水平定位精度测试方法及测试精度研究

薛光辉

摘 要：本文以水平定位精度测试方法及测试精度为研究对象，论文首先分析了水平定位精度的评估方法，进而探讨了不同测试方法引起的定位精度差异，相信对从事相关工作的同行能有所裨益。

关键词：水平定位精度 测试 精度评估

中图分类号：P228 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）07（b）-0193-03

卫星导航接收机最主要的性能指标即是定位精度。定位精度是用来描述卫星导航接收机在一定条件下，能达到的定位水平。换言之，即是卫星导航接收机确定的坐标与真实的坐标之间的差异度、离散度。一般而言，定位精度包括水平定位精度、高程定位精度和三维定位精度。其中，水平定位精度通常是用户最为关心的指标。

1 水平定位精度评估方法

评估定位精度方法一般采用内符合精度和外符合精度两种。内符合精度用来表述定位结果的离散度，其参考值是一组定位结果的平均值；外符合定位精度用来表述定位结果与真实坐标的差异，其参考值是真实坐标。

1.1 内符合定位精度

卫星导航接收机进行定位，采集到一组定位结果，定位结果样本量为n，每个坐标可以用表示。则此组定位结果的水平定位精度和高程定位精度可由式（1）和式（2）表示[1]。

（1）

（2）

为接收机x坐标的第次数据的测量值；

为X坐标的平均值；

为接收机y坐标的第次数据的测量值；

为Y坐标的平均值；

为接收机高程的第次数据的测量值；

为高程的平均值；

n为测量次数。

1.2 外符合定位精度

卫星导航接收机的外符合定位精度的每个坐标可以用表示。则此组定位结果的水平定位精度和高程定位精度可由式（3）和式（4）表示[1]。

（3）

（4）

具体参数的定义同（1）、（2），不同在于，、、为相应方向坐标的已知值。

2 不同测试方法引起的定位精度差异

对于卫星导航接收机来说，无法直接得到水平和高程方向的定位结果，其原始的定位结果是大地坐标系下的经度、纬度和高程，一般用经度（L），纬度（B），大地高（H）表示。其定义如下：

地面上一点的大地经度L为大地起始子午面与该点所在的子午面所构成的二面角，由起始子午面起算，向东为正，向西为负；大地纬度B是经过该点作椭球面的法线与赤道面的夹角，由赤道面起算，向北为正，向南为负；大地高H是地面点沿椭球的法线到椭球面的距离。如图1所示。

卫星导航接收机能达到的定位精度可用式（5）来描述：

σ=UERE×DOP （5）

式中，UERE为用户等效距离误差，是在进行导航定位过程中所有误差源的影响在用户至卫星的径向方向上投影之和，通常表述为观测量精度。DOP值为精度衰减因子，在导航定位过程中，卫星导航接收机与卫星的几何相对关系有关，当卫星导航接收机位置一定时，而这一关系则主要取决于导航卫星的星座布局。DOP值是由观测方程中权系数阵决定，权系数阵中前三列为三维分量的几何矩阵，但其是在大地坐标系下给定的，而实际应用中，为了估算观测站的位置精度，常采用其在站心坐标系（或地平坐标系）中的表达形式[3]。

（6）

（7）

式中：，

H是由大地坐标系到观测站站心坐标系的坐标变换矩阵。为位置改正数权系数阵。

由式（6）中可以看到，精度因子的方向决定了水平方向和高程方向是站心坐标系下的水平和高程方向。

无论是GPS系统、GLONASS、COMPASS或是在建的GALILEO卫星导航系统，卫星导航接收机单点定位能达到或即将能达到的水平定位精度一般约为10 m。所以，后续的分析，均以10 m定位误差为参考值进行计算。由大地坐标系转为平面坐标和高程坐标，存在不同的方法，而不同的方法之间，又存在着转换的精度误差。下面，对这几种方法分别进行阐述。

