基于剩余收入的消费者均衡模型修正*

许晓军， 袁 辉， 宁 凯

(沈阳工业大学 工程学院， 辽宁 辽阳 111003)

【经济理论与应用】

基于剩余收入的消费者均衡模型修正*

许晓军， 袁 辉， 宁 凯

(沈阳工业大学 工程学院， 辽宁 辽阳 111003)

传统的消费者均衡模型没有对收入进行细化，其效用函数只体现商品的效用，收入则没有直接进入效用函数，而是体现在预算约束条件里，造成“均衡等式矛盾”的漏洞。为推出更加合理的消费者均衡等式，将传统模型中的收入细化为总收入、剩余收入和实际支出3部分，将剩余收入引入效用函数，运用条件极值法建立修正的消费者均衡模型。研究结论认为，传统的消费者均衡模型是修正的消费者均衡模型的一个特例，运用修正的消费者均衡模型可以更好地理解货币的边际效用，也可以为宏观经济现象提供微观理论依据。

剩余收入； 消费者均衡； 数学模型； 边际效用； 效用函数； 边际消费倾向； 边际替代率； 条件极值法

供给和需求是微观经济理论的重要分析工具。供给方面的理论主要有生产理论、成本理论和市场理论等，需求方面的理论主要是效用理论。效用理论主要包括基数效用理论和序数效用理论，尽管这两个理论存在着一些不同点，但是通过这两个理论所推导出来的消费者均衡条件却基本相同，由此可以推导出经典的向下倾斜的需求曲线。部分著作对这个消费者均衡条件的推导采用逻辑推导法和图形推导方法，如Samuelson Nordhaus(1998)[1]12、曼昆(2009)[2]15、佩罗夫(2009)[3]22、高鸿业(2011)[4]41等；部分著作则采用数学模型推导方法，如Mas-Colell、Whinston和Green(1995)[5]18、Nicholson(1998)[6]35、Varian(1999)[7]24、平狄克(2009)[8]14、张军(2010)[9]23、刘凤良和周业安(2012)[10]19等。他们推导出来的消费者均衡条件为边际效用与各自商品价格之比相等，并且等于货币的边际效用，或者边际替代率等于商品的相对价格。这个均衡条件的结论没有任何问题，但推导过程却存在着漏洞，这个漏洞便是没有区分消费者的“总收入”和“剩余收入”。其实，他们在推导这个均衡条件时都将消费者的收入理解成“总收入”，虽然理解成总收入不影响消费者均衡条件的正确性，也不影响解答相关习题，但是这样理解是不准确的。正如浙江大学经济学院教授叶航所说:“消费者理论和生产理论是经济学的两大支柱。但是两者的发展极不平衡，消费者理论到20世纪60年代和70年代随着显示偏好理论的定型就基本处于停滞状态。”[11]32也许是因为这个原因，经济学家不太关心消费者效用理论，尤其是没有对收入的结构进行深入研究。因此，有必要对收入和消费者均衡这个条件进行一次全新梳理。

一、传统消费者均衡模型的漏洞

1. 传统消费者均衡模型的推导过程

为了更加方便地分析传统消费者均衡模型和消费者均衡条件推导的漏洞，对现有著作通常运用的方法进行梳理。假设消费者消费两种商品X和Y，消费者的效用函数为U=U(X，Y)，该消费者的收入为M，据此建立的消费者均衡模型为

(1)

此模型为条件极值问题，采用拉格朗日条件极值法推导消费者均衡条件。建立拉格朗日函数

L(X，Y，λ)=U(X，Y)+λ(M-PXX-PYY)

(2)

计算一阶偏导数，则有等式组(3)成立:

(3)

因此，基数效用论消费者均衡条件为

(4)

式中，λ为货币边际效用。

或者，序数效用论消费者均衡条件为

(5)

2. 传统消费者均衡模型推导过程的漏洞

上面的消费者均衡条件非常正确，也可以运用这个均衡条件来解答许多问题。但是，这个均衡条件却不能很好地解答“收入也进入效用函数”的问题，因为用上面这个均衡条件解答问题会掩盖一些矛盾。例如，假设消费者的效用函数为U=q0.5+3M，其中q为某商品的消费量，M为消费者收入，假设市场价格为P，计算该消费者的需求函数。从这道经典习题可以看出，收入M直接进入消费者的效用函数。

