“二次”问题以二次函数为中心，运用二次函数的图象和性质把一元二次方程、一元二次不等式联系起来，要重视代数推理；三个“二次”问题也是研究包含二次曲线等内容的基础工具.endprint