追向量之根溯内积之源

摘 要：中学阶段向量运算主要有线性运算和数量积运算，数量积运算涉及长度、夹角等问题，但数量积运算常常与三角函数、解三角形、圆等交汇，故综合强度大.

关键词：数量积定义；几何意义；投影；基底；坐标法

一、问题的提出

在新课程改革中，教材在必修与选修中都引入了向量，其目的很明确，即为研究平面几何、空间几何问题提供新的研究手段，充分体现向量的工具性.向量这个既有大小又有方向的量，不仅从“数”的方面可以运算，也可以从“形”的方面巧妙呈现，所以高中数学中向量的问题，往往比较灵活，而其中数量积问题（也称内积），既考查数量积概念及几何意义的灵活运用，又考查几何图形性质的应用，学生往往无从下手.究其原因，发现不少学生只是粗浅地记忆数量积公式，没有站在向量整个模块的高度来审视数量积.

向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的结果是数量，不是向量.向量数量积与距离、夹角等紧密联系，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何问题.但是作为工具性的章节，向量的考查往往又与三角函数、解三角形、圆、函数与导数等交汇，综合强度大，学生往往困于破解的突破口，本文将追根溯源，探求数量积概念的本源，揭示处理数量积问题常用的几种角度.

二、数量积的定义及其意义

三、平面向量基本定理与数量积的坐标表示

平面向量基本定理是向量坐标表示的理论基础.直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的单位向量是它的一组正交基底，平面内任何一个向量都可由一对有序实数（x，y）表示.这样建立了向量的坐标表示与点的坐标表示的对应关系，把向量（以原点为始点的有向线段）与点对应起来.

由此可见，合理选择基底，把所求向量都用基底转化，再进行数量积运算，则可以有效计算出数量积.这是从选择基底的角度转化表示数量积，体现了化归与转化的思想.

用坐标法解决几何问题的基本过程就是：合理建系，坐标表示，向量运算，化简结果，最后再把向量运算结果翻译成几何结论.

若能方便建系，表示所求点的坐标，则可快速表示数量积.这是从坐标化的角度表示数量积.这两个角度可以说是从教材中数量积这一节与前后两节知识联系而挖掘出来的.

评析：由单位圆出发，建系，使用三角函数定义设点，表示所求向量坐标，数量积一运算，貌似复杂，但继续算下去经三角变换，发现可以合并成一个三角函数，利用三角函数有界性可快速求出最值.真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”！而还可以求出最小值或范围.相比于前两种角度，第三种角度思维量小，计算量也不大，抓住三角函数定义这个本质，较彻底地认识·的变化情况.

本题是选择题，不少学生大胆猜想当BC∥PQ时，取得最大值.但要严格推理论证或是变式一下，就无从下手了.只要学生能深刻理解数量积的定义，从本质出发，熟悉常用的几种切入口，这种数量积的问题就能轻松拿下.

莱布尼兹曾说过：“学生在我看来，没有什么能比探索发明的源头还要重要，它远比发明本身更重要。”很多数学问题，我们应该经常思考，应该选择什么角度入手，把握概念的本质以及其来龙去脉，做到能正向研究，也能逆向思维，则我们就能站在一个相对的高度上看数学问题.透过现象看本质，则解题就水到渠成了！

作者简介：林清利，男，出生于1985年5月，大学本科学历，就职于福建省莆田第一中学，在高中教学第一线。endprint

摘 要：中学阶段向量运算主要有线性运算和数量积运算，数量积运算涉及长度、夹角等问题，但数量积运算常常与三角函数、解三角形、圆等交汇，故综合强度大.

关键词：数量积定义；几何意义；投影；基底；坐标法

一、问题的提出

在新课程改革中，教材在必修与选修中都引入了向量，其目的很明确，即为研究平面几何、空间几何问题提供新的研究手段，充分体现向量的工具性.向量这个既有大小又有方向的量，不仅从“数”的方面可以运算，也可以从“形”的方面巧妙呈现，所以高中数学中向量的问题，往往比较灵活，而其中数量积问题（也称内积），既考查数量积概念及几何意义的灵活运用，又考查几何图形性质的应用，学生往往无从下手.究其原因，发现不少学生只是粗浅地记忆数量积公式，没有站在向量整个模块的高度来审视数量积.

向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的结果是数量，不是向量.向量数量积与距离、夹角等紧密联系，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何问题.但是作为工具性的章节，向量的考查往往又与三角函数、解三角形、圆、函数与导数等交汇，综合强度大，学生往往困于破解的突破口，本文将追根溯源，探求数量积概念的本源，揭示处理数量积问题常用的几种角度.

二、数量积的定义及其意义

三、平面向量基本定理与数量积的坐标表示

平面向量基本定理是向量坐标表示的理论基础.直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的单位向量是它的一组正交基底，平面内任何一个向量都可由一对有序实数（x，y）表示.这样建立了向量的坐标表示与点的坐标表示的对应关系，把向量（以原点为始点的有向线段）与点对应起来.

