古典概型与几何概型解法扫描

张涛

如果你仅仅学会了数学知识点，而对数学解题方法没有掌握，在解题时就犹如“航海没有了灯塔，旅行迷失了方向”.可见数学解题方法的重要性，下面就让我们一起赏析古典概型与几何概型中的常用方法吧.

一、求和法

如果所求事件较为复杂，我们可以将事件分为几个彼此互斥的事件分别求解，利用互斥事件的概率加法公式求解. （当事件[A]与[B]互斥时，[P（A∪B）=P（A）+P（B）].）

例1 某商场举行抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中每次抽出一个小球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖. 求中三等奖的概率.

分析 列出取球的所有结果，中三等奖包括两个互斥事件，分别求解，然后求和，中奖包括三个互斥事件，分别求解，然后求和.

解 设“中三等奖”为事件[A].

从四个小球中有放回地取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16种不同的结果.

记两个小球的号码之和为[x]，则由题意可知，事件[A]包括两个互斥事件：[x=4，x=3].

事件[x=4]的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1），故[P（x=4）=316]；

事件[x=3]的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故[P（x=3）=416].

由互斥事件的加法公式得，

[P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716].

点拨 将复杂事件的概率转化为彼此互斥事件的概率进行求解，其关键在于确定事件划分的标准，要保证不重不漏. 即依据此标准划分后，任意两个事件不同时发生，并且这些互斥事件的并集就是所求事件.

二、正难则反法

对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，将其转化为其对立事件的概率求解. 此类试题的典型条件是“至少”“至多”“否定”或“肯定”等.

例2 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. 先从袋中随机取一个球，该球的编号为[m]，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为[n]，求[n

分析 利用列举法求解编号之和大于4的概率，列举出又放回抽取两球编号的所有结果，满足[n

解 先从袋中随机取一个球，记下编号为[m]，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为[n]，其一切可能的结果[（m，n）]有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.

所有满足条件[n≥m+2]的事件为（1，3）（1，4）（2，4），共3个.

所以满足条件[n≥m+2]的事件的概率为[P1=316].

故满足条件[n

[P=1-P1=1-316=1316].

三、数形结合法

根据已知条件作出大致的几何图形. 从而确定运用何种测度公式.

例3 已知关于[x]的一元二次函数[f（x）=ax2-4bx][+1.]

（1）设集合[P={1，2，3}]和[Q={-1，1，2，3，4}]，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数[y=f（x）]在区间[[1，+∞）]上是增函数的概率；

（2）设点[（a，b）]是区域[x+y-8≤0，x>0，y>0]内的随机点，求函数[y=f（x）]在区间[[1，+∞）]上是增函数的概率.

分析 根据原函数是增函数确定[a，b]的范围，枚举基本事件总数与事件[A]的个数，可求第（1）问，作出可行域，计算测度（面积），计算第（2）问.

解 （1）∵函数[f（x）=ax2-4bx+1]的图象的对称轴为[x=2ba]，要使[f（x）=ax2-4bx+1]在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当[a>0]且[2ba≤1]，即[2b≤a].

若[a=1]，则[b=-1]；若[a=2]，则[b=-1，1]；若[a=3]，则[b=-1，1.]

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5.

∴所求事件的概率为[515=13].

（2）由（1）知，当且仅当[2b≤a且a>0]时，

函数[f（x）=ax2-4bx+1]在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知，试验的全部结果所构成的区域为[（a，b）|a+b-8≤0，a>0，b>0].

构成所求事件的区域为三角形部分，

由[a+b-8=0，b=a2]得交点坐标为[（163，83）].

∴所求事件的概率为[P=12×8×8312×8×8=13].

点拨 几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意. 解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.

四、构造模型法

当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.

例4 在区间[0，1]上任取三个实数[x，y，z]，事件[A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}].

（1）构造出此随机事件对应的几何图形；

（2）利用该图形求事件[A]的概率.

分析 由于事件[A]对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.

解 （1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合[[Ω]={（x，y，z）|0≤x≤1]，[0≤y≤1]，[0≤z≤1]}，而随机事件[A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1]，[x≥0，][y≥0，z≥0}]对应的几何图形为在正方体内以[O]为球心，以1为半径的球的[18]部分.

（2）由于[x，y，z]属于区间[0，1]，当[x=y=z=1]时，为正方体的一个顶点，事件[A]为球在正方体内的部分.

∴[P（A）=18×43π×1313=π6].

点拨 基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意数的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型. 由于[x，y，z]的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型. 构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制. 在转化概率问题时，要注意表示事件结果的数值的个数：一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型，三个数的转化为与体积有关的几何概型.

