加权平衡指数损失函数下的广义信度保费估计

张强等

摘 要 在非寿险中，在索赔经历虽然相互独立，但有时会服从不同的分布.通过考虑保费的目标估计来对风险保费进行了研究，并采用正交投影的方法得到了目标问题的最优解，从而得到了加权平衡指数损失函数下的信度估计. 此外，给出了结构参数的无偏估计，并给出了模拟. 结果表明，在考虑目标保费的情况下，当选取一个合适的权重，可以得到未来保费的最优估计.

关键词 平衡指数损失函数；信度估计；参数估计；正交投影

中图分类号 O211.5 文献标识码 A

The General Credibility Premium Estimator

under Weighted Balanced Exponential Loss Function

ZHANG Qiang1， NI Keshe1，WU Lijun2

（1. College of Sciences， Shihezi University， Shihezi，Xijiang 832003 China；

2. College of Mathematics and System Science， Xinjiang University.， Urumqi，Xijiang 830046 China）

Abstract In nonlife insurance， claim experiences are mutually independent， but with different distributions. Considering the target premium， and by means of the orthogonal projection method， the optimal solution of the target problem was obtained. Then the credibility estimator under weighted balanced exponential loss function was derived. In addition， the structure parameters were estimated and the result was shown by simulations. The result shows that， when considering the target premium， the optimal estimator of the future premium is obtained by selecting a suitable weight.

Key words balanced exponential loss function； credibility estimator； parameters estimator； orthogonal projection

1 引 言

信度理论作为非寿险精算学的核心内容之一，已成为非寿险保险公司精算部门重要的工具. 信度理论主要用来对未来时期经验保费的厘定，思想是通过结合投保人个人的索赔经历与先验保费来共同决定保费，所制定的保费为两者的加权和，经典的信度模型的详细介绍可见文献[1]. 通常是假设历史时期的索赔具有共同的风险参数Θ， 在风险参数给定下， 各期的索赔满足独立同分布的的条件. 然而， 在保险实务中，这种假设有时候是不成立的，风险存在着相依性. 近年来，关于风险之间的相依性的研究受到越来越多的精算研究者的关注. 文献[2]提出风险间具有某种共同效应，建立了风险相依结构的信度模型. 此外文献[3]在风险不是独立的条件下，得到了风险等相关的多合同模型的估计. 文献[4]同时考虑误差和风险间具有等相关性，在指数保费原理下得到了误差和风险等相关的多合同Bühlmann信度模型，且在给定风险参数下历史索赔服从不同分布的情形，得到了风险保费的广义信度估计.文献[5]在指数保费原理下研究了多合同保单的信度估计，并给出了参数的无偏估计.

许多学者考虑到正（负）误差引起的损失不同，采用对称损失（如平方损失）来刻画保费与风险的适合程度而得到的估计并不准确.对于保险公司在制定下一年保费时，总希望与某个目标（如上一年的保费等）相差较小.因而平衡损失函数得到了广泛的应用，文献[6]在广义加权平衡指数损失函数下讨论了广义的贝叶斯保费估计. 文献[7]研究了多合同的平衡指数保费估计问题. 文献[8]在平衡损失函数下给出了BS模型的信度估计，讨论了估计的性质. 文献 [9]在平衡损失函数下分别得到了风险等相关与共同效应的回归信度估计.

本研究在经验数据服从不同分布的情形下，引入加权平衡指数损失函数，并采用正交投影的方法求解最优化问题，得到了信度公式，其次给出了信度因子中结构参数的无偏估计. 结果表明，所得的公式具有经典的信度估计形式，是文献[1，7，5]中结果的推广，扩展了信度估计的使用范围，为保险公司厘定未来保费提供了参考.

经 济 数 学第 31卷第3期

张 强等：加权平衡指数损失函数下的广义信度保费估计

6 结 论

本文通过正交投影方法在加权平衡指数损失函数下给出了多合同的广义信度估计，并给出了结构参数的无偏估计.不仅满足了保险公司在制定未来保费时希望的目标保费，而且所得到的信度估计依然为经典信度模型的加权形式.

参考文献

[1] H BUHLMANN， A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].Netherlands： Springer， 2005.

[2] Limin WEN， Xianyi WU， Xian ZHOU. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2009， 44（1）：19-25.

[3] Limin WEN，Wenli DENG. The credibility models with equal correlation risks [J]. Journal of Systems Science and Complexity， 2011，24 （3）：532-539.

[4] 张强.一类带有正安全负荷的信度模型[D].乌鲁木齐：新疆大学数学与系统科学学院，2012.

[5] 温利民，吴贤毅.指数保费原理下的经验厘定[J].中国科学：数学，2011，41（10）：861-876.

[6] 张强，吴黎军.广义加权平衡指数损失函数下的信度保费[J].统计与决策，2013，373（1）：89-91.

[7] 张强，倪科社，吴黎军.平衡指数损失函数下的信度保费[J].经济数学，2014，31（2）：60-64.

[8] 温利民，林霞，王静龙. 平衡损失函数下的信度模型[J]. 应用概率统计，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balancedloss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013，2013（1）：30-40.