来看一看这个“等式”，左边0.5q-0.5为正数，右边由于价格P为正数，所以-3P一定为负数，左边不可能等于右边，所以无法计算消费者需求函数。如果不应用这种解答方法而是直接套用消费者均衡公式就不会出现这种矛盾，因为直接套用公式掩盖了这个“负号”。比较这两种解答方法，后面这种方法更合理，但其中的矛盾究竟出自于哪里呢?矛盾就出于“收入”概念的模糊性，即没有区分“总收入”、“剩余收入”和“实际支出”的不同，这会直接影响对问题的思考。

二、传统消费者均衡模型的修正

1. 剩余收入与货币边际效应

传统模型的约束条件PXX+PYY=M中的收入M通常被理解为总收入W，这就造成了对上面习题第二种解答方法的误解:将约束条件里的Pq=M中的收入M理解成“总收入W”，并且将目标函数U=q0.5+3M里的收入M也理解成“总收入W”，因此将目标函数和约束条件里的收入M视为同一个概念。其实，上面习题约束条件Pq=M中的收入M应该理解为“实际支出w”，目标函数U=q0.5+3M里的收入M应该理解为“剩余收入m”，只有剩余收入才会给消费者带来货币边际效用。可见，目标函数和约束条件里的收入M不是同一个含义，因此也就不能同时对它们计算导数，如果将他们作为同一个概念，就一定会出现逻辑上的矛盾。上面习题的第一种解答方法虽然结果正确，但是由于没有区分各种收入的不同，也不能算作“严谨”。

2. 引入剩余收入后消费者均衡模型的修正

传统消费者均衡模型之所以出现漏洞，是因为传统模型的效用函数中漏掉了剩余收入，剩余收入m也会给消费者带来效用。因此，应该考虑将剩余收入m引入到传统模型的效用函数中，重新建立的消费者均衡模型为

(6)

建立拉格朗日函数

L(X，Y，m，λ)=U(X，Y，m)+

λ(W-PXX-PYY-m)

(7)

商品X的一阶偏导数为

(8)

商品Y的一阶偏导数为

(9)

剩余收入的一阶偏导数为

(10)

由此，可以得出消费者均衡条件为

(11)

三、修正的消费者均衡模型的应用

应用传统模型解答习题会出现一些概念上的误解，造成逻辑上的矛盾。可以尝试一下运用修正的消费者均衡模型解答上面的习题。对上述习题重新建立的修正的消费者均衡模型*为了与上述习题原来的符号一致，在修正的消费者均衡模型里用M表示“剩余收入”，相当于修正模型里的剩余收入m，W仍然表示消费者总收入。为

(12)

建立拉格朗日函数

L(q，M)=q0.5+3M+λ(W-Pq-M)

(13)

商品的一阶偏导数为

(14)

剩余收入的一阶偏导数为

(15)

因此，可以建立等式

(16)

这个等式是正确的，不存在“等式矛盾”，可以进一步据此计算出该消费者的需求函数。

通过进一步思考，可以发现传统的消费者均衡模型与修正后的消费者均衡模型存在着密切的关系:当修正后的消费者均衡模型中的剩余收入m=0时，便为传统的消费者均衡模型。因此，传统的消费者均衡模型是修正的消费者均衡模型的一个特例。

修正的消费者均衡模型对于实践的启迪意义颇多，这里仅举一例进行探讨。微观经济理论由于其严谨的理论体系而为人们所普遍认可，但是宏观经济理论却由于缺少一般理论框架而处于非常尴尬的境地。因此，现在大多数论著都试图为宏观经济理论寻找“微观理论基础”。修正后的消费者均衡模型就可以为边际消费倾向的不同提供理论依据。修正后的消费者均衡模型中含有剩余收入m，即消费者没有花费的货币——储蓄。如果剩余收入较多，那么边际消费倾向自然就小。从这个角度来说，修正后的消费者均衡模型更加符合中国实际，可以运用修正后的消费者均衡模型来解释中国边际消费倾向较低的原因[12]。因为在中国“自给自足经济”占据了主流地位，消费者不需要花费比较多的货币来购买X产品和Y产品，剩余收入自然较多，边际消费倾向自然较小。顺着这个思路，可以为中国在外贸疲软的情况下扩大内需提供一个发展建议:从短期来说，鼓励居民购买X产品和Y产品；从长期来说，提高市场经济发展程度，扩大居民消费需求。

