折现率离散时间风险模型下最大赤字问题

古再丽努尔?阿布都卡地尔等

摘 要 在引入折现率的条件下研究离散时间风险模型，运用递推方法和全概率公式，得到了破产前盈余，破产后赤字以及它们的联合分布所满足的微分积分方程，作为推论得到了破产概率所满足的微积分方程并得出结论.

关键词 折现率；离散时间风险模型；破产概率；破产赤字

中图分类号 F222.3，O211 文献标识码 A

Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk

Model with Discount Rate

Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2

（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；

2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）

Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.

Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin

1 引 言

通常，风险模型按照收取保费的方式的不同可分为连续模型和离散模型两种.连续模型采取连续收费的原则，即以时间为连续变化的量连续地收取保费.离散模型采用离散收费的原则，即以一定时间长度为收费的单位区间，在每一个单位区间内只收取一次保费.讨论得最多的离散时间模型是将单位时间收取的保费视为常数，每一时期的理赔量视为独立同分布的随时机变量的模型[1].文献[2]对此模型加以推广把单位时间内的保费收入视为独立同分布的随机变量，并将利率因素引入风险模型，以加强模型的现实描述能力.文献[3，4]中作者讨论了带常利率的离散时间风险模型，并得到了描述破产严重性的破产量：破产前盈余分布，破产前最大盈余分布，破产持续时间分布以及破产前盈余，破产后赤字，破产前最大盈余的联合分布等.文献[5]研究了含有投资和通货膨胀因素的离散时间风险模型，并得到了很好的结果.本文在引入折现率的条件下研究离散时间模型，运用递推方法，得到了破产前盈余，破产后赤字以及它们的联合分布所满足的微分积分方程，作为推论得到了破产概率所满足的微积分方程.

2 模型描述

考虑保费收入与理赔支出为随机变量的离散时间风险模型.假定在所考虑的时间内有固定的折现率δ，u为保险公司初始准备金，保费在每一时期的期初收取，理赔在每一时期的期末支付，则在时刻n保险公司的累积盈余折到初始时刻时的盈余为：

4 总 结

综上所述，在离散时间风险模型中的利率为折现率这一特征使模型更有现实意义.从本文所讨论的模型下得出的关于各个破产指标所满足的微积分方程可知，只要知道随机变量Z的分布函数，就可以利用递推公式得到保险公司的各个破产指标.

参考文献

[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.

[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.

[3] 孙立娟，顾岚.离散时间保险风险模型的破产问题[J].应用概率统计，2002，18（3）：293-299.

[4] 孙立娟，顾岚，刘立新.离散时间模型下最大赤字问题[J].经济数学，2001，4（18）：1-9.

[5] 高明美，赵明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].经济数学，2002，4（19）：8-13.

[6] 刘家有，刘再明.保险公司在固定利率下的离散型破产概率[J].数学理论与应用，2004，24（1）： 101-104.

[7] 何晓霞.一类离散时间比例再保险模型的破产问题[J].数学杂志，2012，32（1）： 181-185.endprint

摘 要 在引入折现率的条件下研究离散时间风险模型，运用递推方法和全概率公式，得到了破产前盈余，破产后赤字以及它们的联合分布所满足的微分积分方程，作为推论得到了破产概率所满足的微积分方程并得出结论.

关键词 折现率；离散时间风险模型；破产概率；破产赤字

中图分类号 F222.3，O211 文献标识码 A

Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk

Model with Discount Rate

Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2

（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；

2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）

Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.

Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin

1 引 言

通常，风险模型按照收取保费的方式的不同可分为连续模型和离散模型两种.连续模型采取连续收费的原则，即以时间为连续变化的量连续地收取保费.离散模型采用离散收费的原则，即以一定时间长度为收费的单位区间，在每一个单位区间内只收取一次保费.讨论得最多的离散时间模型是将单位时间收取的保费视为常数，每一时期的理赔量视为独立同分布的随时机变量的模型[1].文献[2]对此模型加以推广把单位时间内的保费收入视为独立同分布的随机变量，并将利率因素引入风险模型，以加强模型的现实描述能力.文献[3，4]中作者讨论了带常利率的离散时间风险模型，并得到了描述破产严重性的破产量：破产前盈余分布，破产前最大盈余分布，破产持续时间分布以及破产前盈余，破产后赤字，破产前最大盈余的联合分布等.文献[5]研究了含有投资和通货膨胀因素的离散时间风险模型，并得到了很好的结果.本文在引入折现率的条件下研究离散时间模型，运用递推方法，得到了破产前盈余，破产后赤字以及它们的联合分布所满足的微分积分方程，作为推论得到了破产概率所满足的微积分方程.