如果你仅仅学会了数学知识点，而对数学解题方法没有掌握，在解题时就犹如“航海没有了灯塔，旅行迷失了方向”.可见数学解题方法的重要性，下面就让我们一起赏析古典概型与几何概型中的常用方法吧.

一、求和法

如果所求事件较为复杂，我们可以将事件分为几个彼此互斥的事件分别求解，利用互斥事件的概率加法公式求解. （当事件[A]与[B]互斥时，[P（A∪B）=P（A）+P（B）].）

例1 某商场举行抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中每次抽出一个小球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖. 求中三等奖的概率.

分析 列出取球的所有结果，中三等奖包括两个互斥事件，分别求解，然后求和，中奖包括三个互斥事件，分别求解，然后求和.

解 设“中三等奖”为事件[A].

从四个小球中有放回地取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16种不同的结果.

记两个小球的号码之和为[x]，则由题意可知，事件[A]包括两个互斥事件：[x=4，x=3].

事件[x=4]的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1），故[P（x=4）=316]；

事件[x=3]的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故[P（x=3）=416].

由互斥事件的加法公式得，

[P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716].

点拨 将复杂事件的概率转化为彼此互斥事件的概率进行求解，其关键在于确定事件划分的标准，要保证不重不漏. 即依据此标准划分后，任意两个事件不同时发生，并且这些互斥事件的并集就是所求事件.

二、正难则反法

对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，将其转化为其对立事件的概率求解. 此类试题的典型条件是“至少”“至多”“否定”或“肯定”等.

例2 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. 先从袋中随机取一个球，该球的编号为[m]，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为[n]，求[n

分析 利用列举法求解编号之和大于4的概率，列举出又放回抽取两球编号的所有结果，满足[n

解 先从袋中随机取一个球，记下编号为[m]，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为[n]，其一切可能的结果[（m，n）]有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.

所有满足条件[n≥m+2]的事件为（1，3）（1，4）（2，4），共3个.

所以满足条件[n≥m+2]的事件的概率为[P1=316].

故满足条件[n

[P=1-P1=1-316=1316].

三、数形结合法

根据已知条件作出大致的几何图形. 从而确定运用何种测度公式.

例3 已知关于[x]的一元二次函数[f（x）=ax2-4bx][+1.]

（1）设集合[P={1，2，3}]和[Q={-1，1，2，3，4}]，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数[y=f（x）]在区间[[1，+∞）]上是增函数的概率；

（2）设点[（a，b）]是区域[x+y-8≤0，x>0，y>0]内的随机点，求函数[y=f（x）]在区间[[1，+∞）]上是增函数的概率.

分析 根据原函数是增函数确定[a，b]的范围，枚举基本事件总数与事件[A]的个数，可求第（1）问，作出可行域，计算测度（面积），计算第（2）问.

解 （1）∵函数[f（x）=ax2-4bx+1]的图象的对称轴为[x=2ba]，要使[f（x）=ax2-4bx+1]在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当[a>0]且[2ba≤1]，即[2b≤a].

若[a=1]，则[b=-1]；若[a=2]，则[b=-1，1]；若[a=3]，则[b=-1，1.]

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5.

∴所求事件的概率为[515=13].

（2）由（1）知，当且仅当[2b≤a且a>0]时，

函数[f（x）=ax2-4bx+1]在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知，试验的全部结果所构成的区域为[（a，b）|a+b-8≤0，a>0，b>0].

构成所求事件的区域为三角形部分，

由[a+b-8=0，b=a2]得交点坐标为[（163，83）].

∴所求事件的概率为[P=12×8×8312×8×8=13].

点拨 几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意. 解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.

四、构造模型法

当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.

例4 在区间[0，1]上任取三个实数[x，y，z]，事件[A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}].

（1）构造出此随机事件对应的几何图形；

（2）利用该图形求事件[A]的概率.

分析 由于事件[A]对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.

解 （1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合[[Ω]={（x，y，z）|0≤x≤1]，[0≤y≤1]，[0≤z≤1]}，而随机事件[A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1]，[x≥0，][y≥0，z≥0}]对应的几何图形为在正方体内以[O]为球心，以1为半径的球的[18]部分.

（2）由于[x，y，z]属于区间[0，1]，当[x=y=z=1]时，为正方体的一个顶点，事件[A]为球在正方体内的部分.

∴[P（A）=18×43π×1313=π6].

点拨 基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意数的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型. 由于[x，y，z]的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型. 构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制. 在转化概率问题时，要注意表示事件结果的数值的个数：一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型，三个数的转化为与体积有关的几何概型.

如果你仅仅学会了数学知识点，而对数学解题方法没有掌握，在解题时就犹如“航海没有了灯塔，旅行迷失了方向”.可见数学解题方法的重要性，下面就让我们一起赏析古典概型与几何概型中的常用方法吧.

一、求和法

如果所求事件较为复杂，我们可以将事件分为几个彼此互斥的事件分别求解，利用互斥事件的概率加法公式求解. （当事件[A]与[B]互斥时，[P（A∪B）=P（A）+P（B）].）

例1 某商场举行抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中每次抽出一个小球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖. 求中三等奖的概率.

分析 列出取球的所有结果，中三等奖包括两个互斥事件，分别求解，然后求和，中奖包括三个互斥事件，分别求解，然后求和.

解 设“中三等奖”为事件[A].

从四个小球中有放回地取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16种不同的结果.

记两个小球的号码之和为[x]，则由题意可知，事件[A]包括两个互斥事件：[x=4，x=3].

事件[x=4]的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1），故[P（x=4）=316]；

事件[x=3]的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故[P（x=3）=416].

由互斥事件的加法公式得，

[P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716].

点拨 将复杂事件的概率转化为彼此互斥事件的概率进行求解，其关键在于确定事件划分的标准，要保证不重不漏. 即依据此标准划分后，任意两个事件不同时发生，并且这些互斥事件的并集就是所求事件.

二、正难则反法

对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，将其转化为其对立事件的概率求解. 此类试题的典型条件是“至少”“至多”“否定”或“肯定”等.

例2 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. 先从袋中随机取一个球，该球的编号为[m]，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为[n]，求[n

分析 利用列举法求解编号之和大于4的概率，列举出又放回抽取两球编号的所有结果，满足[n

解 先从袋中随机取一个球，记下编号为[m]，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为[n]，其一切可能的结果[（m，n）]有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.

所有满足条件[n≥m+2]的事件为（1，3）（1，4）（2，4），共3个.

所以满足条件[n≥m+2]的事件的概率为[P1=316].

故满足条件[n

[P=1-P1=1-316=1316].

三、数形结合法

根据已知条件作出大致的几何图形. 从而确定运用何种测度公式.

例3 已知关于[x]的一元二次函数[f（x）=ax2-4bx][+1.]

（1）设集合[P={1，2，3}]和[Q={-1，1，2，3，4}]，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数[y=f（x）]在区间[[1，+∞）]上是增函数的概率；

（2）设点[（a，b）]是区域[x+y-8≤0，x>0，y>0]内的随机点，求函数[y=f（x）]在区间[[1，+∞）]上是增函数的概率.

分析 根据原函数是增函数确定[a，b]的范围，枚举基本事件总数与事件[A]的个数，可求第（1）问，作出可行域，计算测度（面积），计算第（2）问.

解 （1）∵函数[f（x）=ax2-4bx+1]的图象的对称轴为[x=2ba]，要使[f（x）=ax2-4bx+1]在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当[a>0]且[2ba≤1]，即[2b≤a].

若[a=1]，则[b=-1]；若[a=2]，则[b=-1，1]；若[a=3]，则[b=-1，1.]

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5.

∴所求事件的概率为[515=13].

（2）由（1）知，当且仅当[2b≤a且a>0]时，

函数[f（x）=ax2-4bx+1]在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知，试验的全部结果所构成的区域为[（a，b）|a+b-8≤0，a>0，b>0].

构成所求事件的区域为三角形部分，

由[a+b-8=0，b=a2]得交点坐标为[（163，83）].

∴所求事件的概率为[P=12×8×8312×8×8=13].

点拨 几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意. 解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.

四、构造模型法

当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.

例4 在区间[0，1]上任取三个实数[x，y，z]，事件[A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}].

（1）构造出此随机事件对应的几何图形；

（2）利用该图形求事件[A]的概率.

分析 由于事件[A]对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.

解 （1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合[[Ω]={（x，y，z）|0≤x≤1]，[0≤y≤1]，[0≤z≤1]}，而随机事件[A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1]，[x≥0，][y≥0，z≥0}]对应的几何图形为在正方体内以[O]为球心，以1为半径的球的[18]部分.

（2）由于[x，y，z]属于区间[0，1]，当[x=y=z=1]时，为正方体的一个顶点，事件[A]为球在正方体内的部分.

∴[P（A）=18×43π×1313=π6].

点拨 基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意数的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型. 由于[x，y，z]的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型. 构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制. 在转化概率问题时，要注意表示事件结果的数值的个数：一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型，三个数的转化为与体积有关的几何概型.