四、结 论

消费者效用论中的收入应该细化为总收入、剩余收入和实际支出3个部分。在消费者预算线里，收入指实际支出；在消费者效用函数里，收入指剩余收入。货币的边际效用应该指剩余货币的边际效用，以此建立了修正的消费者均衡模型。与传统模型不同，修正的消费者均衡模型让剩余收入进入效用函数，让消费者均衡模型显得更加合理，更加具有理论价值和实际意义。例如，通过修正后的消费者均衡模型可以更好地理解货币的边际效用。修正的消费者均衡模型不仅可以包括传统的消费者均衡模型，是传统的消费者均衡模型的扩展，而且可以用来解答传统的消费者均衡模型所能解答的问题。修正的消费者均衡模型也可以为某些宏观经济现象提供微观理论依据。当然，将剩余收入引入消费者效用函数也会带来一些麻烦，如引入剩余收入后考虑到两种商品的情况要绘制三维空间图形来思考问题等。应用三维图形来探讨消费者均衡是将来消费者均衡理论的研究方向，尤其是经济学教材的努力方向。

[1] Samuelson N.Economics [M].16th Edition.New York:McGraw-Hill Inc，1998.

[2] 曼昆.经济学原理 [M].北京:北京大学出版社，2009.

[3] 佩罗夫.中级微观经济学 [M].北京:机械工业出版社，2009.

[4] 高鸿业.西方经济学:微观部分 [M].5版.北京:中国人民大学出版社，2011.

[5] Mas-Colell A M，Whinston D，Green J R.Microeconomic theory [M].USA:Oxford University Press，1995.

[6] Nicholson.Microeconomic theory:basic principles and extensions [M].USA:Dryden Press，1998.

[7] Varian H R.Intermediate microeconomics [M].5th Edition.New York:Norton Press，1999.

[8] 平狄克.微观经济学 [M].北京:中国人民大学出版社，2009.

[9] 张军.高级微观经济学 [M].上海:复旦大学出版社，2010.

[10]刘凤良，周业安.中级微观经济学 [M].北京:中国人民大学出版社，2012.

[11]汪丁丁，叶航，罗卫东.经济学3人谈 [M].上海:上海人民出版社，2007.

[12]付会霞，张彦明，赵俊平.东北三省城镇居民消费结构比较分析:基于扩展线性支出系统模型 [J].沈阳工业大学学报:社会科学版，2012(4):346-351.

Correctionofconsumerequilibriummodelbasedonresidualincome

XU Xiao-jun, YUAN Hui, NING Kai

(School of Engineering, Shenyang University of Technology, Liaoyang 111003, China)

The traditional consumer equilibrium model doesn’t specify the income of consumer, whose utility function only reflects the utility of commodity. Meanwhile, the income is not involved in the utility function directly, but is expressed in budget constraint condition, which resulted in the loophole of “equilibrium equation of contradiction”. In order to deduce more reasonable equilibrium equation of consumer, the income in traditional model is specified into three parts of total income, residual income and actual expenditure, the residual income is introduced into utility function, and conditional extremum method is applied to establish correctional consumer equilibrium model. Conclusion is drawn that traditional consumer equilibrium model is a special case of correctional consumer equilibrium model, and that marginal utility of currency can be understood better, and microeconomic theory basis can be provided for macroeconomic phenomenon through applying correctional consumer equilibrium model.

residual income; consumer equilibrium; mathematic model; marginal utility; utility function; marginal consumption propensity; marginal substitution rate; conditional extremum method

2013-01-11

辽宁省教育厅人文社会科学研究立项课题(W2010313)。

基金项目:许晓军(1978-)，男，辽宁葫芦岛人，讲师，硕士，主要从事国际贸易理论与政策、微观经济理论等方面的研究。

* 本文已于2013-06-13 17∶56在中国知网优先数字出版。 网络出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/21.1558.C.20130613.1756.012.html

10.7688/j.issn.1674-0823.2014.02.10

F 063.2

A

1674-0823(2014)02-0137-04

(责任编辑:郭晓亮)