解不等式、集合表示与运算及简易逻辑

王健

知识要点：解不等式

解不等式是一项基础能力，广泛应用在集合运算、函数、线性规划等有关问题中.

★一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0）（a≠0）的解法

先求根，然后结合函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象得到结论. 求根过程中优先考虑因式分解，如有困难再求判别式.口诀：“同号两根之外，异号两根之间.”

★绝对值不等式xa）（a>0）的解法

① x

② x>ax2>a2x>a或x<-a；

③ f（x）

含有多个绝对值符号的不等式，可用“按零点分区间讨论去绝对值”的方法来解.

★一元高次不等式的解法——标根法

① 因式分解：将一元高次不等式化为：（x-x1）（x-x2）·…·（x-xn）>0（或<0）的形式，并使每一个因式中x的系数为正.

② 画出曲线：先将每一个因式的根标在数轴上，再从最大根的右上方依次通过数轴上代表各根的点画曲线.如果数值相同的根出现偶数次，则曲线到达该点后弹回，不穿过数轴；如果数值相同的根出现奇数次，则曲线可以通过该点.口诀：“奇穿过偶弹回.”

③ 写出解集：根据所绘制曲线呈现的f（x）的符号变化情况，写出不等式的解集.

★分式不等式的解法

① 移项：使不等式右边为0（标准化）；

② 通分：使每一个因式中最高次项的系数为正（因式化）；

③ 求解：用标根法，求解时注意分母不能为零.（注：必修不作要求）

★其他函数不等式的解法

通法：以函数定义域为前提，统一函数名，利用函数单调性求解.

【提醒】

① 解分式不等式时，不能简单地在不等式两边同时乘以分母来化简，要注意讨论分母的正负情况，如果分母为负，乘以分母时不等式符号需要改变.

② 在解函数型不等式时，首先要使得所求解函数有意义，然后利用好函数图象及其单调性求解.

③ 含有参数的一元二次不等式问题是一类非常重要的常考题型，解答时要先依据常规思路求出两根，再结合二次函数图象确定开口方向求解. 莫忘二次项系数为0时是一次函数的情况，解答结果要写成区间或集合的形式.

【自查题组】

（1） 不等式ax2-ax-1<0 的解集为R ，则实数a的取值范围为 .

（2） 不等式>1的解集为 .

（A） {xx>4}

（B） {xx>或x<-3}

（C） {xx<-3或x>4}

（D） {xx>-2或x<-3}

（3） 不等式2x-1-x<1的解集是 .

（4） 不等式log （2x-3）（x2-3）>0的解集是 .

（5） 若不存在整数x满足不等式（kx-k2-4）（x-4）<0，则实数k的取值范围是 .

知识要点： 集合的表示与运算

★集合的概念：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性的特征

解题中要注意互异性包含的暗示，如集合{a，2}隐含条件a≠2.

★集合的表示方法：列举法、描述法

要注意描述法中代表元素的形式和意义，如{xy=}，{yy=}，{（x，y）y=}分别表示函数y=定义域、值域和点集的集合.

★分清两类关系

① 元素与集合的关系，用∈或表示；

② 集合与集合的关系，用（子集），？芴或？奂（真子集），=（相等）表示.

★最特殊的集合——空集“”

① 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

② 进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况. 如A∩B=，要注意A=或B=这两种极端情况.

【提醒】

集合语言是高中数学的基础，近年以集合语言为基础的抽象表示、符号表示在高考考题中的分量逐年增多，应加强对这类数学语言的理解和掌握.

① 碰到用描述法表示的集合时，首先要看清集合中代表元素的形式，其次看它满足的性质，明白其表示的意义. 注意元素与集合是一种相对关系.

② 解决集合运算问题时，要善于借助数轴或韦恩图这些图示工具对集合进行分析和求解，同时不要遗漏边界值、空集等易被忽略的情况.

【自查题组】

（6） 若集合A={x+y=cc∈R}，B={x2+y2=r2r>0}，则集合A∩B的子集的个数是 .

（A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 1或2或4

（7） 设A={1，2，3}，B={xxA}，则下列关系表述正确的是 .