2.1 近似计算方法

所谓由大地坐标系转为平面坐标的近似计算方法，即是不考虑地球的实际形状，将地球视为一个规则球体，这样地球表面上每个短距离的基线长度只与其纬度值有关。根据这种特性，将大地经度，大地纬度和大地高这三个方向的误差值近似换算为距离值的方法。其具体方法如图2。

（1）计算定位点经、纬圈周长。

假设地球为一个标准的球形，球形表面上某点其半径为真实地球长轴a，这样，对于大地坐标为（θ，α，H）的某点，其所在的经度圈和纬度圈周长分别为：

（8）

（9）

其中。

（2）计算指定区域的近似距离。

北斗卫星导航接收机在点每次定位的大地坐标为，纬度圈上每度表示的距离，同理，；。则经度方向和纬度方向的短距离弧线表示的经线方向和纬线方向上的距离为：，。这样，由大地坐标可近似求解得到以米为单位的定位误差值。其中，，。

（3）近似值的误差范围。

实际上，地球是一个两极略扁的不规则椭球，其半径r的可能范围为b≤r≤a，（例如，对于CGCS2000坐标系，a=6378137 m，b=6356752 m）。以某点（38，114，100）为例，则子午圈（纬度方向上）长40075017 m，卯酉圈（经度方向上）长31579544 m。以定位精度一般为水平10 m为例，设定位误差值分配到经度方向和纬度方向相当，则各方向上约为7 m，小于0.4秒。取的最大值0.4秒进行计算，则9.71 m≤≤9.75 m，12.32 m≤≤12.36 m，上限是由r=a求出，下限是由r=b求出。endprint

从示例看，经度和纬度方向的范围均为厘米级，对于非测量型用户机，此方法近似精度能够满足评定其定位精度的标准。对于测量型用户机，特别是静态测量，精度较高，不建议采用此方法评估定位精度。通常，在近似计算中，将地球半径假设为a的球形参与计算即可。

2.2 高斯投影计算方法

高斯投影的投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点0作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴（x），以赤道的投影为横坐标轴（y），这样便形成了高斯平面直角坐标系[3]。

本节所述的高斯投影方法就是将北斗卫星导航接收机测量得到的大地坐标转为高斯坐标，与高斯平面坐标形式的基准值（如果基准值是大地坐标形式，也可以通过（11）式转为高斯平面坐标）进行比较，求得外符合精度。

通常情况下，高斯正算的近似公式（换算的精度为±0.1m）为：

（10）

当要求转换精度精确至0.00lm时，用下式计算：

（11）

高斯投影，将中央经线投影为直线，其长度没有变形，与球面实际长度相等，其余经线为向极点收敛的弧线，距中央经线愈远，变形愈大。赤道线投影后是直线，但有长度变形。除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。经线和纬线投影后仍然保持正交。所有长度变形的线段，其长度变形比均大于1。就是说，如果求得的水平误差精度向量距离中央子午线越远，长度变形越大。

椭球上大地线S和平面距离D之间的距离改化公式为：

（12）

其中，D为平面长度；S为椭球面上大地线长度，，表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径。-。式（12）精度可达0.01 m，要使计算要求达0.001 m，则可使用式（13）。

（13）

由式（13）计算可知，在纬度在北纬30度时，D=50 km的两点，D/S约为1.000031，如果D=10 m，D/S约为1+1.23e-12，长度变形可以忽略。

各种地方独立坐标系的情况与高斯投影的误差基本一致，只是由于分带没有这么大，长度变形没有高斯6度带投影这么大，其基本分析原理相同。

2.3 站心坐标系计算方法

站心坐标系的定义为：原点位于观测站A，Z轴与A点的椭球法线相重合（天），X轴垂直于Z轴指向椭球的短轴（北），而Y轴垂直于XAZ平面（东），构成左手坐标系，也就是我们通常所说的北东天坐标系（NEU坐标系）。站心坐标系通常用来表述一点相对于另一点在站心坐标系下的三维分量[2]。

站心坐标系计算水平定位精度的方法是将测量值和真值在同一坐标框架下的空间直角坐标系误差向量转为站心地平坐标系下，从而求得水平和高程定位精度的一种方法。其计算过程如下。

