例谈几何定理探究的教学策略

潘云超

摘 要：几何定理是初中数学的主要知识领域，有效的教学策略关乎学生数学素养的养成，几何定理探究活动一般经历以下几个步骤：分析知识之间的结构关系，呈现探究内容；分析学生的探究起点，规划探究方案；重视归纳，提炼数学思想方法；总结几何探究方法和步骤，形成基本活动经验.

关键词：几何定理；探究；教学策略

《义务教育数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学学习活动.”几何定理是分析、推理、判断的重要依据，是进行逻辑推理的基础，是初中数学学习的重要内容.本文以人教版课标教材八年级下册“17.2勾股定理的逆定理”为教学案例，探讨几何定理探究的教学策略.

一、教学案例

活动1：回顾知识，提供认知框架

问题1：在等腰三角形这一章，我们研究了哪些内容，是怎样研究的？

生回顾等腰三角形的定义、性质、判定.

【设计意图】通过问题激活原有认知结构中的知识，为新知学习奠定基础.

问题2：等腰三角形的判定定理与性质定理有什么关系？

生讨论得出性质的逆命题有可能作为判定方法.

【设计意图】深挖几何定理之间的内在联系，判定定理可以从性质定理的逆命题出发.

问题3：在直角三角形这一章，我们已经学习了哪些内容，接下来该学习什么内容，应该怎么学习？

呈现探究内容：直角三角形的判定方法即勾股定理的逆命题是否成立.

师生一起完成知识结构导图，同时指出：这也是几何研究的一般步骤和方法：下定义—研究性质—探索判定条件，以及探索判定条件的一种方法是性质的逆命题.

【设计意图】新知与旧知从内容、形式或研究方法上都有类似性，所以，通过问题提供认知框架；重视学习方法的指导，帮助学生理解性质和判定之间的关系，帮助学生对数学学习内容有整体的理解；通过分析知识之间的结构关系，呈现一个有意义、有挑战性的探究内容.

活动2：探究定理，体验过程

问题4：写出勾股定理和它的逆命题.

命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2+b2=c2.

命题2：如果三角形的三边长为a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

命题2证明有困难，学生提出先研究特殊情况，以3，4，5为边的三角形是直角三角形吗？

师肯定学生的想法，指出“从特殊到一般”是研究数学的一般方法.

【设计意图】碰到问题，解决问题，帮助学生养成良好的数学品质，体会“从特殊到一般”是研究数学的一般方法.

问题5：动手操作，实验观察。

画出三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm的三角形，思考这是直角三角形吗？为什么？

生通过观察、测量，猜想这是直角三角形，但是证明有困难.师引导发现所画的三角形都是全等的，生立刻提取原有知识体系“三边确定的三角形的形状是唯一的”即（SSS）.则只要构造一个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可.

【设计意图】在这过程中学生体会：观察—实验—猜想—证明是探究学习的基本过程.

问题6：你能证明以5，12，13为边的三角形是直角三角形吗？

【设计意图】“从特殊到一般”是一个反复认识的过程，通过对某些个体的研究逐步积累对这类事物的了解，再逐步形成对这类事物的总体认识，符合学生的认知规律.

问题7：通过上述两个问题，可以证明命题2了吗？

【设计意图】从特殊到一般，形成一般性的规律.

问题8：整个探究活动，我们经历了怎样的过程？

【设计意图】引导反思，形成几何探究的基本框架.

问题9：比较勾股定理与勾股定理的逆定理，你发现了什么？

【设计意图】数学概念的完整性和数学模型的普遍性是数学探索的主要内容.帮助学生养成反思的良好习惯.

活动3：例题讲解

活动4：梳理归纳

活动5：课堂延续，拓展探究

探究锐角三角形和钝角三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方的关系.

二、反思几何定理教学的一般策略

1.分析知识之间的结构关系，呈现探究内容

奥苏伯尔提出：在呈现具体内容之前，先呈现一些密切相关、包容范围广但又容易使人理解和记忆的引导性材料——先行组织者.其作用是：搭建研究框架，引导思维方向，增强思维的逻辑性、条理性.具体地说，先行组织者能激活认知结构中已具备的相关概念，使学生认识到它们之间的联系；它能为将要学习的材料提供一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，能使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义学习的心向，有助于学生掌握研究问题的方法.

活动：通过先行组织者构成前后一致、逻辑连贯的几何学习过程.在后续的学习中，就可以运用类比的方法开展学习，为学生的学习提供了认知框架.

2.分析学生的探究起点，规划探究方案

有效率的活动建立在合理的规划前提下，在几何探究中，探究方案规划主要包括探究什么（明确研究对象，提出研究问题）和怎样探究（确定探究的大致方向、探究步骤和探究方法）.本案例的探究方案：

（1）探究的内容：勾股定理的逆命题是否成立？

（2）探究的步骤：先研究特殊的情况，再研究一般情况.

