中美小学数学“图形与几何”内容比较——以数学教材上海版与美国加州版为例

应求上

(上海师范大学 教育学院，上海200235)

中美小学数学“图形与几何”内容比较
——以数学教材上海版与美国加州版为例

应求上

(上海师范大学 教育学院，上海200235)

以小学数学教材中“图形与几何”为切入点，对中美两地教材比较典型的上海版和美国加利福尼亚州版，从内容的广度、难度以及课程呈现方式三方面作比较分析，并就如何借鉴、完善上海小学数学教材提出建议，即在调整数学课程结构和完善课程呈现方式上要更注重学生认知能力的发展，更注重学生空间想象能力的培养，更注重学生实践技能的训练，更重视生活实际的联系，更重视与时代步伐的合拍，更重视教材趣味性的设计.

中美小学数学教材；图形与几何；比较

小学数学学科对培养学生的数学素养起着基础性的作用，小学阶段应让学生学什么，达到什么标准，怎样评价等，值得我们思考研究.由于教材直接体现课程标准，直接影响学生认知过程，教材的研究就显得至关重要.国际教育成就评价协会研究发现，教材的内容和学生数学学业成绩之间存在巨大联系.为此，选择中美两地典型的小学数学教材并以“图形与几何”为切入点加以比较研究.

1 上海版和加州版小学数学教材比较研究的可行性

本次研究的教材是指狭义层面的教材，即教科书[1].选择上海版和加州版小学数学教材中的“图形与几何”作为比较研究的对象，是综合以下因素确定的.

1.1小学数学教材具有可比性

各国的文化背景不一，学制存在差距，如果选择初高中教材或者语言类教材进行比较，则有可能由于起点不同导致研究结果的误差.而选择学生初始阶段(小学阶段)的数学教材进行比较，则可最大限度地避免其他因素的干扰，使研究结果更具科学性.

1.2两地的学段设置具有对等性

上海和美国加利福尼亚州均为经济发达的城市，教育质量在本国处于领先地位，而且两地的学段相对应，比较匹配.我国的义务教育年限12年，上海设置小学5年(其中1-2年级为第一学段，3-5年级为第二学段)，初中4年，而加州的基础教育也是12个年级.两地基础教育学制在整体上是一致的，美国1-2年级与上海的第一学段一致，美国3-5年级与上海的第二学段一致.

1.3 “图形与几何”部分具有代表性

《上海市中小学数学课程标准》把数学基础知识分为“数与运算”“方程与代数”“图形与几何”“函数与分析”“数据整理与概率统计”五部分.每部分形成系列，又相互联系，组成一个有机的整体.“图形与几何”部分在数学学科中占有重要的地位，对其他部分的数学内容起着非常重要的作用.选择“图形与几何”作为教材对比的重点，具有代表性.

2 上海版和加州版小学数学教材“图形与几何”内容比较

比较研究采用层层递进、逐步深入的形式进行，依次比较分析两地小学数学教材“图形与几何”部分的广度、深度和呈现形式.

2.1课程内容的广度比较

按学段比较，可对小学阶段的教材内容获得整体了解.总体上，课程内容的广度加州版更广些.

2.1.1 第一学段“图形与几何”对比分析

表1 第一学段两地小学数学教材比较

从表1分析，上海与加州第一学段“图形与几何”的课程广度大体相同，内容重点集中在感知立体图形、初步了解简单图形(正方形、长方形和三角形)、认识和测量物体长度.但仍存在差异：上海版更有针对性，更深入和精炼，尤其对平面图形、三角形的认识要求较高，内在的逻辑关系紧密.加州版内容广泛，更重视在实际生活中感知立体几何，教材罗列了许多常见的平面、立体图形，包括平行四边形、菱形、梯形、圆锥、圆柱体、棱锥、球的认识及图形的变换、分拆和组合.

2.1.2 第二学段“图形与几何”对比分析

表2 第二学段两地小学数学教材比较

续表：

从表2可见，两地第二学段中大部分几何知识是相同的，侧重点都在于长度、面积、体积的测量与计算以及三角形等图形的相关知识学习.但加州版进一步加深对立体图形和平面图形模型的构建，课程设置广度更广.

2.2课程内容的难度比较

斯托利亚尔从数学思维角度，将学生学习数学的认知水平分为五个水平级[2].现根据五个水平分级，分年级对两地教材“图形与几何”内容的等级水平进行比较.总体上上海版知识结构逻辑性强，从三年级后集中于平面图形的周长、面积计算，对数学抽象与计算能力要求较高，但立体几何内容涉及较少；加州版内容繁杂，略显凌乱，但体现了平面几何和立体几何的结合，为学生的空间想象能力发展作铺垫.