由此可见，合理选择基底，把所求向量都用基底转化，再进行数量积运算，则可以有效计算出数量积.这是从选择基底的角度转化表示数量积，体现了化归与转化的思想.

用坐标法解决几何问题的基本过程就是：合理建系，坐标表示，向量运算，化简结果，最后再把向量运算结果翻译成几何结论.

若能方便建系，表示所求点的坐标，则可快速表示数量积.这是从坐标化的角度表示数量积.这两个角度可以说是从教材中数量积这一节与前后两节知识联系而挖掘出来的.

评析：由单位圆出发，建系，使用三角函数定义设点，表示所求向量坐标，数量积一运算，貌似复杂，但继续算下去经三角变换，发现可以合并成一个三角函数，利用三角函数有界性可快速求出最值.真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”！而还可以求出最小值或范围.相比于前两种角度，第三种角度思维量小，计算量也不大，抓住三角函数定义这个本质，较彻底地认识·的变化情况.

本题是选择题，不少学生大胆猜想当BC∥PQ时，取得最大值.但要严格推理论证或是变式一下，就无从下手了.只要学生能深刻理解数量积的定义，从本质出发，熟悉常用的几种切入口，这种数量积的问题就能轻松拿下.

莱布尼兹曾说过：“学生在我看来，没有什么能比探索发明的源头还要重要，它远比发明本身更重要。”很多数学问题，我们应该经常思考，应该选择什么角度入手，把握概念的本质以及其来龙去脉，做到能正向研究，也能逆向思维，则我们就能站在一个相对的高度上看数学问题.透过现象看本质，则解题就水到渠成了！

作者简介：林清利，男，出生于1985年5月，大学本科学历，就职于福建省莆田第一中学，在高中教学第一线。endprint

摘 要：中学阶段向量运算主要有线性运算和数量积运算，数量积运算涉及长度、夹角等问题，但数量积运算常常与三角函数、解三角形、圆等交汇，故综合强度大.

关键词：数量积定义；几何意义；投影；基底；坐标法

一、问题的提出

在新课程改革中，教材在必修与选修中都引入了向量，其目的很明确，即为研究平面几何、空间几何问题提供新的研究手段，充分体现向量的工具性.向量这个既有大小又有方向的量，不仅从“数”的方面可以运算，也可以从“形”的方面巧妙呈现，所以高中数学中向量的问题，往往比较灵活，而其中数量积问题（也称内积），既考查数量积概念及几何意义的灵活运用，又考查几何图形性质的应用，学生往往无从下手.究其原因，发现不少学生只是粗浅地记忆数量积公式，没有站在向量整个模块的高度来审视数量积.

向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的结果是数量，不是向量.向量数量积与距离、夹角等紧密联系，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何问题.但是作为工具性的章节，向量的考查往往又与三角函数、解三角形、圆、函数与导数等交汇，综合强度大，学生往往困于破解的突破口，本文将追根溯源，探求数量积概念的本源，揭示处理数量积问题常用的几种角度.

二、数量积的定义及其意义

三、平面向量基本定理与数量积的坐标表示

平面向量基本定理是向量坐标表示的理论基础.直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的单位向量是它的一组正交基底，平面内任何一个向量都可由一对有序实数（x，y）表示.这样建立了向量的坐标表示与点的坐标表示的对应关系，把向量（以原点为始点的有向线段）与点对应起来.

由此可见，合理选择基底，把所求向量都用基底转化，再进行数量积运算，则可以有效计算出数量积.这是从选择基底的角度转化表示数量积，体现了化归与转化的思想.

用坐标法解决几何问题的基本过程就是：合理建系，坐标表示，向量运算，化简结果，最后再把向量运算结果翻译成几何结论.

若能方便建系，表示所求点的坐标，则可快速表示数量积.这是从坐标化的角度表示数量积.这两个角度可以说是从教材中数量积这一节与前后两节知识联系而挖掘出来的.

评析：由单位圆出发，建系，使用三角函数定义设点，表示所求向量坐标，数量积一运算，貌似复杂，但继续算下去经三角变换，发现可以合并成一个三角函数，利用三角函数有界性可快速求出最值.真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”！而还可以求出最小值或范围.相比于前两种角度，第三种角度思维量小，计算量也不大，抓住三角函数定义这个本质，较彻底地认识·的变化情况.

本题是选择题，不少学生大胆猜想当BC∥PQ时，取得最大值.但要严格推理论证或是变式一下，就无从下手了.只要学生能深刻理解数量积的定义，从本质出发，熟悉常用的几种切入口，这种数量积的问题就能轻松拿下.

莱布尼兹曾说过：“学生在我看来，没有什么能比探索发明的源头还要重要，它远比发明本身更重要。”很多数学问题，我们应该经常思考，应该选择什么角度入手，把握概念的本质以及其来龙去脉，做到能正向研究，也能逆向思维，则我们就能站在一个相对的高度上看数学问题.透过现象看本质，则解题就水到渠成了！

作者简介：林清利，男，出生于1985年5月，大学本科学历，就职于福建省莆田第一中学，在高中教学第一线。endprint