浅析构造法在初等数学中的应用

芮媛媛+王天予

摘要：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法。

关键词：构造法；构造；几何变换

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）44-0204-03

一、引言

解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。构造法是运用数学的基本思想经过认真地观察，深入地思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决。构造法作为数学的一种重要的方法，它最大的特点是：创造性地使用已知条件。构造法的内涵十分丰富没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性和现实问题的特殊行为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。古希腊数学家欧几里得不仅是欧氏几何的奠基人，而且也是数学上构造法的创始人。在《几何原本》中，他第一次用构造法巧妙地证明了数论中以他的名字命名的基本定理“素数的个数是无穷的”。历史上古今中外不少数学家，都曾经用构造法成功地解决过数学上的难题，如瑞士数学家欧拉通过映射构造数学模型，成功地解决了著名的哥尼斯保七桥问题；又如我国古代数学家通过割补构造给出了勾股定理的证明。怎样构造呢？当某些数学问题使用通常办法按定式思维去解很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，通常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能达到目的的方法、手段，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造法解题的思路。构造法是帮助发现数学理论和解决数学问题的方法。它在数学解题中的作用主要表现在两个方面：一是许多问题本身有构造性的要求，或者可以通过构造而直接得解；二是有些问题需要通过构造出一个与原问题有关或等价的新问题（我们亦称之为辅助问题），并通过辅助问题帮助原问题的解决，这种巧妙构思正是构造法的技巧与魅力所在。

二、构造法的应用

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴含不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。下面按构造对象的不同将构造方法分别予以举例说明。

1.辅助数与式的构造。在求解某些数学问题时，利用矛盾的对立统一性，充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数或式，来架设解题的通道。

例1 正数a，b满足a■3+b■3=2，求证：a+b≤2。分析：条件式中次数是3次，而结论式中是1次，所以需要降幂。又结论式是不等式，当且仅当a=b=1时成立。于是考虑构造均值不等式。由均值不等式a■3+b■3+c■3≥3abc得：a■3+13+13≥3a （1）？摇 b■3+13+13≥3b （2） 由（1）+（2）变形整理得：a+b≤2

2.函数的构造。在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标。

例2 求函数y=■+■的最大值。

分析：由根号下的式子看出x+1-x=1且0≤x≤1

故可联想到三角函数关系式并构造x=sin■θ（0≤θ≤■）

所以y=sinx+cosx=■sin（θ+■）

当θ=■即x=■时，y■=■

3.方程的构造。方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。在数学解题中，根据题目的已知条件和结论、性质与特征，构造出某种数学模型（如方程模型），通过对模型的解释与研究，实现问题的解决，这是解数学题中常用的思想与方法.即有目的地构造方程，以沟通问题中条件与结论的联系，使问题中的隐含关系明朗化，从而简捷迅速地使问题获解.构造方程是初等代数的基本方法之一。如列方程解应用题，求动点的轨迹方程等即属此法。

构造方程解题体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为3个步骤：

1.将所面临的问题转化为方程问题；

2.解这个方程或讨论这个方程的有关性质，得出相应结论；

3.将方程的相应结论再返回为原问题的结论。

例3 设a>b>c且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的范围。

分析：由a+b+c=1得a+b=1-c？摇 （1）

将（1）的两边平方并将a2+b2+c2=1代入得

ab=c2-c ？摇（2）endprint

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的两个不等的实根

于是Δ=（c-1）■-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-■

∴1

4.数列的构造。在处理与自然数n有关的数学问题时，根据题目所提供的特征，通过替换、设想等构造出一个与欲解（证）问题有关的数列（数组），并对该数列（数组）的特征进行分析，常可获得解题的途径。如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解。对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决.

例4 求证：■+■+…+■>1

（其中n∈N■）。

分析：构造数列模型=a■=■+■+…+■-1，

则有a■-a■=■+■+■-■=■+■-■=■>0，所以数列a■为递增数列。又因a■=■+■+■-1=■>0，故a■>0（其中n∈N■），即原不等式得证。

评注：欲证含有与自然数n有关的和的不等式

f（n）-g（n），可以构造数列模型a■=f（n）-g（n），只需证明数列a■是单调递增，且a■>0。另外，本题也可以用数学归纳法证明，但用构造数列模型证明简洁.对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决.