2.2.1 一年级“图形与几何”水平分级对比分析

表3 一年级两地教材“图形与几何”水平分级比较

表3中，一年级两地教材都注重实际体验，通过动手操作认识常见几何体并分类.由于学生在生活中接触的是三维物体，二维图形概念的建立需要经过一定的抽象，上海版着重让学生感受立体几何图形，对平面图形要求不高.加州版要求同时学习立体与平面几何并分类，学生的数学思维水平要求达到第二级.

2.2.2 二年级“图形与几何”水平分级对比分析

表4 二年级两地教材“图形与几何”水平分级比较

由表4可以看出，上海版重点在于学习正方形、长方形和三角形的性质，内容精炼；加州版增加了多种图形的认识、变换、分拆和组合，数学思维水平要求在第二级水平上更深入.

2.2.3 三年级“图形与几何”水平分级对比分析

表5 三年级两地教材“图形与几何”水平分级比较

三年级“图形与几何”内容较前两个年级增加了许多，但两版教材侧重点有所不同：上海版侧重于面积与周长的理解、计算并解决问题，这对学生的抽象思维要求较高，数学思维水平要求已达到第四级水平；而加州版侧重于继续学习常见图形，包括多边形概念的认识、立体图形的辨识、分类、绘制等，对学生抽象思维水平要求较低.

2.2.4 四年级“图形与几何”水平分级对比分析

表6 四年级两地教材“图形与几何”水平分级比较

四年级“图形和几何”部分课程内容更多，学生思维水平大多要求达到第三级.不同点在于：加州版延续了几何模型构建的学习，难度有所提高(平面图形水平与上海版三年级相近)，更多篇幅要求学生进一步学习全等形及图形的变换、立体图形的构建；上海版则在角和圆的认识、两直线关系方面比加州版更加深入.

2.2.5 五年级“图形与几何”水平分级对比分析

表7 五年级两地教材“图形与几何”水平分级比较

五年级的“图形与几何”部分的重难点集中于计算面积与体积，不同点在于：上海版要求学生掌握梯形计算公式，并能用多种方法推导.加州版不要求掌握梯形公式，只要求在分割的基础上进行计算；加州版要求学生通过动手，知道三角形和四边形的内角和，并推导常见多边形的内角和，这对学生的数学思维水平要求较高，上海版则未涉及.

2.3课程内容呈现形式的比较

2.3.1 课程内容合理性上的差异

两地教材在编排上都努力遵循学生的认知规律，各有特色，自成体系.从“图形与几何”部分内容的展开看，两者各不相同.上海版教材在安排学习简单常见的立体图形后，整个小学阶段几乎都是平面几何的内容，沿着平面图形这一主题以直线式结构展开，强调每一部分知识点一步到位，并注重公式的掌握与计算.加州版教材安排上则是立体几何、平面几何并重，两条主线螺旋式上升，甚至更侧重立体图形的学习和模型构建，但知识点之间缺乏联系，许多知识点侧重点不明确.

2.3.2 课程内容整合性上的差异

两地教材都比较重视与其他学科和现实生活的整合，促进学生形成完整的知识结构，提高解决问题的能力.但相对而言，加州版教材整合性上显得更系统.以图形的拼嵌为例，上海版把内容安排在三年级上册的“整理与提高”部分，要求学生把图形拼成画，从地毯、地砖实例中，辨认镶嵌图形，操作中的指导不多.加州版则要求学生自己动手制作镶嵌图形，安排“问题解决策略”环节，即“如何设计镶嵌图形来平铺建筑物的拱形顶端”，过程中教材有详细指导；在章节结尾安排了延伸阅读：美国著名建筑设计师代表作品短程线圆顶体为例，让学生结合 “圆”的知识了解圆顶建筑结构；最后还有“丰富知识”部分，让学生动手画图学习“分形”.

2.3.3 课程内容趣味性上的差异

上海版小学数学教材思路清晰，结构紧凑，行文流畅，语言简约，编排上体现了精致的特点.加州版的教材厚重，内容更丰富，更有趣味性.如加州版通常使用丰富的实物图片，而非手绘图，更具现实感和生动性；又如加州版开发了电子文本教材，包含了课外阅读材料、在线测试题和自学辅导等内容，丰富、拓展纸质教材的内容，与纸质教材共同构成了一个整体.但加州版的教材缺乏精心组织，编排上显得有些冗长和凌乱.

3 完善上海版小学数学教材的建议

上海版和加州版小学数学教材，在内容设置及呈现方式方面各有长处，也都存在一些问题.如加州版教材可借鉴上海版的优势，使得内容设置尤其是各知识点的落实以及衔接方面更加严谨，在呈现方式上还可更精练些，避免冗长和杂乱的问题，等等。由于篇幅的限制，本文仅就借鉴加州版教材的优势，以更好地完善上海版教材，提出以下建议.