（A） A∈B （B） AB （C） A？勐B （D） AB

（8） 已知集合A={-1，1}，B={xmx=1}，且A∪B=A，则m的值为 .

（A） 1 （B） -1 （C） 1或-1 （D） 1或-1或0

（9） 已知集合A={xx=2n-1，n∈Z}，B={xx2-4x≤0}，则A∩B= .

（A） {1} （B） {x1

（10） 对于集合M，N，定义M-N={xx∈M且xN}，M？茌N=（M-N）∪（N-M），设A={yy=3x，x∈R}，B={yy=-（x-1）2+2，x∈R}，则A？茌B=

.

（A） [0，2） （B） （0，2]

（C） （-∞，0]∪（2，+∞） （D） （-∞，0）∪[2，+∞）

知识要点：简易逻辑

★命题的否定与否命题

对“pq”型命题来说，“pq”的否定是pq，否命题是pq.

非“pq”型命题无否命题概念，对于命题的否定p掌握以下常考模式即可：

① 全称命题p：？坌x∈M，p（x），p的否定p：？埚x∈M，p（x）；

② 特称命题p：？埚x∈M，p（x），p的否定p：？坌x∈M，p（x）；

③ 命题“p或q”的否定是“p且q”，命题“p且q”的否定是“p或q” .

★判断命题充分性与必要性的三个要点

① 首先要明确哪个作为条件、哪个作为结论，然后根据定义判断：由条件可推出结论时，则条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件时，则条件是结论成立的必要条件.

解题时先根据题目中的问题判断哪个是条件、哪个是结论，然后把条件放前面、结论放后面：条件结论，判断为充分条件；若条件？坩结论，则判断为必要条件.

② 很多与字母有关的判断问题，可以从找寻条件和结论的联系入手，然后结合集合间的包含关系来理解和判断.

若AB，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件；

【参考答案】

（1） {a-4

（2） C

（3） {x0

（4） {xx∈（，2）∪（2，+∞）}

（5） {k1≤k≤4} 【当k>0时，可得x-（x-4）<0，由于=k+≥4，则4

当k=0时，显然存在整数x满足题意.

当k<0时，x-（x-4）>0，由于=k+≤-4，显然也存在整数x满足题意.

综上所述，解得{k1≤k≤4}】

（6） A 【一定要清楚集合A与集合B中元素的形式和意义不同，所以交集为空集，而空集的子集仍然为空集，所以答案为A】

（7） A 【要分清集合和元素的相对性. B集合应这样理解：它的元素是A集合的子集，如{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}和空集，所以应选A】

（8） D 【不要漏掉B为空集的情况】

（9） C

（10） C

（11） C

（12） A

（13） C 【利用集合间的包含关系，找出必要条件的选项，符合条件的只有C】

（14） C 【由题意得： f=f-φ=kπ， “f（x）是偶函数”φ=kπ，所以f=f- f（x）是偶函数，答案选C】

（15） B 【“便宜没好货”即“便宜”“没好货”，它的逆否命题为：“好货”“不便宜”，据此判断，答案为B】

若BA，则x∈A是x∈B的必要条件，x∈B是x∈A的充分条件；

若A=B，则x∈A是x∈B（或x∈B是x∈A）的充要条件.

可以记为“大是小必要，小是大充分”.

③ 对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，可利用原命题与逆否命题等价的性质，即ABBA来判断.

【提醒】

简易逻辑作为高中逻辑判断的理论基础，有助于我们加强对概念、定理和性质等命题的理解和认识.学习时应注意形式化的语言的书写，如写原命题、否命题、逆命题、逆否命题四种命题形式或含有全称量词、特称量词的命题的否定形式等. 命题的充分性和必要性的判断是一个重要的考点，应注意审题，找出联系，分清条件和结论，善于运用集合工具.

【自查题组】

（11） 命题“若xA则y∈B”的否命题是 .

（A） 若xA，则yB （B） 若y∈B，则xA

（C） 若x∈A，则yB （D） 若yB，则xA

（12） 已知命题p：？埚n∈N ，2n>1000，则p为 .

（A） ？坌n∈N ，2n≤1000 （B） ？坌n∈N ，2n>1000

（C） ？埚n∈N ，2n≤1000 （D） ？埚n∈N ，2n<1000

（13） “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是

.