5.构造几何图形（体）。如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形。

例5 求证：三角形的三条高相交于一点。分析：本命题若用平面几何上的综合证法来证明较为复杂，而通过构造平面直角坐标系，证明则显得极为简洁.以AB所在直线为x轴，AB上的高CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标，如图1。设A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（b，0）、（0，c）、（0，0），则三条高线的方程分别为：

BE：ax-cy-ab=0

AF：bx-cy-ab=0

CD：x=0

因为a -c -abb -c -ab1 0 0=0，故三高共点O。

6.构造模型。数学解题的一个基本思想就是设法将所要求解的问题转化为我们熟悉的或容易解决的问题，模型构造在解排列组合问题时尤显重要.在教学过程中经常强化这一思想，以便寻求更便捷的解法。

例6 现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少一个球，问共有多少种不同的分法？

分析：解：题目中球的分法有三类：

（1）有三个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到一个球，其分法种数是：N■=C■■；

（2）有一个班分到3个球，有一个班分到2个球，其余5个班每班分到一个球，其分法种数是N■=C■■C■■；

（3）有一个班分到4个球，其余6个班每班分到1个球，其分法种数是N■=C■■。

所以10个球按题意分法种数为N=N■+N■■+N■=C■■+

C■■C■■+C■■=84。

由上面解题过程可以明显感到，这类问题进行分类计算比较烦琐，若上题中球的数目较多，处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式来解决该类问题，由此我们创设这样一种虚拟的模型——插板。

将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档（除去首尾两个空档），现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个）。这样每个班级分到球的个数不在于它们所排的位置，借助于这样一种虚拟的“档板”分配物品的方法称之为“隔板法”。使得解题过程更为简洁明了。

由上述情境分析可知，分球的方法实际是为档板的插法：即在9个空档之中插入6个“档板”，其方法。种数为C■■=84，这种方法简洁明了。

综上可知，构造法真正体现了“数式与图形的沟通、直觉与逻辑的互动”以及数学发现的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，而是以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。在应用构造法时，要明确目的，需要构造的是什么，根据什么设计构造方案。构造的模型结构形式应尽可能的简单，以便于问题的解决，尽可能地使复杂问题简单化；构造的模型必须是熟悉的，通过熟悉的模型将难以下手的问题转化为熟悉的问题；构造的模型应尽可能的直观，通过构造使问题变得直观明了。

用构造法教学有利于开拓学生的思维，有利于培养学生的思维能力，有利于学生的思维由单一转化为多角度。它不仅开拓了学生的解题思路，而且加深了学生对数学的理解，并能给学生一种数学美的享受。最后还应指出，构造法并非是上述题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对于同一道题既能有几种构造法，也可以用其他方法来解，教师应注意在学习研究的过程中注意对学生创新性思维的培养，使学生体会知识间的内在联系和互相转化，能创造性地构造解决问题的有力条件，巧妙地解决问题，从而获得学习的愉悦感和成功的体验。

参考文献：

[1]李明振.数学方法与解题研究[M].第二版.上海科技教育出版社，2002：339-400.

[2]贺金华.数学教学中如何培养学生的思维品质[J].数学教学通讯，2004，（3）：38-40.

[3]刘朝斌.解一元二次不等式的几点技巧[J].数学教学通讯，2004，（3）：46-47.

[4]王秀奎，李昆.构造解析几何模型求函数值域[J].语数外，2006，（2）：37-38.

作者简介：芮媛媛（1993-），女，学士，江苏南京人，研究方向：初等数学教育研究；王天予（1994-），女，学士，江苏南京人，研究方向：数学教育。

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的两个不等的实根

于是Δ=（c-1）■-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-■

∴1

4.数列的构造。在处理与自然数n有关的数学问题时，根据题目所提供的特征，通过替换、设想等构造出一个与欲解（证）问题有关的数列（数组），并对该数列（数组）的特征进行分析，常可获得解题的途径。如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解。对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决.