（1）测量值和坐标真值由式（14）转为空间直角坐标系。（2）求出每个测量值与坐标真值在空间直角坐标系下的误差向量。（3）按式（15）将误差向量转为水平方向和高程方向。（4）求出水平方向和高程方向的外符合精度值。

（14）

其中，X、Y、Z为空间直角坐标，B、L、H为大地坐标，，，a为椭球之长半轴，b为椭球短半轴，e为第一偏心率。

（15）

其中，dX、dY、dZ为空间直角坐标下测量值与真值构成的向量，B、L、H为真值的大地坐标，dN、dE、dU为站心地平坐标系下的北、东、天方向的测量值与真值构成的向量。

由于站心坐标系下的水平方向和高程方向同由DOP值分析得到的水平方向和高程方向是一致的，所以，可以认为站心坐标系下的水平定位结果和高程定位结果是无偏的，就是我们通常意义上所说的水平定位精度和高程定位精度所规定的方向。

2.4 几种方法确定的水平定位精度比较

通过前面几节的分析可知，采用站心坐标系转换的模式得到的水平定位精度和高程定位精度的方向是与定位精度评定的基本公式一致的，故可以认为是无偏的。为直观体现以上几种方法的水平定位精度的差异，取一组水平定位精度约为10 m左右的数据为例（见表1）。按公式（3）计算外符合定位精度，填入表2中。

由表2可以看出，三种方法在水平方向上的定位精度相近，高斯方法与站心方法相差2 mm，近似坐标方法与站心方法相差8 mm。从表3可以看出，对于高斯坐标系下的坐标值，在x方向上，越远离中央子午线，则误差就越大。由于设置点位的经度约为115度，中央子午线的经度为117度，相距较远，故含有固定误差，从表3的“高斯与站心方法差值”的Dx列中，可以看到。对于近似算法，由于其坐标轴与站心坐标系存在差异，故差异值会随误差值增大而增大。在表3中，由于Dy方向的误差值接近10 m，远远大于Dx方向，所以，在Dy方向存在固定差值。

取一组水平定位精度约为2 m左右的数据为例。按公式（3）计算外符合定位精度，填入表5中。

由表6可以看出，高斯与站心方法在Dx方向的固定差值不随误差值大小而改变，只与距离中央子午线的距离有关。近似坐标方法与站心坐标方法随误差值大小而改变，误差值较大时，差异较大，误差值较小时，差异较小。

由表2和表5可以看出，高斯投影方法和站心坐标系方法更为接近，但近似计算的方法更快捷，不需要编程，EXCEL表格即可计算出结果。所以，在实际工作中，如果是非测量型卫星导航接收机的水平定位精度评估，优先选择站心坐标系方法，如果精度要求不高时，三种方法均可。

3 结语

本文对卫星导航接收机的水平定位精度评定方法进行了介绍，并对不同方法之间影响水平定位精度的误差进行了探讨，通过分析和实例，说明，不同的水平定位精度评估方法之间存在差异，对于精度要求不高的单点定位、伪距差分定位等分米级以上的水平定位精度评估影响不大，但对于RTK、PPP、静态相对测量等厘米级甚至毫米级的定位精度的评估影响较大，建议采用站心坐标系计算方法。适合工程实际是选择水平定位精度评估方法的根本原则。

参考文献

[1] 全球定位系统（GPS）接收机检定规程，GJB6564-2008.中国人民解放军总装备部.

[2] 周忠漠.GPS卫星测量原理与应用[M].北京测绘出版社，1997.