（3）探究的方法：观察、猜想、求证，类比探究，一般到特殊再到一般.

3.重视归纳，提炼数学思想方法

图形变化、数形结合、特殊化与一般化、分类、化归、类比等构成了几何探究的基本思想方法.数学思想能提高教学效率，提高学生数学素养.形成数学思想并能进行知识方法的有效迁移需要经过以下步骤：（1）过程体验；（2）反思提炼；（3）复习内化.例如，对“从特殊到一般”的教学，问题5、问题6、问题7体验从特殊到一般的过程，问题8提炼思想，使之明朗化，活动4复习内化，总结提升.

4.总结几何探究方法和步骤，形成基本活动经验

数学知识、思想方法和解决问题的策略、步骤的概括，使之明朗化，是反思总结的核心任务.教师在平时的教学中，不断引导、反思、总结，才能达到自觉运用阶段，例如，活动5，教师反复渗透，学生逐步形成用数学思想方法指导思维活动的能力.

学生思维的参与度，是几何探究活动教学效率评价的重要依据.没有思考的探究，不是真正的探究；要实现真正有意义的探究学习，教师要提出好的探究问题，给学生探究的时间，让学生独立思考，自主独立地探索、发现、分析和解决问题，通过探究发展学生的创造性思维.

参考文献：

吴增生.让几何探究活动更好地促进学生的认知发展：初中几何探究活动的教学策略初探[J].中国数学教育：初中版，2011（12）：3-6.

摘 要：几何定理是初中数学的主要知识领域，有效的教学策略关乎学生数学素养的养成，几何定理探究活动一般经历以下几个步骤：分析知识之间的结构关系，呈现探究内容；分析学生的探究起点，规划探究方案；重视归纳，提炼数学思想方法；总结几何探究方法和步骤，形成基本活动经验.

关键词：几何定理；探究；教学策略

《义务教育数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学学习活动.”几何定理是分析、推理、判断的重要依据，是进行逻辑推理的基础，是初中数学学习的重要内容.本文以人教版课标教材八年级下册“17.2勾股定理的逆定理”为教学案例，探讨几何定理探究的教学策略.

一、教学案例

活动1：回顾知识，提供认知框架

问题1：在等腰三角形这一章，我们研究了哪些内容，是怎样研究的？

生回顾等腰三角形的定义、性质、判定.

【设计意图】通过问题激活原有认知结构中的知识，为新知学习奠定基础.

问题2：等腰三角形的判定定理与性质定理有什么关系？

生讨论得出性质的逆命题有可能作为判定方法.

【设计意图】深挖几何定理之间的内在联系，判定定理可以从性质定理的逆命题出发.

问题3：在直角三角形这一章，我们已经学习了哪些内容，接下来该学习什么内容，应该怎么学习？

呈现探究内容：直角三角形的判定方法即勾股定理的逆命题是否成立.

师生一起完成知识结构导图，同时指出：这也是几何研究的一般步骤和方法：下定义—研究性质—探索判定条件，以及探索判定条件的一种方法是性质的逆命题.

【设计意图】新知与旧知从内容、形式或研究方法上都有类似性，所以，通过问题提供认知框架；重视学习方法的指导，帮助学生理解性质和判定之间的关系，帮助学生对数学学习内容有整体的理解；通过分析知识之间的结构关系，呈现一个有意义、有挑战性的探究内容.

活动2：探究定理，体验过程

问题4：写出勾股定理和它的逆命题.

命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2+b2=c2.

命题2：如果三角形的三边长为a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

命题2证明有困难，学生提出先研究特殊情况，以3，4，5为边的三角形是直角三角形吗？

师肯定学生的想法，指出“从特殊到一般”是研究数学的一般方法.

【设计意图】碰到问题，解决问题，帮助学生养成良好的数学品质，体会“从特殊到一般”是研究数学的一般方法.

问题5：动手操作，实验观察。

画出三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm的三角形，思考这是直角三角形吗？为什么？

生通过观察、测量，猜想这是直角三角形，但是证明有困难.师引导发现所画的三角形都是全等的，生立刻提取原有知识体系“三边确定的三角形的形状是唯一的”即（SSS）.则只要构造一个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可.

【设计意图】在这过程中学生体会：观察—实验—猜想—证明是探究学习的基本过程.

问题6：你能证明以5，12，13为边的三角形是直角三角形吗？

【设计意图】“从特殊到一般”是一个反复认识的过程，通过对某些个体的研究逐步积累对这类事物的了解，再逐步形成对这类事物的总体认识，符合学生的认知规律.