例4 求证：■+■+…+■>1

（其中n∈N■）。

分析：构造数列模型=a■=■+■+…+■-1，

则有a■-a■=■+■+■-■=■+■-■=■>0，所以数列a■为递增数列。又因a■=■+■+■-1=■>0，故a■>0（其中n∈N■），即原不等式得证。

评注：欲证含有与自然数n有关的和的不等式

f（n）-g（n），可以构造数列模型a■=f（n）-g（n），只需证明数列a■是单调递增，且a■>0。另外，本题也可以用数学归纳法证明，但用构造数列模型证明简洁.对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决.

5.构造几何图形（体）。如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形。

例5 求证：三角形的三条高相交于一点。分析：本命题若用平面几何上的综合证法来证明较为复杂，而通过构造平面直角坐标系，证明则显得极为简洁.以AB所在直线为x轴，AB上的高CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标，如图1。设A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（b，0）、（0，c）、（0，0），则三条高线的方程分别为：

BE：ax-cy-ab=0

AF：bx-cy-ab=0

CD：x=0

因为a -c -abb -c -ab1 0 0=0，故三高共点O。

6.构造模型。数学解题的一个基本思想就是设法将所要求解的问题转化为我们熟悉的或容易解决的问题，模型构造在解排列组合问题时尤显重要.在教学过程中经常强化这一思想，以便寻求更便捷的解法。

例6 现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少一个球，问共有多少种不同的分法？

分析：解：题目中球的分法有三类：

（1）有三个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到一个球，其分法种数是：N■=C■■；

（2）有一个班分到3个球，有一个班分到2个球，其余5个班每班分到一个球，其分法种数是N■=C■■C■■；

（3）有一个班分到4个球，其余6个班每班分到1个球，其分法种数是N■=C■■。

所以10个球按题意分法种数为N=N■+N■■+N■=C■■+

C■■C■■+C■■=84。

由上面解题过程可以明显感到，这类问题进行分类计算比较烦琐，若上题中球的数目较多，处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式来解决该类问题，由此我们创设这样一种虚拟的模型——插板。

将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档（除去首尾两个空档），现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个）。这样每个班级分到球的个数不在于它们所排的位置，借助于这样一种虚拟的“档板”分配物品的方法称之为“隔板法”。使得解题过程更为简洁明了。

由上述情境分析可知，分球的方法实际是为档板的插法：即在9个空档之中插入6个“档板”，其方法。种数为C■■=84，这种方法简洁明了。

综上可知，构造法真正体现了“数式与图形的沟通、直觉与逻辑的互动”以及数学发现的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，而是以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。在应用构造法时，要明确目的，需要构造的是什么，根据什么设计构造方案。构造的模型结构形式应尽可能的简单，以便于问题的解决，尽可能地使复杂问题简单化；构造的模型必须是熟悉的，通过熟悉的模型将难以下手的问题转化为熟悉的问题；构造的模型应尽可能的直观，通过构造使问题变得直观明了。

用构造法教学有利于开拓学生的思维，有利于培养学生的思维能力，有利于学生的思维由单一转化为多角度。它不仅开拓了学生的解题思路，而且加深了学生对数学的理解，并能给学生一种数学美的享受。最后还应指出，构造法并非是上述题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对于同一道题既能有几种构造法，也可以用其他方法来解，教师应注意在学习研究的过程中注意对学生创新性思维的培养，使学生体会知识间的内在联系和互相转化，能创造性地构造解决问题的有力条件，巧妙地解决问题，从而获得学习的愉悦感和成功的体验。

参考文献：

[1]李明振.数学方法与解题研究[M].第二版.上海科技教育出版社，2002：339-400.

[2]贺金华.数学教学中如何培养学生的思维品质[J].数学教学通讯，2004，（3）：38-40.

[3]刘朝斌.解一元二次不等式的几点技巧[J].数学教学通讯，2004，（3）：46-47.

[4]王秀奎，李昆.构造解析几何模型求函数值域[J].语数外，2006，（2）：37-38.

作者简介：芮媛媛（1993-），女，学士，江苏南京人，研究方向：初等数学教育研究；王天予（1994-），女，学士，江苏南京人，研究方向：数学教育。

由（1）（2）可知，a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0的两个不等的实根

于是Δ=（c-1）■-4（c2-c）=-3c2+2c+1>0

解得：-■

∴1

4.数列的构造。在处理与自然数n有关的数学问题时，根据题目所提供的特征，通过替换、设想等构造出一个与欲解（证）问题有关的数列（数组），并对该数列（数组）的特征进行分析，常可获得解题的途径。如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解。对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决.