2 模型描述

考虑保费收入与理赔支出为随机变量的离散时间风险模型.假定在所考虑的时间内有固定的折现率δ，u为保险公司初始准备金，保费在每一时期的期初收取，理赔在每一时期的期末支付，则在时刻n保险公司的累积盈余折到初始时刻时的盈余为：

4 总 结

综上所述，在离散时间风险模型中的利率为折现率这一特征使模型更有现实意义.从本文所讨论的模型下得出的关于各个破产指标所满足的微积分方程可知，只要知道随机变量Z的分布函数，就可以利用递推公式得到保险公司的各个破产指标.

参考文献

[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.

[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.

[3] 孙立娟，顾岚.离散时间保险风险模型的破产问题[J].应用概率统计，2002，18（3）：293-299.

[4] 孙立娟，顾岚，刘立新.离散时间模型下最大赤字问题[J].经济数学，2001，4（18）：1-9.

[5] 高明美，赵明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].经济数学，2002，4（19）：8-13.

[6] 刘家有，刘再明.保险公司在固定利率下的离散型破产概率[J].数学理论与应用，2004，24（1）： 101-104.

[7] 何晓霞.一类离散时间比例再保险模型的破产问题[J].数学杂志，2012，32（1）： 181-185.endprint

摘 要 在引入折现率的条件下研究离散时间风险模型，运用递推方法和全概率公式，得到了破产前盈余，破产后赤字以及它们的联合分布所满足的微分积分方程，作为推论得到了破产概率所满足的微积分方程并得出结论.

关键词 折现率；离散时间风险模型；破产概率；破产赤字

中图分类号 F222.3，O211 文献标识码 A

Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk

Model with Discount Rate

Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2

（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；

2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）

Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.

Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin

1 引 言

通常，风险模型按照收取保费的方式的不同可分为连续模型和离散模型两种.连续模型采取连续收费的原则，即以时间为连续变化的量连续地收取保费.离散模型采用离散收费的原则，即以一定时间长度为收费的单位区间，在每一个单位区间内只收取一次保费.讨论得最多的离散时间模型是将单位时间收取的保费视为常数，每一时期的理赔量视为独立同分布的随时机变量的模型[1].文献[2]对此模型加以推广把单位时间内的保费收入视为独立同分布的随机变量，并将利率因素引入风险模型，以加强模型的现实描述能力.文献[3，4]中作者讨论了带常利率的离散时间风险模型，并得到了描述破产严重性的破产量：破产前盈余分布，破产前最大盈余分布，破产持续时间分布以及破产前盈余，破产后赤字，破产前最大盈余的联合分布等.文献[5]研究了含有投资和通货膨胀因素的离散时间风险模型，并得到了很好的结果.本文在引入折现率的条件下研究离散时间模型，运用递推方法，得到了破产前盈余，破产后赤字以及它们的联合分布所满足的微分积分方程，作为推论得到了破产概率所满足的微积分方程.

2 模型描述

考虑保费收入与理赔支出为随机变量的离散时间风险模型.假定在所考虑的时间内有固定的折现率δ，u为保险公司初始准备金，保费在每一时期的期初收取，理赔在每一时期的期末支付，则在时刻n保险公司的累积盈余折到初始时刻时的盈余为：

4 总 结

综上所述，在离散时间风险模型中的利率为折现率这一特征使模型更有现实意义.从本文所讨论的模型下得出的关于各个破产指标所满足的微积分方程可知，只要知道随机变量Z的分布函数，就可以利用递推公式得到保险公司的各个破产指标.

参考文献

[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.

[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.

[3] 孙立娟，顾岚.离散时间保险风险模型的破产问题[J].应用概率统计，2002，18（3）：293-299.

[4] 孙立娟，顾岚，刘立新.离散时间模型下最大赤字问题[J].经济数学，2001，4（18）：1-9.

[5] 高明美，赵明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].经济数学，2002，4（19）：8-13.

[6] 刘家有，刘再明.保险公司在固定利率下的离散型破产概率[J].数学理论与应用，2004，24（1）： 101-104.

[7] 何晓霞.一类离散时间比例再保险模型的破产问题[J].数学杂志，2012，32（1）： 181-185.endprint