导数的概念及其几何意义

陈崇荣++杨苍洲

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用. 高考中对导数的概念及其几何意义的考查较简单，主要考查导数的几何意义.

重点难点

高考对导数的概念及其几何意义的考查主要体现在：了解导数的实际背景、概念，知道瞬时变化率就是导数，会用定义法求导数，能解释具体函数在一点的导数的实际意义.会求一些简单函数在某一点处的导数，通过函数的图象直观地理解导数的几何意义，理解曲线在一点的切线的概念，会求简单函数在某点处及过某点处的切线方程.

重点：知道瞬时变化率就是导数，理解导数的几何意义.

难点：体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的过程中采用的逼近思想.

方法突破

1. 理解导数的概念：导数并不只限于瞬时速度、切线的斜率，任何事物的变化率都可以用导数来描述，如增长率、膨胀率、效率、密度等等.

2.曲线在某一点处的切线的定义：设曲线C是函数y=f（x）的图象，在曲线C上取一点P（x0，y0）及邻近一点Q（x0+？驻x，y0+？驻y），过P，Q两点作割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P即？驻x→0时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.

3. 几何意义：函数y=f（x）在点x0处的导数f ′（x0），就是曲线y=f（x）在点P（x0， f（x0））处的切线的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

特别要注意：函数y=f（x）在点x0处的切线与函数y=f（x）过点（m，n）的切线是不一样的. 前者的切线的斜率k等于f ′（x0），后者的斜率k不一定等于f ′（m）.

4.导函数的大小变化与原函数图象之间的关系： 可导函数y=f（x）的导数为f ′（x），若f ′（x）为增函数，则f（x）的图象是凹的；反之，若f ′（x）为减函数，则f（x）的图象是凸的.endprint

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用. 高考中对导数的概念及其几何意义的考查较简单，主要考查导数的几何意义.

重点难点

高考对导数的概念及其几何意义的考查主要体现在：了解导数的实际背景、概念，知道瞬时变化率就是导数，会用定义法求导数，能解释具体函数在一点的导数的实际意义.会求一些简单函数在某一点处的导数，通过函数的图象直观地理解导数的几何意义，理解曲线在一点的切线的概念，会求简单函数在某点处及过某点处的切线方程.

重点：知道瞬时变化率就是导数，理解导数的几何意义.

难点：体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的过程中采用的逼近思想.

方法突破

1. 理解导数的概念：导数并不只限于瞬时速度、切线的斜率，任何事物的变化率都可以用导数来描述，如增长率、膨胀率、效率、密度等等.

2.曲线在某一点处的切线的定义：设曲线C是函数y=f（x）的图象，在曲线C上取一点P（x0，y0）及邻近一点Q（x0+？驻x，y0+？驻y），过P，Q两点作割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P即？驻x→0时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.

3. 几何意义：函数y=f（x）在点x0处的导数f ′（x0），就是曲线y=f（x）在点P（x0， f（x0））处的切线的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

特别要注意：函数y=f（x）在点x0处的切线与函数y=f（x）过点（m，n）的切线是不一样的. 前者的切线的斜率k等于f ′（x0），后者的斜率k不一定等于f ′（m）.

4.导函数的大小变化与原函数图象之间的关系： 可导函数y=f（x）的导数为f ′（x），若f ′（x）为增函数，则f（x）的图象是凹的；反之，若f ′（x）为减函数，则f（x）的图象是凸的.endprint

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用. 高考中对导数的概念及其几何意义的考查较简单，主要考查导数的几何意义.

重点难点

高考对导数的概念及其几何意义的考查主要体现在：了解导数的实际背景、概念，知道瞬时变化率就是导数，会用定义法求导数，能解释具体函数在一点的导数的实际意义.会求一些简单函数在某一点处的导数，通过函数的图象直观地理解导数的几何意义，理解曲线在一点的切线的概念，会求简单函数在某点处及过某点处的切线方程.

重点：知道瞬时变化率就是导数，理解导数的几何意义.

难点：体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的过程中采用的逼近思想.

方法突破

1. 理解导数的概念：导数并不只限于瞬时速度、切线的斜率，任何事物的变化率都可以用导数来描述，如增长率、膨胀率、效率、密度等等.

2.曲线在某一点处的切线的定义：设曲线C是函数y=f（x）的图象，在曲线C上取一点P（x0，y0）及邻近一点Q（x0+？驻x，y0+？驻y），过P，Q两点作割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P即？驻x→0时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.

3. 几何意义：函数y=f（x）在点x0处的导数f ′（x0），就是曲线y=f（x）在点P（x0， f（x0））处的切线的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

特别要注意：函数y=f（x）在点x0处的切线与函数y=f（x）过点（m，n）的切线是不一样的. 前者的切线的斜率k等于f ′（x0），后者的斜率k不一定等于f ′（m）.

4.导函数的大小变化与原函数图象之间的关系： 可导函数y=f（x）的导数为f ′（x），若f ′（x）为增函数，则f（x）的图象是凹的；反之，若f ′（x）为减函数，则f（x）的图象是凸的.endprint