[10]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear Models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint

摘 要 在非寿险中，在索赔经历虽然相互独立，但有时会服从不同的分布.通过考虑保费的目标估计来对风险保费进行了研究，并采用正交投影的方法得到了目标问题的最优解，从而得到了加权平衡指数损失函数下的信度估计. 此外，给出了结构参数的无偏估计，并给出了模拟. 结果表明，在考虑目标保费的情况下，当选取一个合适的权重，可以得到未来保费的最优估计.

关键词 平衡指数损失函数；信度估计；参数估计；正交投影

中图分类号 O211.5 文献标识码 A

The General Credibility Premium Estimator

under Weighted Balanced Exponential Loss Function

ZHANG Qiang1， NI Keshe1，WU Lijun2

（1. College of Sciences， Shihezi University， Shihezi，Xijiang 832003 China；

2. College of Mathematics and System Science， Xinjiang University.， Urumqi，Xijiang 830046 China）

Abstract In nonlife insurance， claim experiences are mutually independent， but with different distributions. Considering the target premium， and by means of the orthogonal projection method， the optimal solution of the target problem was obtained. Then the credibility estimator under weighted balanced exponential loss function was derived. In addition， the structure parameters were estimated and the result was shown by simulations. The result shows that， when considering the target premium， the optimal estimator of the future premium is obtained by selecting a suitable weight.

Key words balanced exponential loss function； credibility estimator； parameters estimator； orthogonal projection

1 引 言

信度理论作为非寿险精算学的核心内容之一，已成为非寿险保险公司精算部门重要的工具. 信度理论主要用来对未来时期经验保费的厘定，思想是通过结合投保人个人的索赔经历与先验保费来共同决定保费，所制定的保费为两者的加权和，经典的信度模型的详细介绍可见文献[1]. 通常是假设历史时期的索赔具有共同的风险参数Θ， 在风险参数给定下， 各期的索赔满足独立同分布的的条件. 然而， 在保险实务中，这种假设有时候是不成立的，风险存在着相依性. 近年来，关于风险之间的相依性的研究受到越来越多的精算研究者的关注. 文献[2]提出风险间具有某种共同效应，建立了风险相依结构的信度模型. 此外文献[3]在风险不是独立的条件下，得到了风险等相关的多合同模型的估计. 文献[4]同时考虑误差和风险间具有等相关性，在指数保费原理下得到了误差和风险等相关的多合同Bühlmann信度模型，且在给定风险参数下历史索赔服从不同分布的情形，得到了风险保费的广义信度估计.文献[5]在指数保费原理下研究了多合同保单的信度估计，并给出了参数的无偏估计.

许多学者考虑到正（负）误差引起的损失不同，采用对称损失（如平方损失）来刻画保费与风险的适合程度而得到的估计并不准确.对于保险公司在制定下一年保费时，总希望与某个目标（如上一年的保费等）相差较小.因而平衡损失函数得到了广泛的应用，文献[6]在广义加权平衡指数损失函数下讨论了广义的贝叶斯保费估计. 文献[7]研究了多合同的平衡指数保费估计问题. 文献[8]在平衡损失函数下给出了BS模型的信度估计，讨论了估计的性质. 文献 [9]在平衡损失函数下分别得到了风险等相关与共同效应的回归信度估计.

本研究在经验数据服从不同分布的情形下，引入加权平衡指数损失函数，并采用正交投影的方法求解最优化问题，得到了信度公式，其次给出了信度因子中结构参数的无偏估计. 结果表明，所得的公式具有经典的信度估计形式，是文献[1，7，5]中结果的推广，扩展了信度估计的使用范围，为保险公司厘定未来保费提供了参考.

经 济 数 学第 31卷第3期

张 强等：加权平衡指数损失函数下的广义信度保费估计

6 结 论

本文通过正交投影方法在加权平衡指数损失函数下给出了多合同的广义信度估计，并给出了结构参数的无偏估计.不仅满足了保险公司在制定未来保费时希望的目标保费，而且所得到的信度估计依然为经典信度模型的加权形式.

参考文献

[1] H BUHLMANN， A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].Netherlands： Springer， 2005.

[2] Limin WEN， Xianyi WU， Xian ZHOU. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2009， 44（1）：19-25.

[3] Limin WEN，Wenli DENG. The credibility models with equal correlation risks [J]. Journal of Systems Science and Complexity， 2011，24 （3）：532-539.

[4] 张强.一类带有正安全负荷的信度模型[D].乌鲁木齐：新疆大学数学与系统科学学院，2012.

[5] 温利民，吴贤毅.指数保费原理下的经验厘定[J].中国科学：数学，2011，41（10）：861-876.

[6] 张强，吴黎军.广义加权平衡指数损失函数下的信度保费[J].统计与决策，2013，373（1）：89-91.

[7] 张强，倪科社，吴黎军.平衡指数损失函数下的信度保费[J].经济数学，2014，31（2）：60-64.

[8] 温利民，林霞，王静龙. 平衡损失函数下的信度模型[J]. 应用概率统计，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balancedloss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013，2013（1）：30-40.