[3] 孔祥元，郭际明，刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉大学出版社，2005，12.endprint

从示例看，经度和纬度方向的范围均为厘米级，对于非测量型用户机，此方法近似精度能够满足评定其定位精度的标准。对于测量型用户机，特别是静态测量，精度较高，不建议采用此方法评估定位精度。通常，在近似计算中，将地球半径假设为a的球形参与计算即可。

2.2 高斯投影计算方法

高斯投影的投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点0作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴（x），以赤道的投影为横坐标轴（y），这样便形成了高斯平面直角坐标系[3]。

本节所述的高斯投影方法就是将北斗卫星导航接收机测量得到的大地坐标转为高斯坐标，与高斯平面坐标形式的基准值（如果基准值是大地坐标形式，也可以通过（11）式转为高斯平面坐标）进行比较，求得外符合精度。

通常情况下，高斯正算的近似公式（换算的精度为±0.1m）为：

（10）

当要求转换精度精确至0.00lm时，用下式计算：

（11）

高斯投影，将中央经线投影为直线，其长度没有变形，与球面实际长度相等，其余经线为向极点收敛的弧线，距中央经线愈远，变形愈大。赤道线投影后是直线，但有长度变形。除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。经线和纬线投影后仍然保持正交。所有长度变形的线段，其长度变形比均大于1。就是说，如果求得的水平误差精度向量距离中央子午线越远，长度变形越大。

椭球上大地线S和平面距离D之间的距离改化公式为：

（12）

其中，D为平面长度；S为椭球面上大地线长度，，表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径。-。式（12）精度可达0.01 m，要使计算要求达0.001 m，则可使用式（13）。

（13）

由式（13）计算可知，在纬度在北纬30度时，D=50 km的两点，D/S约为1.000031，如果D=10 m，D/S约为1+1.23e-12，长度变形可以忽略。

各种地方独立坐标系的情况与高斯投影的误差基本一致，只是由于分带没有这么大，长度变形没有高斯6度带投影这么大，其基本分析原理相同。

2.3 站心坐标系计算方法

站心坐标系的定义为：原点位于观测站A，Z轴与A点的椭球法线相重合（天），X轴垂直于Z轴指向椭球的短轴（北），而Y轴垂直于XAZ平面（东），构成左手坐标系，也就是我们通常所说的北东天坐标系（NEU坐标系）。站心坐标系通常用来表述一点相对于另一点在站心坐标系下的三维分量[2]。

站心坐标系计算水平定位精度的方法是将测量值和真值在同一坐标框架下的空间直角坐标系误差向量转为站心地平坐标系下，从而求得水平和高程定位精度的一种方法。其计算过程如下。

（1）测量值和坐标真值由式（14）转为空间直角坐标系。（2）求出每个测量值与坐标真值在空间直角坐标系下的误差向量。（3）按式（15）将误差向量转为水平方向和高程方向。（4）求出水平方向和高程方向的外符合精度值。

（14）

其中，X、Y、Z为空间直角坐标，B、L、H为大地坐标，，，a为椭球之长半轴，b为椭球短半轴，e为第一偏心率。

（15）

其中，dX、dY、dZ为空间直角坐标下测量值与真值构成的向量，B、L、H为真值的大地坐标，dN、dE、dU为站心地平坐标系下的北、东、天方向的测量值与真值构成的向量。

由于站心坐标系下的水平方向和高程方向同由DOP值分析得到的水平方向和高程方向是一致的，所以，可以认为站心坐标系下的水平定位结果和高程定位结果是无偏的，就是我们通常意义上所说的水平定位精度和高程定位精度所规定的方向。

2.4 几种方法确定的水平定位精度比较

通过前面几节的分析可知，采用站心坐标系转换的模式得到的水平定位精度和高程定位精度的方向是与定位精度评定的基本公式一致的，故可以认为是无偏的。为直观体现以上几种方法的水平定位精度的差异，取一组水平定位精度约为10 m左右的数据为例（见表1）。按公式（3）计算外符合定位精度，填入表2中。

由表2可以看出，三种方法在水平方向上的定位精度相近，高斯方法与站心方法相差2 mm，近似坐标方法与站心方法相差8 mm。从表3可以看出，对于高斯坐标系下的坐标值，在x方向上，越远离中央子午线，则误差就越大。由于设置点位的经度约为115度，中央子午线的经度为117度，相距较远，故含有固定误差，从表3的“高斯与站心方法差值”的Dx列中，可以看到。对于近似算法，由于其坐标轴与站心坐标系存在差异，故差异值会随误差值增大而增大。在表3中，由于Dy方向的误差值接近10 m，远远大于Dx方向，所以，在Dy方向存在固定差值。