问题7：通过上述两个问题，可以证明命题2了吗？

【设计意图】从特殊到一般，形成一般性的规律.

问题8：整个探究活动，我们经历了怎样的过程？

【设计意图】引导反思，形成几何探究的基本框架.

问题9：比较勾股定理与勾股定理的逆定理，你发现了什么？

【设计意图】数学概念的完整性和数学模型的普遍性是数学探索的主要内容.帮助学生养成反思的良好习惯.

活动3：例题讲解

活动4：梳理归纳

活动5：课堂延续，拓展探究

探究锐角三角形和钝角三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方的关系.

二、反思几何定理教学的一般策略

1.分析知识之间的结构关系，呈现探究内容

奥苏伯尔提出：在呈现具体内容之前，先呈现一些密切相关、包容范围广但又容易使人理解和记忆的引导性材料——先行组织者.其作用是：搭建研究框架，引导思维方向，增强思维的逻辑性、条理性.具体地说，先行组织者能激活认知结构中已具备的相关概念，使学生认识到它们之间的联系；它能为将要学习的材料提供一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，能使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义学习的心向，有助于学生掌握研究问题的方法.

活动：通过先行组织者构成前后一致、逻辑连贯的几何学习过程.在后续的学习中，就可以运用类比的方法开展学习，为学生的学习提供了认知框架.

2.分析学生的探究起点，规划探究方案

有效率的活动建立在合理的规划前提下，在几何探究中，探究方案规划主要包括探究什么（明确研究对象，提出研究问题）和怎样探究（确定探究的大致方向、探究步骤和探究方法）.本案例的探究方案：

（1）探究的内容：勾股定理的逆命题是否成立？

（2）探究的步骤：先研究特殊的情况，再研究一般情况.

（3）探究的方法：观察、猜想、求证，类比探究，一般到特殊再到一般.

3.重视归纳，提炼数学思想方法

图形变化、数形结合、特殊化与一般化、分类、化归、类比等构成了几何探究的基本思想方法.数学思想能提高教学效率，提高学生数学素养.形成数学思想并能进行知识方法的有效迁移需要经过以下步骤：（1）过程体验；（2）反思提炼；（3）复习内化.例如，对“从特殊到一般”的教学，问题5、问题6、问题7体验从特殊到一般的过程，问题8提炼思想，使之明朗化，活动4复习内化，总结提升.

4.总结几何探究方法和步骤，形成基本活动经验

数学知识、思想方法和解决问题的策略、步骤的概括，使之明朗化，是反思总结的核心任务.教师在平时的教学中，不断引导、反思、总结，才能达到自觉运用阶段，例如，活动5，教师反复渗透，学生逐步形成用数学思想方法指导思维活动的能力.

学生思维的参与度，是几何探究活动教学效率评价的重要依据.没有思考的探究，不是真正的探究；要实现真正有意义的探究学习，教师要提出好的探究问题，给学生探究的时间，让学生独立思考，自主独立地探索、发现、分析和解决问题，通过探究发展学生的创造性思维.

参考文献：

吴增生.让几何探究活动更好地促进学生的认知发展：初中几何探究活动的教学策略初探[J].中国数学教育：初中版，2011（12）：3-6.

摘 要：几何定理是初中数学的主要知识领域，有效的教学策略关乎学生数学素养的养成，几何定理探究活动一般经历以下几个步骤：分析知识之间的结构关系，呈现探究内容；分析学生的探究起点，规划探究方案；重视归纳，提炼数学思想方法；总结几何探究方法和步骤，形成基本活动经验.

关键词：几何定理；探究；教学策略

《义务教育数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学学习活动.”几何定理是分析、推理、判断的重要依据，是进行逻辑推理的基础，是初中数学学习的重要内容.本文以人教版课标教材八年级下册“17.2勾股定理的逆定理”为教学案例，探讨几何定理探究的教学策略.

一、教学案例

活动1：回顾知识，提供认知框架

问题1：在等腰三角形这一章，我们研究了哪些内容，是怎样研究的？

生回顾等腰三角形的定义、性质、判定.

【设计意图】通过问题激活原有认知结构中的知识，为新知学习奠定基础.

问题2：等腰三角形的判定定理与性质定理有什么关系？

生讨论得出性质的逆命题有可能作为判定方法.

【设计意图】深挖几何定理之间的内在联系，判定定理可以从性质定理的逆命题出发.

问题3：在直角三角形这一章，我们已经学习了哪些内容，接下来该学习什么内容，应该怎么学习？

呈现探究内容：直角三角形的判定方法即勾股定理的逆命题是否成立.

师生一起完成知识结构导图，同时指出：这也是几何研究的一般步骤和方法：下定义—研究性质—探索判定条件，以及探索判定条件的一种方法是性质的逆命题.

【设计意图】新知与旧知从内容、形式或研究方法上都有类似性，所以，通过问题提供认知框架；重视学习方法的指导，帮助学生理解性质和判定之间的关系，帮助学生对数学学习内容有整体的理解；通过分析知识之间的结构关系，呈现一个有意义、有挑战性的探究内容.

活动2：探究定理，体验过程

问题4：写出勾股定理和它的逆命题.

命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2+b2=c2.

命题2：如果三角形的三边长为a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

命题2证明有困难，学生提出先研究特殊情况，以3，4，5为边的三角形是直角三角形吗？

师肯定学生的想法，指出“从特殊到一般”是研究数学的一般方法.

【设计意图】碰到问题，解决问题，帮助学生养成良好的数学品质，体会“从特殊到一般”是研究数学的一般方法.

问题5：动手操作，实验观察。

画出三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm的三角形，思考这是直角三角形吗？为什么？

生通过观察、测量，猜想这是直角三角形，但是证明有困难.师引导发现所画的三角形都是全等的，生立刻提取原有知识体系“三边确定的三角形的形状是唯一的”即（SSS）.则只要构造一个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可.

【设计意图】在这过程中学生体会：观察—实验—猜想—证明是探究学习的基本过程.

问题6：你能证明以5，12，13为边的三角形是直角三角形吗？

【设计意图】“从特殊到一般”是一个反复认识的过程，通过对某些个体的研究逐步积累对这类事物的了解，再逐步形成对这类事物的总体认识，符合学生的认知规律.

问题7：通过上述两个问题，可以证明命题2了吗？

【设计意图】从特殊到一般，形成一般性的规律.

问题8：整个探究活动，我们经历了怎样的过程？

【设计意图】引导反思，形成几何探究的基本框架.

问题9：比较勾股定理与勾股定理的逆定理，你发现了什么？

【设计意图】数学概念的完整性和数学模型的普遍性是数学探索的主要内容.帮助学生养成反思的良好习惯.

活动3：例题讲解

活动4：梳理归纳

活动5：课堂延续，拓展探究

探究锐角三角形和钝角三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方的关系.

二、反思几何定理教学的一般策略

1.分析知识之间的结构关系，呈现探究内容

奥苏伯尔提出：在呈现具体内容之前，先呈现一些密切相关、包容范围广但又容易使人理解和记忆的引导性材料——先行组织者.其作用是：搭建研究框架，引导思维方向，增强思维的逻辑性、条理性.具体地说，先行组织者能激活认知结构中已具备的相关概念，使学生认识到它们之间的联系；它能为将要学习的材料提供一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，能使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义学习的心向，有助于学生掌握研究问题的方法.

活动：通过先行组织者构成前后一致、逻辑连贯的几何学习过程.在后续的学习中，就可以运用类比的方法开展学习，为学生的学习提供了认知框架.

2.分析学生的探究起点，规划探究方案

有效率的活动建立在合理的规划前提下，在几何探究中，探究方案规划主要包括探究什么（明确研究对象，提出研究问题）和怎样探究（确定探究的大致方向、探究步骤和探究方法）.本案例的探究方案：

（1）探究的内容：勾股定理的逆命题是否成立？

（2）探究的步骤：先研究特殊的情况，再研究一般情况.

（3）探究的方法：观察、猜想、求证，类比探究，一般到特殊再到一般.

3.重视归纳，提炼数学思想方法

图形变化、数形结合、特殊化与一般化、分类、化归、类比等构成了几何探究的基本思想方法.数学思想能提高教学效率，提高学生数学素养.形成数学思想并能进行知识方法的有效迁移需要经过以下步骤：（1）过程体验；（2）反思提炼；（3）复习内化.例如，对“从特殊到一般”的教学，问题5、问题6、问题7体验从特殊到一般的过程，问题8提炼思想，使之明朗化，活动4复习内化，总结提升.

4.总结几何探究方法和步骤，形成基本活动经验

数学知识、思想方法和解决问题的策略、步骤的概括，使之明朗化，是反思总结的核心任务.教师在平时的教学中，不断引导、反思、总结，才能达到自觉运用阶段，例如，活动5，教师反复渗透，学生逐步形成用数学思想方法指导思维活动的能力.

学生思维的参与度，是几何探究活动教学效率评价的重要依据.没有思考的探究，不是真正的探究；要实现真正有意义的探究学习，教师要提出好的探究问题，给学生探究的时间，让学生独立思考，自主独立地探索、发现、分析和解决问题，通过探究发展学生的创造性思维.

参考文献：

吴增生.让几何探究活动更好地促进学生的认知发展：初中几何探究活动的教学策略初探[J].中国数学教育：初中版，2011（12）：3-6.