有趣的“数字对称等式”

赵国瑞

在2012年广东省珠海市的中考试卷中，有一道关于“数字对称等式”的趣题，观察下列等式：

12×231=132×21，

13×341=143×31，

23×352=253×32，

34×473=374×43，

62×286=682×26，

……

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。

（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：

①52×_____=_____×25；

②_____×396=693×_____。

（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明。

分析：先观察等式左边两位数和三位数的规律，我们发现：等式左边的三位数的百位和个位数字分别是两位数的个位数字和十位数字，三位数的十位数字等于两位数的十位数字与个位数字之和。再根据式子的对称性，不难写出等式右边的两位数和三位数。

解：（1）①因为5+2=7，所以左边的三位数是275，右边的三位数是572，

所以52×275=572×25；

②因为左边的三位数是396，所以左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×396=693×36。

故答案为：①275，572；②63，36。

（2）因为左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，

所以左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a。

右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b。

所以一般规律的式子为（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。

证明：因为（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）

=（10a+b）（110b+11a）=11（10b+a）（10a+b）；

又因为[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）

=（110a+11b）（10b+a）=11（10b+a）（10a+b）。

所以（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。

上面的“数字对称等式”是两位数与三位数相乘，实际上两位数与两位数相乘也可以得到“数字对称等式”，如23×64=46×32，34×86=68×43。

练习：（1）两位数与两位数相乘的“数字对称等式”有什么规律？

（2）设其中的一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，另一个两位数的十位数字为c，个位数字为d，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明。

（3）请再写出两对“数字对称等式”。

（4）下面是一个“数字对称等式”，但是其中一个数字没有给出来，用一个空白方框代替：12×46□=□64×21。

问：式中“□”所在位置的数字是多少？

练习参考答案

（1）两位数的个位数字的积等于十位数字的积；

（2）如果ac=bd，则（10a+b）（10c+d）=（10d+c）（10b+a）。

证明：（10a+b）（10c+d）=100ac+10ad+10bc+bd，

（10d+c）（10b+a）=100bd+10ad+10bc+ac，

所以（10a+b）（10c+d）-（10d+c）（10b+a）=（100ac+10ad+10bc+bd）-（100bd+10ad+10bc+ac）

=100ac+bd-100bd-ac=99ac-99bd。

因为ac=bd，所以99ac-99bd=0，即（10a+b）（10c+d）-（10d+c）（10b+a）=0。

所以（10a+b）（10c+d）=（10d+c）（10b+a）。

（3）12×63=36×21，23×96=69×32等。

（4）设“□”所在位置的数字是x，那么12×（460+x）=（100x+64）×21，解得x=2。所以，方框中的数字应该是2。通过验证，这时等式左、右两边的积都等于5 544。

当然也可直接利用“数字对称等式”中的数字规律，直接求出“□”所在位置的数字是6-4=2。