[10]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear Models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint

摘 要 在非寿险中，在索赔经历虽然相互独立，但有时会服从不同的分布.通过考虑保费的目标估计来对风险保费进行了研究，并采用正交投影的方法得到了目标问题的最优解，从而得到了加权平衡指数损失函数下的信度估计. 此外，给出了结构参数的无偏估计，并给出了模拟. 结果表明，在考虑目标保费的情况下，当选取一个合适的权重，可以得到未来保费的最优估计.

关键词 平衡指数损失函数；信度估计；参数估计；正交投影

中图分类号 O211.5 文献标识码 A

The General Credibility Premium Estimator

under Weighted Balanced Exponential Loss Function

ZHANG Qiang1， NI Keshe1，WU Lijun2

（1. College of Sciences， Shihezi University， Shihezi，Xijiang 832003 China；

2. College of Mathematics and System Science， Xinjiang University.， Urumqi，Xijiang 830046 China）

Abstract In nonlife insurance， claim experiences are mutually independent， but with different distributions. Considering the target premium， and by means of the orthogonal projection method， the optimal solution of the target problem was obtained. Then the credibility estimator under weighted balanced exponential loss function was derived. In addition， the structure parameters were estimated and the result was shown by simulations. The result shows that， when considering the target premium， the optimal estimator of the future premium is obtained by selecting a suitable weight.

Key words balanced exponential loss function； credibility estimator； parameters estimator； orthogonal projection

1 引 言

信度理论作为非寿险精算学的核心内容之一，已成为非寿险保险公司精算部门重要的工具. 信度理论主要用来对未来时期经验保费的厘定，思想是通过结合投保人个人的索赔经历与先验保费来共同决定保费，所制定的保费为两者的加权和，经典的信度模型的详细介绍可见文献[1]. 通常是假设历史时期的索赔具有共同的风险参数Θ， 在风险参数给定下， 各期的索赔满足独立同分布的的条件. 然而， 在保险实务中，这种假设有时候是不成立的，风险存在着相依性. 近年来，关于风险之间的相依性的研究受到越来越多的精算研究者的关注. 文献[2]提出风险间具有某种共同效应，建立了风险相依结构的信度模型. 此外文献[3]在风险不是独立的条件下，得到了风险等相关的多合同模型的估计. 文献[4]同时考虑误差和风险间具有等相关性，在指数保费原理下得到了误差和风险等相关的多合同Bühlmann信度模型，且在给定风险参数下历史索赔服从不同分布的情形，得到了风险保费的广义信度估计.文献[5]在指数保费原理下研究了多合同保单的信度估计，并给出了参数的无偏估计.

许多学者考虑到正（负）误差引起的损失不同，采用对称损失（如平方损失）来刻画保费与风险的适合程度而得到的估计并不准确.对于保险公司在制定下一年保费时，总希望与某个目标（如上一年的保费等）相差较小.因而平衡损失函数得到了广泛的应用，文献[6]在广义加权平衡指数损失函数下讨论了广义的贝叶斯保费估计. 文献[7]研究了多合同的平衡指数保费估计问题. 文献[8]在平衡损失函数下给出了BS模型的信度估计，讨论了估计的性质. 文献 [9]在平衡损失函数下分别得到了风险等相关与共同效应的回归信度估计.

本研究在经验数据服从不同分布的情形下，引入加权平衡指数损失函数，并采用正交投影的方法求解最优化问题，得到了信度公式，其次给出了信度因子中结构参数的无偏估计. 结果表明，所得的公式具有经典的信度估计形式，是文献[1，7，5]中结果的推广，扩展了信度估计的使用范围，为保险公司厘定未来保费提供了参考.

经 济 数 学第 31卷第3期

张 强等：加权平衡指数损失函数下的广义信度保费估计

6 结 论

本文通过正交投影方法在加权平衡指数损失函数下给出了多合同的广义信度估计，并给出了结构参数的无偏估计.不仅满足了保险公司在制定未来保费时希望的目标保费，而且所得到的信度估计依然为经典信度模型的加权形式.

参考文献

[1] H BUHLMANN， A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].Netherlands： Springer， 2005.

[2] Limin WEN， Xianyi WU， Xian ZHOU. The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2009， 44（1）：19-25.

[3] Limin WEN，Wenli DENG. The credibility models with equal correlation risks [J]. Journal of Systems Science and Complexity， 2011，24 （3）：532-539.

[4] 张强.一类带有正安全负荷的信度模型[D].乌鲁木齐：新疆大学数学与系统科学学院，2012.

[5] 温利民，吴贤毅.指数保费原理下的经验厘定[J].中国科学：数学，2011，41（10）：861-876.

[6] 张强，吴黎军.广义加权平衡指数损失函数下的信度保费[J].统计与决策，2013，373（1）：89-91.

[7] 张强，倪科社，吴黎军.平衡指数损失函数下的信度保费[J].经济数学，2014，31（2）：60-64.

[8] 温利民，林霞，王静龙. 平衡损失函数下的信度模型[J]. 应用概率统计，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balancedloss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013，2013（1）：30-40.

[10]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear Models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint