探究椭圆轨迹形成的若干方法

摘 要：借助几何画板探究了椭圆轨迹形成的四种方法：定义法、压缩法、参数方程法、代数法。

关键词：椭圆；轨迹；几何画板

一、定义法

1.作图步骤：（1）在x轴上任取一点F1，并作关于y轴的对称点F2；（2）以F1为圆心作圆，在圆上任取一点P，连结PF2，并作线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点M；（3）选中点P和点M，作轨迹。

2.操作说明：拖动点P可观察轨迹形成过程，拖动点F1或F2可改变曲线的类型（由椭圆变成双曲线）。

3.典型例题：在⊙C：（x+1）2+y2=25内有一点A（1，0），Q为圆周上任一点，AQ的垂直平分线与QC连线的交点为M，求点M的轨迹方程。

4.使用说明：将点F1移到（-1，0）点，那么F2即为A，可将标签进行修改，再拖动圆上控制点将圆F1的半径调为5即可。

二、压缩法

1.作图步骤：（1）以原点为圆心画圆O；（2）在圆O上任取以点P，过P作x轴的垂线；垂足为Q，在线段PQ上按需要的比例取点M；（3）选定点P和点M，作轨迹。

2.操作说明：运动点P可演示轨迹椭圆形成的过程，拖动点M可改变椭圆的形状。

3.典型例题：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，当点P在圆上运动时，求线段PQ的中点M的轨迹是什么？

变式：若点M为线段PQ上其他任意位置呢？

4.使用说明：将点M移到相应比例的位置即可。

三、参数方程法

1.作图步骤：（1）以原点为圆心画两个半径不同的圆；（2）在大圆O上任取点P，过P作x轴的垂线，垂足为Q，连接OP交小圆O为点R，过R作线段PQ的垂线，垂足为M；（3）选定点P和点M，作轨迹。

OR）的旋转角，不是OM的旋转角。

4.使用说明：可直观地类比圆的参数方程与椭圆参数方程中参数的不同意义。

四、代数法

2.操作说明：拖动点P可观察轨迹生成过程；拖动点C控制定值m，反映不同的轨迹。

已知定点A，B，满足KMAKMB=m，求点M的轨迹。

3.典型例题：设点A、B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并判断轨迹形状？

参考文献：

王莹.现代信息技术环境下《圆锥曲线》教学研究与电子教科书设计[D].辽宁师范大学，2013.

作者简介：黄春妮，女，1980年9月出生，在职教育硕士，就职学校：浙江省温州市第二十二中学，研究方向：数学教学。