一类SIRS传染病模型的新Lyapunov函数∗

汤倩,滕志东

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046)

0 引言

在传染病动力学模型的理论研究中,易感者-染病者-移出者(SIR)型的仓室传染病模型得到了广泛研究.根据Kermack和McKendrick的假设[3],种群数量被分为三个不同的类:易感者类(S),染病者类(I)和移出者类(R).易感者与染病者通过接触致使染病从而进入染病者类,而染病者经过治疗等措施治愈后进入移出者类,若移出者得到的免疫能力是永久的,则他将永远停留在移出者类.基于这些假设,可以得到相应的SIR传染病动力学模型.若我们还假设移出者的免疫能力不是永久的,即移出者经过一定的时间可能会失去免疫能力而再次进入易感者类,则可得到相应的SIRS传染病动力学模型.

在文献[1,2,4,5,6,7]中对不同形式(如具有标准发生率,指数出生,常数移民,总人口为常数或非常数等)的SIR和SIRS模型的平衡点做了深入的研究,得到了相应的无病平衡点的全局稳定性和地方病平衡点的局部及全局稳定性.特别地文献[1]中作者研究了如下形式的SIRS传染病模型

在总人口数N为常数的假设下,作者将模型(1)改写为一个二维系统(参见文献[1]中方程(3)),通过建立一个Lyapunov函数V(I,R)=I−I∗lnI+a(R−R∗)2得到了模型(1)的地方病平衡点(I∗,R∗)的全局稳定性.

基于以上的研究工作,首先考虑如下带有双线性发生率且只有易感具有常数输入的SIRS传染病模型

可以证明在模型(2)的地方病平衡点存在的条件下,通过建立一个新的Lyapunov函数可得到无其他附加条件下模型(2)地方病平衡点的全局稳定性.

其次,还将讨论如下易感者,染病者和移出者都具有常数移民输入的SIRS传染病模型可以证明,当模型(3)的地方病平衡点存在时,通过建立一个新的Lyapunov函数可得到无其他附加条件下模型(3)地方病平衡点的全局稳定性.

本文主要包括3节内容:第1节为引言部分,给出所研究模型的背景以及所要研究的主要内容;第2节和第3节通过建立新的Lyapunov函数分别证明了模型(2)和模型(3)地方病平衡点的全局渐近稳定性.

1 模型(2)的全局渐近稳定性

在模型(2)中,S(t),I(t),R(t)分别为某一地区内在时刻t的易感者,染病者和移出者人群的数量,A是总人口的常数输入率,d1,d2,d3分别是易感者,染病者和移出者的自然死亡率,α是因病死亡率,β是疾病的传染系数,γ是染病者的恢复系数,δ是移出者失去免疫力回到易感者的免疫率系数.我们假设A,β,γ和δ+d3>0.模型(2)总是存在一个无病平衡点当基本再生数1 时,模型 (2)还存在唯一的地方病平衡点其中

关于模型(2)解的正性,我们容易得到当初值S(0)>0,I(0)>0,R(0)>0时,解S(t)>0,I(t)>0,R(t)>0对一切t≥0成立.而关于模型(2)的地方病平衡点E∗的全局稳定性我们有如下结论:

定理1当R0>1时,模型(2)的地方病平衡点E∗是全局渐近稳定的.

证明模型(2)的地方病平衡点E∗满足如下方程

因此,模型(2)可以改写为如下形式

构造Lyapunov函数如下

当模型(2)中d1=d2=d3=µ时,模型(2)退化为如下模型

因此,作为定理1的推论有如下结论:

推论1对于模型(5),当时,模型(5)存在地方病平衡点且它是全局渐近稳定的.

显然,推论1改进了文献[1，2]中关于模型(5)的相关结论(参见文献[1]及文献[2]中定理3.2.1).

2 模型(3)的全局渐近稳定性

在模型(3)中,A表示进入该地区的总移民率,参数a>0,b≥0,c≥0分别表示易感者,染病者和移出者的常数输入比例且满足a+b+c=1,其余参数含义与模型(2)相同.我们假设d1,d2,d3,α,δ≥0,A,β,γ和δ+d3>0,且d1≤min(d2,d3).

关于模型(3)解的正性,我们容易得到当初值S(0)>0,I(0)>0,R(0)>0时,解S(t)>0,I(t)>0,R(t)>0对一切t≥0成立.对于模型(3)的地方病平衡点的全局渐近稳定性,我们将分两种情况:b=0和b>0进行讨论.

2.1 情形1:b=0

此时,模型(3)具有如下形式

此情形下,没有染病者输入.显然,模型(6)总是存在一个无病平衡点并且,当基本再生数1 时,模型 (6)还存在唯一的地方病平衡点 E∗=(S∗,I∗,R∗),其中

关于模型(6)的地方病平衡点E∗的全局稳定性有如下结论:

经不同教学模式后，实验组和对照组学生满意度分别为96.15%，69.23%，组间比较，差异具有统计学意义（P＜0.05），见表4。

定理2当R0>1时,模型(6)的地方病平衡点E∗是全局渐近稳定的.

事实上,模型(6)的地方病平衡点E∗满足如下方程

因此,模型(6)可以改写为如下形式

此时方程(7)与方程(4)相同,构造与同定理1相同的Lyapunov函数V(S,I,R),则证明过程与定理1相同,此处省略.

2.2 情形2:b>0

在b>0的情形下,关于模型(3)平衡点的存在性,我们有如下结论:

定理3模型(3)在b>0时,不存在无病平衡点,但总存在一个地方病平衡点E∗=(S∗,I∗,R∗),其中

并且,I∗是如下方程唯一的解:

证明知模型(3)的平衡点满足如下方程

若模型(3)的无病平衡点存在,则由(8)的第二个方程知,bA=0,于是有b=0或A=0,此与前面的假设b>0,A>0矛盾,故在b>0时模型(3)的无病平衡点不存在.

设E∗=(S∗,I∗,R∗)是模型(3)的地方病平衡点,则其满足方程(8),由方程(8)的第二和第三个方程解得

将(9)代入(8)的第一个方程,整理可得

由于ϕ0(I)=−δ(d2+α)−d3(d2+α+γ)≤0,所以ϕ(I)是关于I的非增函数,可知计算得

由假设d1≤min(d2,d3)知d2−d1≥0,则有

类似地,计算得

关于模型(3)的地方病平衡点E∗的全局稳定性有如下结论:

定理4模型(3)的地方病平衡点E∗是全局渐近稳定的.

证明将模型(3)改写为如下形式

构造Lyapunov函数如下类似于定理1的证明，易知V(S,I,R)是一个Lyapunov函数.将V(S,I,R)沿系统(10)关于t微分,计算得

特别地,当模型(3)中d1=d2=d3=µ时,作为定理2和定理4有如下结论:

推论2对于模型(3),若d1=d2=d3=µ,则如下结论成立:

(2).当b>0时,模型(3)存在地方病平衡点且它是全局渐近稳定的.

显然,当文献[2]中传染率系数β(N)=β为常数时,推论2改进了文献[1,2]中关于模型(11)的相关结论(参见文献[1]及文献[2]中定理3.2.3−定理3.2.6).