取一组水平定位精度约为2 m左右的数据为例。按公式（3）计算外符合定位精度，填入表5中。

由表6可以看出，高斯与站心方法在Dx方向的固定差值不随误差值大小而改变，只与距离中央子午线的距离有关。近似坐标方法与站心坐标方法随误差值大小而改变，误差值较大时，差异较大，误差值较小时，差异较小。

由表2和表5可以看出，高斯投影方法和站心坐标系方法更为接近，但近似计算的方法更快捷，不需要编程，EXCEL表格即可计算出结果。所以，在实际工作中，如果是非测量型卫星导航接收机的水平定位精度评估，优先选择站心坐标系方法，如果精度要求不高时，三种方法均可。

3 结语

本文对卫星导航接收机的水平定位精度评定方法进行了介绍，并对不同方法之间影响水平定位精度的误差进行了探讨，通过分析和实例，说明，不同的水平定位精度评估方法之间存在差异，对于精度要求不高的单点定位、伪距差分定位等分米级以上的水平定位精度评估影响不大，但对于RTK、PPP、静态相对测量等厘米级甚至毫米级的定位精度的评估影响较大，建议采用站心坐标系计算方法。适合工程实际是选择水平定位精度评估方法的根本原则。

参考文献

[1] 全球定位系统（GPS）接收机检定规程，GJB6564-2008.中国人民解放军总装备部.

[2] 周忠漠.GPS卫星测量原理与应用[M].北京测绘出版社，1997.

[3] 孔祥元，郭际明，刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉大学出版社，2005，12.endprint

从示例看，经度和纬度方向的范围均为厘米级，对于非测量型用户机，此方法近似精度能够满足评定其定位精度的标准。对于测量型用户机，特别是静态测量，精度较高，不建议采用此方法评估定位精度。通常，在近似计算中，将地球半径假设为a的球形参与计算即可。

2.2 高斯投影计算方法

高斯投影的投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点0作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴（x），以赤道的投影为横坐标轴（y），这样便形成了高斯平面直角坐标系[3]。

本节所述的高斯投影方法就是将北斗卫星导航接收机测量得到的大地坐标转为高斯坐标，与高斯平面坐标形式的基准值（如果基准值是大地坐标形式，也可以通过（11）式转为高斯平面坐标）进行比较，求得外符合精度。

通常情况下，高斯正算的近似公式（换算的精度为±0.1m）为：

（10）

当要求转换精度精确至0.00lm时，用下式计算：

（11）

高斯投影，将中央经线投影为直线，其长度没有变形，与球面实际长度相等，其余经线为向极点收敛的弧线，距中央经线愈远，变形愈大。赤道线投影后是直线，但有长度变形。除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。经线和纬线投影后仍然保持正交。所有长度变形的线段，其长度变形比均大于1。就是说，如果求得的水平误差精度向量距离中央子午线越远，长度变形越大。

椭球上大地线S和平面距离D之间的距离改化公式为：

（12）

其中，D为平面长度；S为椭球面上大地线长度，，表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径。-。式（12）精度可达0.01 m，要使计算要求达0.001 m，则可使用式（13）。

（13）

由式（13）计算可知，在纬度在北纬30度时，D=50 km的两点，D/S约为1.000031，如果D=10 m，D/S约为1+1.23e-12，长度变形可以忽略。

各种地方独立坐标系的情况与高斯投影的误差基本一致，只是由于分带没有这么大，长度变形没有高斯6度带投影这么大，其基本分析原理相同。

2.3 站心坐标系计算方法

站心坐标系的定义为：原点位于观测站A，Z轴与A点的椭球法线相重合（天），X轴垂直于Z轴指向椭球的短轴（北），而Y轴垂直于XAZ平面（东），构成左手坐标系，也就是我们通常所说的北东天坐标系（NEU坐标系）。站心坐标系通常用来表述一点相对于另一点在站心坐标系下的三维分量[2]。