例4 求证：■+■+…+■>1

（其中n∈N■）。

分析：构造数列模型=a■=■+■+…+■-1，

则有a■-a■=■+■+■-■=■+■-■=■>0，所以数列a■为递增数列。又因a■=■+■+■-1=■>0，故a■>0（其中n∈N■），即原不等式得证。

评注：欲证含有与自然数n有关的和的不等式

f（n）-g（n），可以构造数列模型a■=f（n）-g（n），只需证明数列a■是单调递增，且a■>0。另外，本题也可以用数学归纳法证明，但用构造数列模型证明简洁.对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决.

5.构造几何图形（体）。如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形。

例5 求证：三角形的三条高相交于一点。分析：本命题若用平面几何上的综合证法来证明较为复杂，而通过构造平面直角坐标系，证明则显得极为简洁.以AB所在直线为x轴，AB上的高CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标，如图1。设A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（b，0）、（0，c）、（0，0），则三条高线的方程分别为：

BE：ax-cy-ab=0

AF：bx-cy-ab=0

CD：x=0

因为a -c -abb -c -ab1 0 0=0，故三高共点O。

6.构造模型。数学解题的一个基本思想就是设法将所要求解的问题转化为我们熟悉的或容易解决的问题，模型构造在解排列组合问题时尤显重要.在教学过程中经常强化这一思想，以便寻求更便捷的解法。

例6 现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少一个球，问共有多少种不同的分法？

分析：解：题目中球的分法有三类：

（1）有三个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到一个球，其分法种数是：N■=C■■；

（2）有一个班分到3个球，有一个班分到2个球，其余5个班每班分到一个球，其分法种数是N■=C■■C■■；

（3）有一个班分到4个球，其余6个班每班分到1个球，其分法种数是N■=C■■。

所以10个球按题意分法种数为N=N■+N■■+N■=C■■+

C■■C■■+C■■=84。

由上面解题过程可以明显感到，这类问题进行分类计算比较烦琐，若上题中球的数目较多，处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式来解决该类问题，由此我们创设这样一种虚拟的模型——插板。

将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档（除去首尾两个空档），现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个）。这样每个班级分到球的个数不在于它们所排的位置，借助于这样一种虚拟的“档板”分配物品的方法称之为“隔板法”。使得解题过程更为简洁明了。

由上述情境分析可知，分球的方法实际是为档板的插法：即在9个空档之中插入6个“档板”，其方法。种数为C■■=84，这种方法简洁明了。

综上可知，构造法真正体现了“数式与图形的沟通、直觉与逻辑的互动”以及数学发现的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，而是以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。在应用构造法时，要明确目的，需要构造的是什么，根据什么设计构造方案。构造的模型结构形式应尽可能的简单，以便于问题的解决，尽可能地使复杂问题简单化；构造的模型必须是熟悉的，通过熟悉的模型将难以下手的问题转化为熟悉的问题；构造的模型应尽可能的直观，通过构造使问题变得直观明了。

用构造法教学有利于开拓学生的思维，有利于培养学生的思维能力，有利于学生的思维由单一转化为多角度。它不仅开拓了学生的解题思路，而且加深了学生对数学的理解，并能给学生一种数学美的享受。最后还应指出，构造法并非是上述题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对于同一道题既能有几种构造法，也可以用其他方法来解，教师应注意在学习研究的过程中注意对学生创新性思维的培养，使学生体会知识间的内在联系和互相转化，能创造性地构造解决问题的有力条件，巧妙地解决问题，从而获得学习的愉悦感和成功的体验。

参考文献：

[1]李明振.数学方法与解题研究[M].第二版.上海科技教育出版社，2002：339-400.

[2]贺金华.数学教学中如何培养学生的思维品质[J].数学教学通讯，2004，（3）：38-40.

[3]刘朝斌.解一元二次不等式的几点技巧[J].数学教学通讯，2004，（3）：46-47.

[4]王秀奎，李昆.构造解析几何模型求函数值域[J].语数外，2006，（2）：37-38.

作者简介：芮媛媛（1993-），女，学士，江苏南京人，研究方向：初等数学教育研究；王天予（1994-），女，学士，江苏南京人，研究方向：数学教育。