（A） m> （B） 0

（C） m>0 （D） m>1

（14） 已知函数f（x）=cos（x+φ），则“f=f-”是“f（x）是偶函数”的 .

（A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 （D） 既不充分也不必要条件

（15） 人们常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 .

（A） 充分条件 （B） 必要条件

（C） 充分必要条件 （D） 既非充分也非必要条件

（C） （-∞，0]∪（2，+∞） （D） （-∞，0）∪[2，+∞）

知识要点：简易逻辑

★命题的否定与否命题

对“pq”型命题来说，“pq”的否定是pq，否命题是pq.

非“pq”型命题无否命题概念，对于命题的否定p掌握以下常考模式即可：

① 全称命题p：？坌x∈M，p（x），p的否定p：？埚x∈M，p（x）；

② 特称命题p：？埚x∈M，p（x），p的否定p：？坌x∈M，p（x）；

③ 命题“p或q”的否定是“p且q”，命题“p且q”的否定是“p或q” .

★判断命题充分性与必要性的三个要点

① 首先要明确哪个作为条件、哪个作为结论，然后根据定义判断：由条件可推出结论时，则条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件时，则条件是结论成立的必要条件.

解题时先根据题目中的问题判断哪个是条件、哪个是结论，然后把条件放前面、结论放后面：条件结论，判断为充分条件；若条件？坩结论，则判断为必要条件.

② 很多与字母有关的判断问题，可以从找寻条件和结论的联系入手，然后结合集合间的包含关系来理解和判断.

若AB，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件；

【参考答案】

（1） {a-4

（2） C

（3） {x0

（4） {xx∈（，2）∪（2，+∞）}

（5） {k1≤k≤4} 【当k>0时，可得x-（x-4）<0，由于=k+≥4，则4

当k=0时，显然存在整数x满足题意.

当k<0时，x-（x-4）>0，由于=k+≤-4，显然也存在整数x满足题意.

综上所述，解得{k1≤k≤4}】

（6） A 【一定要清楚集合A与集合B中元素的形式和意义不同，所以交集为空集，而空集的子集仍然为空集，所以答案为A】

（7） A 【要分清集合和元素的相对性. B集合应这样理解：它的元素是A集合的子集，如{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}和空集，所以应选A】

（8） D 【不要漏掉B为空集的情况】

（9） C

（10） C

（11） C

（12） A

（13） C 【利用集合间的包含关系，找出必要条件的选项，符合条件的只有C】

（14） C 【由题意得： f=f-φ=kπ， “f（x）是偶函数”φ=kπ，所以f=f- f（x）是偶函数，答案选C】

（15） B 【“便宜没好货”即“便宜”“没好货”，它的逆否命题为：“好货”“不便宜”，据此判断，答案为B】

若BA，则x∈A是x∈B的必要条件，x∈B是x∈A的充分条件；

若A=B，则x∈A是x∈B（或x∈B是x∈A）的充要条件.

可以记为“大是小必要，小是大充分”.

③ 对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，可利用原命题与逆否命题等价的性质，即ABBA来判断.

【提醒】

简易逻辑作为高中逻辑判断的理论基础，有助于我们加强对概念、定理和性质等命题的理解和认识.学习时应注意形式化的语言的书写，如写原命题、否命题、逆命题、逆否命题四种命题形式或含有全称量词、特称量词的命题的否定形式等. 命题的充分性和必要性的判断是一个重要的考点，应注意审题，找出联系，分清条件和结论，善于运用集合工具.

【自查题组】

（11） 命题“若xA则y∈B”的否命题是 .

（A） 若xA，则yB （B） 若y∈B，则xA

（C） 若x∈A，则yB （D） 若yB，则xA

（12） 已知命题p：？埚n∈N ，2n>1000，则p为 .

（A） ？坌n∈N ，2n≤1000 （B） ？坌n∈N ，2n>1000

（C） ？埚n∈N ，2n≤1000 （D） ？埚n∈N ，2n<1000

（13） “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是

.

（A） m> （B） 0

（C） m>0 （D） m>1

（14） 已知函数f（x）=cos（x+φ），则“f=f-”是“f（x）是偶函数”的 .