站心坐标系计算水平定位精度的方法是将测量值和真值在同一坐标框架下的空间直角坐标系误差向量转为站心地平坐标系下，从而求得水平和高程定位精度的一种方法。其计算过程如下。

（1）测量值和坐标真值由式（14）转为空间直角坐标系。（2）求出每个测量值与坐标真值在空间直角坐标系下的误差向量。（3）按式（15）将误差向量转为水平方向和高程方向。（4）求出水平方向和高程方向的外符合精度值。

（14）

其中，X、Y、Z为空间直角坐标，B、L、H为大地坐标，，，a为椭球之长半轴，b为椭球短半轴，e为第一偏心率。

（15）

其中，dX、dY、dZ为空间直角坐标下测量值与真值构成的向量，B、L、H为真值的大地坐标，dN、dE、dU为站心地平坐标系下的北、东、天方向的测量值与真值构成的向量。

由于站心坐标系下的水平方向和高程方向同由DOP值分析得到的水平方向和高程方向是一致的，所以，可以认为站心坐标系下的水平定位结果和高程定位结果是无偏的，就是我们通常意义上所说的水平定位精度和高程定位精度所规定的方向。

2.4 几种方法确定的水平定位精度比较

通过前面几节的分析可知，采用站心坐标系转换的模式得到的水平定位精度和高程定位精度的方向是与定位精度评定的基本公式一致的，故可以认为是无偏的。为直观体现以上几种方法的水平定位精度的差异，取一组水平定位精度约为10 m左右的数据为例（见表1）。按公式（3）计算外符合定位精度，填入表2中。

由表2可以看出，三种方法在水平方向上的定位精度相近，高斯方法与站心方法相差2 mm，近似坐标方法与站心方法相差8 mm。从表3可以看出，对于高斯坐标系下的坐标值，在x方向上，越远离中央子午线，则误差就越大。由于设置点位的经度约为115度，中央子午线的经度为117度，相距较远，故含有固定误差，从表3的“高斯与站心方法差值”的Dx列中，可以看到。对于近似算法，由于其坐标轴与站心坐标系存在差异，故差异值会随误差值增大而增大。在表3中，由于Dy方向的误差值接近10 m，远远大于Dx方向，所以，在Dy方向存在固定差值。

取一组水平定位精度约为2 m左右的数据为例。按公式（3）计算外符合定位精度，填入表5中。

由表6可以看出，高斯与站心方法在Dx方向的固定差值不随误差值大小而改变，只与距离中央子午线的距离有关。近似坐标方法与站心坐标方法随误差值大小而改变，误差值较大时，差异较大，误差值较小时，差异较小。

由表2和表5可以看出，高斯投影方法和站心坐标系方法更为接近，但近似计算的方法更快捷，不需要编程，EXCEL表格即可计算出结果。所以，在实际工作中，如果是非测量型卫星导航接收机的水平定位精度评估，优先选择站心坐标系方法，如果精度要求不高时，三种方法均可。

3 结语

本文对卫星导航接收机的水平定位精度评定方法进行了介绍，并对不同方法之间影响水平定位精度的误差进行了探讨，通过分析和实例，说明，不同的水平定位精度评估方法之间存在差异，对于精度要求不高的单点定位、伪距差分定位等分米级以上的水平定位精度评估影响不大，但对于RTK、PPP、静态相对测量等厘米级甚至毫米级的定位精度的评估影响较大，建议采用站心坐标系计算方法。适合工程实际是选择水平定位精度评估方法的根本原则。

参考文献

[1] 全球定位系统（GPS）接收机检定规程，GJB6564-2008.中国人民解放军总装备部.

[2] 周忠漠.GPS卫星测量原理与应用[M].北京测绘出版社，1997.

[3] 孔祥元，郭际明，刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉大学出版社，2005，12.endprint