3.1优化理念调整教材内容结构

3.1.1 更注重学生的认知能力的发展

美国的数学课程理念以实用为原则，遵循学生认知能力的发展，尊重学生的个性发展，体现在课程结构上则是数学学科的学术性和实用性有机结合，知识结构体系与学生的认知能力发展有机结合.首先，鉴于上海版“图形与几何”部分某些内容偏难，建议适当降低特别是三年级的难度，以便有更多的时间安排知识面的拓展.其次，更多地注重螺旋式地递进，而不是单一的精深，不是一个知识点一步到位，可借鉴加州做法，从内容的选取上深入浅出，强调学生在实际操作中体会感悟几何模型的构建，以更好地符合学生认知能力的发展规律.

3.1.2 更注重学生的空间想象能力的培养

格劳斯DA研究得出空间想象能力四要素[3]：一是依据实物建立模型的能力；二是依据模型还原实物的能力；三是依据模型抽象出特征、大小和位置关系的能力；四是能将模型或实物进行分解与组合的能力.加州版从一二年级让学生不断接触立体图形、动手操作拆分和组合，到三四年级开始培养学生对立体图形的建模能力，再到高年级要求学生画三视图，这样的过程充分体现了学生空间想象能力训练的循序渐进，值得学习和改进.

3.1.3 更注重学生的实践技能的训练

加州版通常采用“创设问题情境—建立模型—解释与应用数学学习—修正或反思思维过程—形成一定的策略性知识”的模式构建课程内容.课程学习前，设计富有挑战性的问题情境,引导学生进入问题解决环节；新知识点学习后有一些简单的习题，通常是“数学写作”(用所学数学知识以文字形式回答问题)形式出现；每一章有单列的“解决问题的策略”，帮助学生强化用数学思维解决实际问题能力，强调动手实践、自主探索与合作交流，彻底改变学生的学习方式.上海版教材在这方面显然有待加强.

3.2结合实际改进教材文本的方式

3.2.1 更注重教材的现实性

结合生活实际的数学教材，可在实施教学活动过程中唤醒学生已有的生活经验，构建基础、必要、现实的数学知识，用数学的眼光看待整个社会，提高用数学解决实际问题的能力.重视与现实生活的紧密联系，上海的课程标准要求中也明确了这点，但实际中还有待改进.可以借鉴加州版的做法，与现实生活的整合范围应更广，让应用与实践体现在每一项内容、每一个教学环节中，留给学生充分思考、探究的空间，让学生在整个学习经历中充分享受探究数学解决实际问题所带来的无穷乐趣.

3.2.2 更注重教材的应时性

信息时代的到来，正在改变或将彻底改变我们的学习、生活.目前，上海版没有像加州版那样可供学生学习的电子文本教材，即使在网站搜索与纸质教材相同的上海版电子教材也是不完整的.建议上海版教材与信息技术充分结合，开发拓展课程内容的学习软件，拓宽学生学习数学的渠道，使课程内容更加丰富多彩，更具时代气息，让电子文本教材成为纸质教材的有机组成部分，促进学生学习方式的转变，促进课程教学改革.

3.2.3 更注重教材的趣味性

上海版教材有生活图片和背景故事，但主要是四位漫画人物和两个卡通动物形象贯穿整整五年的教材，显得有些单调和乏味.加州版的教材则更像一本有趣的图书，有大量的真实场景图片，有大量充满变化的旁白提示.另外，加州版在整个学习活动中的设计也充满趣味.如每一新内容学习前都有“在家学数学”作铺垫，指导家长在家和学生开展与学习内容有关的趣味小游戏，小竞赛.在每一章结尾都会有“游戏时间”，游戏图往往包含本章节主要学习内容的棋类游戏，要求两名以上学生参加，让学生在轻松和竞争的氛围中探讨交流和复习本章内容.建议上海版教材的编写中能吸收这方面的做法.

[1]中国大百科全书委员会编.中国大百科全书》(教育篇)[M].北京：中国大百科全书出版社，1985:14.

[2]弗里德曼．中小学数学教学心理学原理[M]．北京：北京师范大学出版，1987：50.

[3]格劳斯 D A. 数学教与学研究手册[M]. 陈昌平译. 上海：上海教育出版社，1999：542.

[4] 杨庆余主编.小学数学课程与教学[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] 陈昌平主编.数学教育比较与研究[M].上海：华东师范大学出版社，2000.

[6] 王林全,吴跃忠.中美几何教学理念和内容的比较[J].数学教育学报，2003(12):30-33.

[7]韩园林.美国加州基础教育启示及借鉴[J].课程·教材·教法， 2006(07)：73-75.

[8] 张辅.上海与美国加州小学数学期望课程的比较研究[D].上海:华东师范大学，2007.

[9] 栾家佳.中美小学数学教科书比较研究[D].吉林：东北师范大学，2010.

[10] 谢薇.中美小学数学教科书呈现方式的比较研究 [D].上海:上海师范大学，2013.

2016-04-24

应求上(1992-)，女，浙江绍兴人，主要研究方向为小学数学.

G423.3

A

1008-293X(2014)08-0106-06

(责任编辑王海雷)