（A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 （D） 既不充分也不必要条件

（15） 人们常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 .

（A） 充分条件 （B） 必要条件

（C） 充分必要条件 （D） 既非充分也非必要条件

（C） （-∞，0]∪（2，+∞） （D） （-∞，0）∪[2，+∞）

知识要点：简易逻辑

★命题的否定与否命题

对“pq”型命题来说，“pq”的否定是pq，否命题是pq.

非“pq”型命题无否命题概念，对于命题的否定p掌握以下常考模式即可：

① 全称命题p：？坌x∈M，p（x），p的否定p：？埚x∈M，p（x）；

② 特称命题p：？埚x∈M，p（x），p的否定p：？坌x∈M，p（x）；

③ 命题“p或q”的否定是“p且q”，命题“p且q”的否定是“p或q” .

★判断命题充分性与必要性的三个要点

① 首先要明确哪个作为条件、哪个作为结论，然后根据定义判断：由条件可推出结论时，则条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件时，则条件是结论成立的必要条件.

解题时先根据题目中的问题判断哪个是条件、哪个是结论，然后把条件放前面、结论放后面：条件结论，判断为充分条件；若条件？坩结论，则判断为必要条件.

② 很多与字母有关的判断问题，可以从找寻条件和结论的联系入手，然后结合集合间的包含关系来理解和判断.

若AB，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件；

【参考答案】

（1） {a-4

（2） C

（3） {x0

（4） {xx∈（，2）∪（2，+∞）}

（5） {k1≤k≤4} 【当k>0时，可得x-（x-4）<0，由于=k+≥4，则4

当k=0时，显然存在整数x满足题意.

当k<0时，x-（x-4）>0，由于=k+≤-4，显然也存在整数x满足题意.

综上所述，解得{k1≤k≤4}】

（6） A 【一定要清楚集合A与集合B中元素的形式和意义不同，所以交集为空集，而空集的子集仍然为空集，所以答案为A】

（7） A 【要分清集合和元素的相对性. B集合应这样理解：它的元素是A集合的子集，如{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}和空集，所以应选A】

（8） D 【不要漏掉B为空集的情况】

（9） C

（10） C

（11） C

（12） A

（13） C 【利用集合间的包含关系，找出必要条件的选项，符合条件的只有C】

（14） C 【由题意得： f=f-φ=kπ， “f（x）是偶函数”φ=kπ，所以f=f- f（x）是偶函数，答案选C】

（15） B 【“便宜没好货”即“便宜”“没好货”，它的逆否命题为：“好货”“不便宜”，据此判断，答案为B】

若BA，则x∈A是x∈B的必要条件，x∈B是x∈A的充分条件；

若A=B，则x∈A是x∈B（或x∈B是x∈A）的充要条件.

可以记为“大是小必要，小是大充分”.

③ 对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，可利用原命题与逆否命题等价的性质，即ABBA来判断.

【提醒】

简易逻辑作为高中逻辑判断的理论基础，有助于我们加强对概念、定理和性质等命题的理解和认识.学习时应注意形式化的语言的书写，如写原命题、否命题、逆命题、逆否命题四种命题形式或含有全称量词、特称量词的命题的否定形式等. 命题的充分性和必要性的判断是一个重要的考点，应注意审题，找出联系，分清条件和结论，善于运用集合工具.

【自查题组】

（11） 命题“若xA则y∈B”的否命题是 .

（A） 若xA，则yB （B） 若y∈B，则xA

（C） 若x∈A，则yB （D） 若yB，则xA

（12） 已知命题p：？埚n∈N ，2n>1000，则p为 .

（A） ？坌n∈N ，2n≤1000 （B） ？坌n∈N ，2n>1000

（C） ？埚n∈N ，2n≤1000 （D） ？埚n∈N ，2n<1000

（13） “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是

.

（A） m> （B） 0

（C） m>0 （D） m>1

（14） 已知函数f（x）=cos（x+φ），则“f=f-”是“f（x）是偶函数”的 .

（A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 （D） 既不充分也不必要条件

（15） 人们常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 .

（A） 充分条件 （B） 必要条件

（C） 充分必要条件 （D） 既非充分也非必要条件